把握規(guī)律探索策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思維水平

嚴(yán)卿

摘 要：規(guī)律是世界萬(wàn)物運(yùn)動(dòng)與變化中存在的本質(zhì)、必然的聯(lián)系，也是數(shù)和形固有的特征或關(guān)系。探索規(guī)律是一種十分重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行全面、深入、靈活的思考，透過紛繁復(fù)雜的表象發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，為進(jìn)行更高水平的數(shù)學(xué)研究和科學(xué)創(chuàng)造打好基礎(chǔ)。在探索規(guī)律的教學(xué)中，不能僅僅把規(guī)律內(nèi)容作為教學(xué)的重點(diǎn)，而要讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的探究過程，掌握科學(xué)探索規(guī)律的方法，積累嚴(yán)謹(jǐn)論證規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，建立規(guī)律之間的整體聯(lián)系。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)才能幫助學(xué)生提高探索規(guī)律的能力，體會(huì)規(guī)律背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，有效地發(fā)展思維水平，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：感悟規(guī)律;推理論證;驗(yàn)證

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2020-04-15 文章編號(hào)：1674-120X（2020）27-0068-02

一、猜想—驗(yàn)證—論證，萌發(fā)探究規(guī)律的方法

運(yùn)用精心設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)材料，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和探究的過程中，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣，形成完整科學(xué)的探究方法，勝過探索發(fā)現(xiàn)或邏輯推理本身的價(jià)值。人們?cè)诳茖W(xué)研究中，習(xí)慣從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，先大膽猜想，再進(jìn)行驗(yàn)證和推理。“猜想—驗(yàn)證”已成為現(xiàn)代科學(xué)研究中常用的方法。建立猜想的過程本質(zhì)上就是由特殊到一般，由具體到抽象的歸納推理過程。引導(dǎo)學(xué)生從具體的數(shù)據(jù)或數(shù)學(xué)現(xiàn)象出發(fā)進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，有助于他們感受探索規(guī)律的一般過程和主要特點(diǎn)，逐步增強(qiáng)探究意識(shí)，發(fā)展探索規(guī)律的能力。

在研究?jī)蓚€(gè)自然數(shù)之和的奇偶性時(shí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生玩拋骰子、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的游戲。學(xué)生只要將拋骰子得到的數(shù)加在一起，并在轉(zhuǎn)盤上找到對(duì)應(yīng)的結(jié)果，就能領(lǐng)取獎(jiǎng)品。學(xué)生玩了幾次都沒有中獎(jiǎng)，他們?cè)谑耐瑫r(shí)都很想弄清其中的奧秘。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，獎(jiǎng)品只對(duì)應(yīng)著轉(zhuǎn)盤上的奇數(shù)，偶數(shù)對(duì)應(yīng)的都是“謝謝參與”。無(wú)論拋骰子得到幾，加一遍的結(jié)果都是偶數(shù)。有的學(xué)生提出，只有將骰子連續(xù)拋兩次并將兩次拋到的數(shù)相加，才有可能獲獎(jiǎng)。教師請(qǐng)學(xué)生思考，“兩個(gè)數(shù)相加之和可能是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？怎樣研究這個(gè)問題呢？”學(xué)生對(duì)偶數(shù)加偶數(shù)、奇數(shù)加奇數(shù)、偶數(shù)加奇數(shù)這三種不同的情形進(jìn)行了計(jì)算，并提出了猜想：偶數(shù)加偶數(shù)等于偶數(shù)，奇數(shù)加奇數(shù)等于偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)等于奇數(shù)。并對(duì)應(yīng)猜想列舉 12+18=30，13+27=40，21+36=57 等算式進(jìn)行驗(yàn)證。教師請(qǐng)學(xué)生思考，“離開具體的算式，怎樣證明任意兩個(gè)自然數(shù)都符合這個(gè)規(guī)律？”學(xué)生通過畫圖把偶數(shù)表示成若干個(gè)2的和，把奇數(shù)表示成若干個(gè)2與1的和。偶數(shù)加偶數(shù)，結(jié)果還是若干個(gè)2，所以和一定是偶數(shù)。奇數(shù)加奇數(shù)， 兩個(gè)1合起來是一個(gè)2，兩個(gè)奇數(shù)的和就變成了若干個(gè)2，和一定是偶數(shù);奇數(shù)加偶數(shù)，和仍是若干個(gè)2加1，和一定是奇數(shù)。

教師通過數(shù)學(xué)游戲引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算任意兩個(gè)自然數(shù)的和，猜想和的奇偶性規(guī)律，意在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)和的奇偶性規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)單歸納以便進(jìn)一步驗(yàn)證。學(xué)生借助具體數(shù)據(jù)舉例驗(yàn)證，證明了猜想的正確性，又從奇數(shù)和偶數(shù)的普遍意義出發(fā)，通過演繹推理對(duì)規(guī)律的合理性與科學(xué)性進(jìn)行論證，從一般的角度增加了規(guī)律的可靠性。

授之以魚，只供一飯之需;授之以漁，則終身受用無(wú)窮。正確的研究方法是科學(xué)探究規(guī)律的前提，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和思維發(fā)展意義重要而深遠(yuǎn)。教師需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行充分的觀察和比較，在探究過程中為學(xué)生提供猜想的空間，確立“大膽猜想，小心求證”的研究思路，使學(xué)生找到系統(tǒng)研究規(guī)律的路徑，豐富探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。在驗(yàn)證猜想的基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生以基本的數(shù)學(xué)概念和方法為切入點(diǎn)，對(duì)規(guī)律的科學(xué)性與合理性進(jìn)行更為嚴(yán)密的論證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。學(xué)生只有完整經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證—論證”的過程，探究規(guī)律的科學(xué)方法論的種子才會(huì)在內(nèi)心悄然萌發(fā)。

二、歸納—反思—推理，感悟規(guī)律的科學(xué)合理

數(shù)學(xué)是研究模式和規(guī)律的基礎(chǔ)科學(xué)。用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系，并科學(xué)地探究規(guī)律是學(xué)生具有良好思維品質(zhì)的重要表現(xiàn)。學(xué)生在提出猜想之后，通過舉例、測(cè)量、計(jì)算、畫圖等方式驗(yàn)證猜想，歸納規(guī)律，歸根到底沒有脫離具體的數(shù)據(jù)，其驗(yàn)證的對(duì)象也是一些特殊的學(xué)習(xí)材料。我們應(yīng)該努力超越簡(jiǎn)單歸納，從普通的角度培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，得出一般的結(jié)論，使學(xué)生對(duì)規(guī)律的合理性與普適性形成更為深刻的體驗(yàn)。學(xué)生只有經(jīng)歷從依靠具體數(shù)據(jù)或圖形進(jìn)行初步驗(yàn)證到根據(jù)定義和公理進(jìn)行一般化推理論證的轉(zhuǎn)變，才能觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成嚴(yán)謹(jǐn)推理、嚴(yán)密論證的數(shù)學(xué)品格。

以探索多邊形的內(nèi)角和為例，學(xué)生將多邊形分割成若干個(gè)三角形，在研究了四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和后，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和可以由分成的三角形個(gè)數(shù)乘180°得到，且三角形的個(gè)數(shù)等于多邊形的邊數(shù)減2。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“能用一種大家都理解的方式表示求多邊形內(nèi)角和的方法嗎？”學(xué)生概括出，用n表示圖形邊數(shù)，n邊形的內(nèi)角

和=（n-2）×180°。教師追問：“任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都可以用這個(gè)方法來計(jì)算嗎？如何證明這個(gè)規(guī)律適用于任意一個(gè)多邊形呢？”學(xué)生對(duì)探索規(guī)律的過程進(jìn)行了深入的反思，認(rèn)真觀察了將任意多邊形分割成若干個(gè)三角形的方法，提出了兩種論證思路。有的學(xué)生從n邊形左下角的頂點(diǎn)出發(fā)，將多邊形分割成若干個(gè)三角形。第一個(gè)三角形由多邊形的兩條邊和一條對(duì)角線圍成，其內(nèi)角和是180°。在此基礎(chǔ)上增加一條邊和一條對(duì)角線，多邊形內(nèi)角和變成兩個(gè)180°，即360°。照這樣推算，每增加一條邊和一條對(duì)角線，就多出一個(gè)三角形，內(nèi)角和增加180°。以最開始的兩條邊為基礎(chǔ)，一共增加了（n-2）條邊和（n-2）條對(duì)角線，將多邊形共分割成了（n-2）個(gè)三角形，其內(nèi)角和就是（n-2）×180°。

還有學(xué)生將n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)直接連接圖形中心點(diǎn)，將其分割成n個(gè)三角形，它們的內(nèi)角和之和是n 個(gè)180°。每個(gè)三角形與中心點(diǎn)相連接的角圍成了一個(gè)周角，即360°。n個(gè)三角形的內(nèi)角和之和減去這個(gè)周角，剩下的角度之和就是n邊形的內(nèi)角和，根據(jù)乘法分配律，180°× n-360°=180 °×n-180°×2=（n-2）×180°。

教師沒有滿足于學(xué)生總結(jié)出的多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，而是把學(xué)生的思考引向深入，從更一般的角度論證方法的正確性和廣泛性，拓展了規(guī)律的適用范圍，學(xué)生在合情推理的過程中感悟了多邊形內(nèi)角和規(guī)律從特殊到一般的飛躍，通過分析和推理，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)建模等思想方法在實(shí)現(xiàn)規(guī)律一般化過程中的魅力。

推理是規(guī)律探究和數(shù)學(xué)思考的基本方法，也是從已有判斷得出新判斷的思維方式。教師要充分重視邏輯推理在規(guī)律探索中的重要作用，包括合情推理和演繹推理。從特殊到一般的思維路徑屬于合情推理，從一般到特殊的思維路徑屬于演繹推理。學(xué)生從猜想與驗(yàn)證開始探索規(guī)律，而邏輯推理可以把學(xué)生對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)推向深入，使其從更一般的角度認(rèn)識(shí)規(guī)律的科學(xué)性和廣泛性，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思考、嚴(yán)密論證的探究習(xí)慣。

三、比較—分析—建構(gòu)，把握規(guī)律間的整體聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的，而是內(nèi)部聯(lián)系緊密的系統(tǒng)化的整體。變化和聯(lián)系的觀點(diǎn)是數(shù)學(xué)研究的核心思想，因而數(shù)學(xué)規(guī)律既可以從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，又可以從一種數(shù)學(xué)規(guī)律出發(fā)探索出其他規(guī)律。學(xué)生對(duì)規(guī)律的探索是一個(gè)從不同角度、不同層次逐步豐富認(rèn)識(shí)、加深理解的過程。在探索規(guī)律的同時(shí)，我們要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)規(guī)律進(jìn)行比較和分析，幫助學(xué)生很好地建立起規(guī)律之間的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平伴隨著數(shù)學(xué)規(guī)律的整體建構(gòu)而不斷提高。

研究圖形變化時(shí)，學(xué)生提出了“如果將一個(gè)立體圖形按n∶1的比例放大，放大后與放大前體積的比應(yīng)該是n3∶1”的猜想，并通過舉例驗(yàn)證和實(shí)際測(cè)量驗(yàn)證，證明了長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、圓錐體的體積變化規(guī)律都符合這個(gè)猜想。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生脫離具體圖形和特殊數(shù)據(jù)，從計(jì)算體積的基本公式出發(fā)，從更一般的角度推理論證了所有的立體圖形都符合這個(gè)規(guī)律。學(xué)到這里，教師請(qǐng)學(xué)生反思：“立體圖形體積的變化規(guī)律、平面圖形面積的變化規(guī)律、線段長(zhǎng)度的變化規(guī)律三者之間有什么聯(lián)系？”有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將一個(gè)圖形按n∶1的比例放大，放大后與放大前圖形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比是n∶1，面積的比是n2∶1，體積的比是n3∶1。也有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比和圖形放大的比是一致的，面積的比是放大的比的平方，體積的比是放大的比的立方，只要知道了三者中任意一個(gè)比就能推算出其他兩個(gè)比。還有學(xué)生結(jié)合之前對(duì)規(guī)律一般化的推理過程，以長(zhǎng)方體為例，總結(jié)出在一維空間里，線段變化只受線段長(zhǎng)度本身的影響;在二維空間里，面積變化要受到長(zhǎng)度和寬度兩個(gè)乘數(shù)的影響;在三維空間里，體積變化要受到長(zhǎng)度、寬度和高度三個(gè)乘數(shù)的影響。每增加一個(gè)維度，對(duì)應(yīng)的乘積就要多受一個(gè)乘數(shù)的影響。

教師引導(dǎo)學(xué)生站在思維的制高點(diǎn)，從不同維度對(duì)線、面、體的變化規(guī)律進(jìn)行分析和比較，將一個(gè)圖形按照n∶1的比例放大時(shí)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比、面積比、體積比建立起整體聯(lián)系，發(fā)展了空間觀念。學(xué)生完善了圖形變化規(guī)律的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了主體思維的不斷強(qiáng)化。在反思規(guī)律間聯(lián)系的過程中，學(xué)生豐富了探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的深度思考，發(fā)展了思維水平。

在探索規(guī)律的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思新舊知識(shí)間的關(guān)系，體會(huì)探究活動(dòng)更深層次的意義和價(jià)值。并引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)的視角，通過對(duì)規(guī)律的比較與分析，拓展數(shù)學(xué)思維，按照由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低緯到高緯的邏輯順序去建立規(guī)律間的聯(lián)系，為今后研究更復(fù)雜的規(guī)律積累經(jīng)驗(yàn)，也為從事更高水平的數(shù)學(xué)研究和創(chuàng)造活動(dòng)打好基礎(chǔ)。

維果斯基認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程是概念轉(zhuǎn)換的過程，即學(xué)生受到新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)影響而改變認(rèn)知，對(duì)原有概念重新建構(gòu)的過程。學(xué)生掌握了探索規(guī)律的科學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)了規(guī)律的深入理解和自主建構(gòu)，可以有效地提高數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)換的效果。在探索規(guī)律的教學(xué)活動(dòng)中，我們要充分引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，勇于提出猜想;用數(shù)學(xué)的思維思考，對(duì)規(guī)律進(jìn)行廣泛驗(yàn)證，嚴(yán)密求證;用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言交流，把握規(guī)律間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的魅力。這樣既能充分發(fā)揮探索規(guī)律的教學(xué)價(jià)值，又能使學(xué)生收獲真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升我們的教學(xué)品位。

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