奇異值分解在遙感圖像數(shù)據(jù)壓縮中的應(yīng)用

陳文青 范 恩 胡 波

(1.紹興職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院, 浙江 紹興 312000;2.紹興文理學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系, 浙江 紹興 312000;3.寧波氣象局, 浙江 寧波 315012)

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和社會(huì)數(shù)字化轉(zhuǎn)型，數(shù)據(jù)規(guī)模向PB級(jí)(PB指petabyte,PB是數(shù)據(jù)存儲(chǔ)容量的單位，1PB=1024TB，1TB=1024GB，1GB=1024MB)發(fā)展，數(shù)據(jù)種類(lèi)繁多，有各種結(jié)構(gòu)化、半結(jié)構(gòu)化、非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理需要快速，這對(duì)大數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、挖掘和分析帶來(lái)極大的挑戰(zhàn).Hadoop是分布式大數(shù)據(jù)處理平臺(tái)，Spark是一個(gè)開(kāi)源并行云計(jì)算平臺(tái)，是一個(gè)流行的計(jì)算框架，擁有Hadoop MapReduce具備的優(yōu)點(diǎn)[1].Matlab是一款可開(kāi)發(fā)算法、進(jìn)行數(shù)據(jù)分析及數(shù)據(jù)可視化的優(yōu)秀軟件，可用Matlab進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析與挖掘，南開(kāi)大學(xué)博士馬文輝把Hadoop/Spark與Matlab進(jìn)行集成，實(shí)現(xiàn)大數(shù)據(jù)的處理與挖掘.

遙感大數(shù)據(jù)處理是典型的大數(shù)據(jù)應(yīng)用方向之一[2].隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展以及信息化的廣泛應(yīng)用，遙感圖像已經(jīng)成為信息產(chǎn)業(yè)的主要數(shù)據(jù)來(lái)源之一[3-6].高分辨率的遙感圖像不僅能夠直觀反映地理資源的分布情況，而且可以為地理信息產(chǎn)品提供諸多信息[7-9].然而，由于遙感圖像數(shù)據(jù)時(shí)空分辨率、光譜分辨率等不斷提高，數(shù)據(jù)類(lèi)型不斷增加以及基于多平臺(tái)的傳感器組網(wǎng)系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，遙感數(shù)據(jù)具有典型的大數(shù)據(jù)特征.這給數(shù)據(jù)傳輸和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)都帶來(lái)極大的壓力[10-11].

圖像壓縮技術(shù)為解決上述問(wèn)題提供了一種有效的策略[12-13].遙感圖像經(jīng)過(guò)灰度處理后，可以看作元素為灰度值的二維矩陣.因?yàn)檫b感圖像分辨率高，相鄰像元間的相關(guān)性較強(qiáng)，所以與遙感圖像對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣一般具有較大的冗余度[14].一般地，遙感圖像的冗余可以通過(guò)矩陣的秩來(lái)衡量：秩較高的圖像矩陣各列元素彼此的相關(guān)程度低，秩較低的圖像矩陣各列元素彼此的相關(guān)程度高.因此，針對(duì)遙感圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，不僅有利于節(jié)省通信信道的帶寬，還能夠提高數(shù)據(jù)的傳輸速率以及系統(tǒng)的可靠性.

在圖像壓縮技術(shù)中，矩陣分解是重要的理論組成部分.它通過(guò)將原始矩陣拆分成具有不同性質(zhì)的矩陣的乘積，來(lái)描述矩陣隱藏的屬性及彼此間的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)各種高效的壓縮算法.其中，奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是典型的矩陣分解方法[15].為此，本文采用SVD方法，針對(duì)遙感圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，并采用實(shí)測(cè)遙感圖像數(shù)據(jù)驗(yàn)證提出算法的性能.

1 SVD的基本理論

λi≥λi+1，且λn≥0

(1)

A=UΣVH

(2)

那么，酉矩陣U的每一列稱(chēng)為矩陣A的左奇異向量，酉矩陣V的每一列稱(chēng)為矩陣A的右奇異向量.其中，Σ是由矩陣A的r個(gè)奇異值構(gòu)成的廣義對(duì)角矩陣.

2 基于SVD的遙感圖像壓縮

經(jīng)過(guò)灰度處理后，遙感圖像可以看作元素為灰度值的二維矩陣.因?yàn)檫b感圖像數(shù)據(jù)分辨率高、數(shù)據(jù)量大，像素間的相關(guān)性較強(qiáng)，所以遙感圖像對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣一般具有較大的冗余度[14].遙感圖像的冗余度可以通過(guò)矩陣的秩來(lái)衡量.如果圖像矩陣的秩越高，那么矩陣各列元素的相關(guān)程度越低.相反，如果圖像矩陣的秩越低，那么矩陣各列元素的相關(guān)程度越高.考慮到SVD的優(yōu)點(diǎn)，這里將SVD用于遙感圖像壓縮.

針對(duì)(2)式，將SVD改寫(xiě)為外積的形式：

A=UΣVH=(u1,u2,…,um)

(3)

經(jīng)過(guò)非零奇異值的外積展開(kāi)后，很容易發(fā)現(xiàn)其他外積項(xiàng)(乘積為零)實(shí)際上是冗余數(shù)據(jù)，對(duì)矩陣A沒(méi)有任何貢獻(xiàn).為此，可以采用SVD處理遙感圖像，剔除零奇異值對(duì)應(yīng)的奇異向量，從而實(shí)現(xiàn)遙感圖像的數(shù)據(jù)壓縮.

考慮到噪聲對(duì)遙感圖像的影響以及遙感圖像內(nèi)容的復(fù)雜性，在實(shí)際中圖像矩陣可能是滿(mǎn)秩的.即非零奇異值的個(gè)數(shù)等于矩陣的行數(shù)或列數(shù).此時(shí)，簡(jiǎn)單地剔除多余的奇異向量并不能實(shí)現(xiàn)遙感圖像的數(shù)據(jù)壓縮.理論上，圖像中相似度較強(qiáng)的區(qū)域一般是線性無(wú)關(guān)的，但是它們可以被近似看作線性相關(guān)的.盡管這將產(chǎn)生很小的奇異值，但是這種由像素間微小差異所導(dǎo)致的線性無(wú)關(guān)對(duì)于圖像整體表征的影響可以忽略不計(jì).因此，可以剔除SVD外積展開(kāi)式中奇異值λk較小的外積項(xiàng)(0

(4)

奇異值壓縮方法主要步驟如下：

(1)獲取原始遙感圖像的矩陣A，并提取R、G、B三個(gè)通道的遙感圖像數(shù)據(jù)AR、AG和AB.

此外，如果選取r′個(gè)奇異值以及這些奇異值對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量重構(gòu)原始遙感圖像，可以進(jìn)一步定義圖像的壓縮比率為：

(5)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)采用的遙感圖像為jpg格式的MODIS遙感圖像數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)平臺(tái)參數(shù)為：Intel(R)Core(TM)i3-9100 CPU @ 3.6 GHz，內(nèi)存8.00 GB，運(yùn)行環(huán)境Matlab r2009b.在實(shí)驗(yàn)中，首先調(diào)用Matlab自帶函數(shù)讀取圖像數(shù)據(jù)，并提取R、G、B三個(gè)通道的圖像數(shù)據(jù)AR、AG和AB，分別用3個(gè)1596*1974階的圖像矩陣，如圖1所示.

圖1 原始圖像和分量圖像

針對(duì)任一通道的分量圖像，分別將分量圖像讀入Matlab中，存儲(chǔ)為數(shù)據(jù)矩陣Ai，并將其轉(zhuǎn)換為double型，以適應(yīng)SVD函數(shù)的要求；然后運(yùn)用函數(shù)[U,Σ,V]=svd(Ai)進(jìn)行奇異值分解，可以分別得到1596*1974的對(duì)角奇異矩陣Σ，1596*1596的左奇異矩陣為U，1974*1974的右奇異矩陣為V.

提取遙感圖像矩陣的奇異值作為行向量，可以分別得到對(duì)應(yīng)三個(gè)通道分量圖像的奇異值曲線，如圖2-4所示.利用分解后的分量圖像矩陣可以重構(gòu)圖像，即r′=10,40,80,100,200,400,800,1200,1596，如圖5-7所示.此外，利用三通道的分量圖像可以進(jìn)一步合成RGB圖像，如圖8所示.

圖2 R通道圖像奇異值曲線

圖3 G通道圖像奇異值曲線

圖4 B通道圖像奇異值曲線

圖5 R通道圖像重構(gòu)

圖6 G通道圖像重構(gòu)

圖7 B通道圖像重構(gòu)

圖8 重構(gòu)圖像

從圖2-4可以看出，奇異值衰減很快.從圖5-7可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值越大的奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)率越大，數(shù)值越小的奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)率越小.取前40個(gè)奇異值，就可以基本重構(gòu)清晰的原始圖像，且不會(huì)帶來(lái)較大的失真.如果壓縮數(shù)r′越小，那么需要保存的數(shù)據(jù)就越少，重構(gòu)后的圖像與原始圖像相差越大.此時(shí)，重構(gòu)后的遙感圖像會(huì)非常模糊.相反，如果壓縮數(shù)越大，那么需要保存的數(shù)據(jù)越多，重構(gòu)后的圖像與原圖像相差越小.此時(shí)，重構(gòu)后的圖像會(huì)比較清晰.當(dāng)壓縮數(shù)r′等于原始圖像的維數(shù)時(shí)，重構(gòu)圖像與原始遙感圖像基本一致.此外，表1進(jìn)一步給出不同壓縮數(shù)r′下的壓縮比例值.

表1 遙感圖像的壓縮比率值

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先分析遙感圖像的特點(diǎn)和存在的問(wèn)題，并提出一種基于奇異值分解(SVD)的遙感圖像壓縮方法.該算法主要通過(guò)SVD分解方法獲取遙感圖像的壓縮矩陣，然后選取局部壓縮矩陣重構(gòu)原始遙感圖像的近似圖像.同時(shí)在分解過(guò)程中，通過(guò)壓縮矩陣的奇異值曲線可以獲取奇異值的衰減規(guī)律以及與奇異值對(duì)遙感圖像的貢獻(xiàn)程度.此外，通過(guò)選取不同的壓縮值可以實(shí)現(xiàn)不同壓縮效果.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于奇異值分解的遙感圖像壓縮方法能夠有效地實(shí)現(xiàn)遙感圖像的壓縮，具有良好的壓縮效果.