云南 蔣金團(tuán)

在高中階段，解答物理學(xué)中動(dòng)力學(xué)問題主要有三種方法，第一種方法是采用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解；第二種方法是采用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律求解；第三種方法是采用功能關(guān)系求解。第一種方法與第三種方法的主要差別在于處理多過程問題時(shí)，牛頓運(yùn)動(dòng)定律只能根據(jù)不同階段的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)逐段求解，而功能關(guān)系既可以分段求解，也可以全過程求解，采用功能關(guān)系處理多過程問題往往有獨(dú)到之處。正因?yàn)槿绱耍诟咧形锢斫虒W(xué)中，教師應(yīng)依托相關(guān)的物理模型，深度培養(yǎng)學(xué)生的能量觀念，提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、常見的功能關(guān)系

功是能量轉(zhuǎn)化的量度，做功的過程伴隨著能量的轉(zhuǎn)化，一個(gè)力對(duì)物體做了多少功，就有多少能量發(fā)生轉(zhuǎn)化，因此使用能量觀點(diǎn)解題時(shí)，首先，必須弄清楚各個(gè)力的做功情況。實(shí)際答題時(shí)，可按如下的步驟依次進(jìn)行：(1)選取研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，先分析場(chǎng)力(重力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力)，接著分析彈力，最后分析摩擦力；(2)確定各個(gè)力的做功情況，若力與速度垂直則該力不做功，若力與速度同向或成銳角則該力做正功，若力與速度反向或成鈍角則該力做負(fù)功；(3)根據(jù)各個(gè)力的做功情況確定對(duì)應(yīng)能量的增減情況及數(shù)值；(4)利用功能關(guān)系列方程求解未知量。

幾種常見的功能關(guān)系力做功能量的變化功能關(guān)系合力動(dòng)能W合=Ek2-Ek1,合力做正功動(dòng)能增加,合力做負(fù)功動(dòng)能減少重力重力勢(shì)能WG=Ep1-Ep2,重力做正功重力勢(shì)能減少,重力做負(fù)功重力勢(shì)能增加彈簧彈力彈性勢(shì)能W彈=Ep1-Ep2,彈簧彈力做正功彈性勢(shì)能減少,彈力做負(fù)功彈性勢(shì)能增加

續(xù)表

( )

【解題總結(jié)】正確解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè)：(1)準(zhǔn)確地受力分析，弄清每個(gè)力的做功情況，進(jìn)而確定合力做功屬于恒力做功還是變力做功，若為變力做功，則優(yōu)先考慮“動(dòng)能定理”或“能量守恒定律”尋找解題突破口。本題中的探測(cè)器受到月球施加的萬有引力，當(dāng)探測(cè)器距離月球表面越來越高時(shí)，其所受的萬有引力逐漸減小，因此本題屬于變力做功問題，可選擇動(dòng)能定理作為解題的突破口；(2)要充分利用題目中給出的引力勢(shì)能公式，根據(jù)功能關(guān)系算出萬有引力所做的功，探測(cè)器升高時(shí)，探測(cè)器的引力勢(shì)能增加，萬有引力做負(fù)功，萬有引力所做的功等于引力勢(shì)能的增加量；(3)深刻理解黃金代換式的橋梁作用。

【例2】將一小球從地面上以一定的初速度豎直向上拋出，設(shè)小球的動(dòng)能為Ek，小球距離地面的高度為h，小球在上升過程和下落過程中的部分Ek-h圖像如圖1所示，已知小球所受空氣阻力大小恒定，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間=10 m/s2，下列說法正確的是

圖1

( )

A.從開始拋出到落回地面，小球損失的機(jī)械能為20 J

B.小球的質(zhì)量為2 kg

C.小球受到的空氣阻力為1 N

D.若以地面為零勢(shì)能面，小球的最大重力勢(shì)能為60 J

【解題總結(jié)】本題以圖像為載體，考查學(xué)生對(duì)功能關(guān)系的理解及靈活應(yīng)用。解答這類題，我們可按如下的步驟進(jìn)行：(1)把圖像中的每個(gè)點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)過程中的每個(gè)位置一一對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)圖像到運(yùn)動(dòng)模型的轉(zhuǎn)化。例如，圖像中的點(diǎn)(0 m，72 J)表示小球剛拋出時(shí)動(dòng)能為72 J，而點(diǎn)(0 m，48 J)表示小球落回地面時(shí)的動(dòng)能為48 J；(2)利用物理規(guī)律寫出圖像的表達(dá)式，把物理表達(dá)式和數(shù)學(xué)函數(shù)“y=kx+b”進(jìn)行對(duì)照，找出斜率和截距的物理意義，難點(diǎn)便可突破。例如，上升過程的物理表達(dá)式為Ek=-(mg+F阻)h+72 J，該函數(shù)斜率的絕對(duì)值表示上升過程中小球受到的合力，縱軸截距表示拋出時(shí)的初動(dòng)能，下落過程的物理表達(dá)式為Ek=-(mg-F阻)h+(mg-F阻)H，該函數(shù)斜率的絕對(duì)值表示下落過程中小球受到的合力，縱軸截距表示“(mg-F阻)H”。

二、滑動(dòng)摩擦力做功與摩擦生熱

滑動(dòng)摩擦力做功(W=Ffs)和摩擦生熱(Q=Ffs)是一對(duì)非常容易混淆的公式，學(xué)生之所以混淆在于他們沒有區(qū)分兩個(gè)公式中s的物理意義，事實(shí)上，只要準(zhǔn)確把握好參照物，明確兩個(gè)s的物理意義，這個(gè)點(diǎn)是不難突破的。

(1)計(jì)算滑動(dòng)摩擦力做功時(shí)，分兩種情況，若物體做單方向直線運(yùn)動(dòng)，公式W=Ffs中的s指的是物體的位移；若物體做的是往返型直線運(yùn)動(dòng)，公式W=Ffs中的s指的是物體的路程。

(2)計(jì)算摩擦生熱時(shí)，分兩種情況，若物體在運(yùn)動(dòng)的長木板上做單方向直線運(yùn)動(dòng)，公式Q=Ffs中的s指的是物體與長木板的相對(duì)位移；若物體在運(yùn)動(dòng)的長木板上做往返型直線運(yùn)動(dòng)，公式Q=Ffs中的s指的是物體與長木板的相對(duì)路程。

【例3】如圖2所示，在光滑的水平地面上放置長木板B，在長木板的左側(cè)放置滑塊A，現(xiàn)用水平恒力將滑塊A拉到長木板B的右側(cè)，第一次將長木板B固定在地面上，此時(shí)滑塊A克服摩擦力做的功為W1，兩者間的摩擦生熱為Q1；第二次長木板B未固定在地面上，此時(shí)滑塊A克服摩擦力做的功為W2，兩者間的摩擦生熱為Q2，下列說法正確的是

圖2

( )

A.W1W2，Q1>Q2

C.W1

【解析】長木板B固定時(shí)，滑塊A的位移和相對(duì)B的位移大小都等于板長；長木板B未固定時(shí)，滑塊A運(yùn)動(dòng)以后，長木板B在滑動(dòng)摩擦力的作用下向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑塊A的位移大小大于板長，而相對(duì)位移大小仍然等于板長。因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力做功與位移有關(guān)，第二次過程的位移大小較大，則W1

【解題總結(jié)】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)是“兩個(gè)區(qū)分”，首先，要區(qū)分“位移”和“相對(duì)位移”，計(jì)算滑塊的位移時(shí)，以大地作為參考系，而計(jì)算滑塊的相對(duì)位移時(shí)，以長木板作為參考系；其次，要區(qū)分“滑動(dòng)摩擦力做功”與“摩擦生熱”，滑動(dòng)摩擦力做功與位移有關(guān)，而摩擦生熱與相對(duì)位移有關(guān)。

【例4】如圖3所示，在粗糙的水平地面上放置一質(zhì)量為m=4 kg的長木板，在長木板的右端放置質(zhì)量為mA=1 kg的滑塊A，在長木板的左端放置質(zhì)量為mB=5 kg的滑塊B，兩滑塊與長木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1=0.5，長木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.1。某時(shí)刻兩滑塊以相同速率v0=3 m/s相向運(yùn)動(dòng)，兩滑塊相遇時(shí)，A與長木板恰好相對(duì)靜止，當(dāng)?shù)刂亓铀俣热=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：

圖3

(1)滑塊B開始運(yùn)動(dòng)到滑塊B與長木板相對(duì)靜止時(shí)，滑塊B與長木板之間的摩擦生熱；

(2)滑塊A、B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)兩者之間的距離。

【解析】(1)以水平向右為正方向，在滑塊B開始運(yùn)動(dòng)到滑塊B與長木板相對(duì)靜止的過程中，由牛頓第二定律得

滑塊A的加速度為aA=μ1g=5 m/s2

滑塊B的加速度為aB=-μ1g=-5 m/s2

長木板的加速度為

以長木板作為參考系，對(duì)于滑塊B，有

相對(duì)初速度為vB0相=v0=3 m/s

從滑塊B開始運(yùn)動(dòng)到滑塊B與長木板相對(duì)靜止，所用的時(shí)間為

滑塊B與長木板之間的摩擦生熱為

Q=μ1mBg·xB相=15 J

(2)在滑塊B開始運(yùn)動(dòng)到滑塊B與長木板相對(duì)靜止的過程中，以長木板作為參考系，對(duì)于滑塊A，有

相對(duì)初速度為vA0相=-v0=-3 m/s

此過程中，滑塊A的相對(duì)末速度為

vA1相=vA0相+aA相t1=-2 m/s

此過程中，滑塊A的相對(duì)位移為

滑塊B和長木板共速之后，設(shè)兩者組成整體的加速度為a′，由牛頓第二定律得

因?yàn)閨a′|<μ1g，說明滑塊B和長木板共速之后，兩者將一直保持相對(duì)靜止。

在滑塊B和長木板相對(duì)靜止到滑塊A和長木板相對(duì)靜止的過程中，以長木板為參考系，對(duì)于滑塊A，有

兩滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩者間的距離為

【解題總結(jié)】本題以“滑塊—長木板模型”為載體，考查學(xué)生對(duì)牛頓運(yùn)動(dòng)定律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、摩擦生熱等核心知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力。處理“板塊模型”時(shí)，運(yùn)用“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”解題往往有獨(dú)到之處。實(shí)際解答時(shí)，按如下的步驟進(jìn)行：(1)分別對(duì)滑塊和長木板進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力情況確定運(yùn)動(dòng)情況，需要說明的是當(dāng)滑塊和長木板共速時(shí)，一定要用最大靜摩擦力來判斷摩擦力的突變情況；(2)運(yùn)用牛頓第二定律分別算出滑塊和長木板的加速度；(3)以長木板作為參考系，利用公式“相對(duì)量=研究對(duì)象的量-參考系的量”計(jì)算滑塊的相對(duì)初速度、相對(duì)末速度、相對(duì)加速度和相對(duì)位移等運(yùn)動(dòng)量，需要說明的是，計(jì)算相對(duì)運(yùn)動(dòng)量時(shí)，矢量的方向必須參與運(yùn)算，此時(shí)規(guī)定矢量的正方向顯得尤為重要；(4)將相對(duì)運(yùn)動(dòng)量代入運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，以時(shí)間為橋梁，將滑塊和長木板的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)系在一起，便可聯(lián)立求解。

三、與彈簧有關(guān)的能量守恒問題

“彈簧模型”是考查學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的良好載體，從力的角度講，彈簧的長度發(fā)生改變時(shí)，它對(duì)物體施加的是變力，力的變化往往涉及臨界問題和極值問題，這就能很好地考查學(xué)生應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決動(dòng)力學(xué)問題的能力；從能的角度講，彈簧的長度發(fā)生改變時(shí)，必然涉及彈性勢(shì)能和其他形式的能量之間的轉(zhuǎn)化，這就能很好地考查學(xué)生應(yīng)用能量觀點(diǎn)解決物理問題的能力。

【例5】如圖4所示，豎直平面內(nèi)固定著一個(gè)半徑為R=1 m的半圓形軌道，該軌道與光滑水平面在B點(diǎn)平滑連接，水平面左側(cè)的墻上固定著一個(gè)輕質(zhì)彈簧，一質(zhì)量為m=1 kg的滑塊將彈簧的右端壓縮到A點(diǎn)后由靜止釋放，滑塊脫離彈簧后經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為自身重力的8倍，之后沿著軌道向上運(yùn)動(dòng)恰能通過最高點(diǎn)C，已知當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間=10 m/s2，求：

圖4

(1)彈簧的右端位于A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能Ep；

(2)滑塊從半圓形軌道的最低點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C的過程中，滑塊與軌道之間的摩擦生熱Q。

【解析】(1)設(shè)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，此時(shí)受到的支持力為FN

由牛頓第三定律得FN=F壓=8mg

聯(lián)立各式得Ep=35 J

滑塊從半圓形導(dǎo)軌的最低點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C的過程中，由能量守恒定律得

聯(lián)立各式得Q=10 J

【解題總結(jié)】(1)彈簧將滑塊推出時(shí)，滑塊受到的合力是變力，勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律并不適用，此時(shí)往往利用功能關(guān)系尋找突破口；(2)滑塊在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑塊做的是變速圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周運(yùn)動(dòng)模型中，涉及某個(gè)位置的信息時(shí)，列向心力的來源方程，涉及研究對(duì)象從某個(gè)位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)位置的過程問題時(shí)，列動(dòng)能定理方程或能量守恒定律方程。

【例6】現(xiàn)有兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的星球A和B，將兩個(gè)完全相同的彈簧分別豎直固定在兩個(gè)星球的水平桌面上，再將兩物體P和Q分別輕輕放到星球A和B上彈簧的上端，兩物體的加速度a與彈簧的壓縮量x之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖5中的實(shí)線和虛線所示，已知星球A的半徑是星球B的半徑的3倍，下列說法正確的是

圖5

( )

A.星球A和星球B具有相同的密度

B.物體P和物體Q的質(zhì)量之比為3∶1

C.下落過程中，物體P和物體Q的最大動(dòng)能之比為1∶4

D.下落過程中，物體P和物體Q的最大位移之比為1∶4