繞組分段永磁直線同步電機(jī)預(yù)設(shè)性能滑模反推控制

李大盼

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，無錫 214122)

0 引 言

近年來，直線電機(jī)在傳送系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。相比于傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機(jī)，直線電機(jī)沒有將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動(dòng)的中間裝置[1]，比如絲桿和齒輪，減少了機(jī)械損耗，并且擁有傳統(tǒng)直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)難以比擬的高精度，同時(shí)還有高效率、低噪聲和機(jī)構(gòu)簡單、功率密度大等諸多優(yōu)點(diǎn)[2]。相比于直線感應(yīng)電機(jī)，永磁同步直線電機(jī)(以下簡稱PMLSM)效率更高、功率密度更大[3]，因此在高品質(zhì)直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。根據(jù)PMLSM本體結(jié)構(gòu)，可以分為長初級PMLSM和長次級PMLSM，長次級永磁同步直線電機(jī)一般用履帶鏈供電，供電電纜需要跟隨動(dòng)子運(yùn)動(dòng)，這無疑會(huì)限制電機(jī)最大速度，降低電機(jī)加減速性能，并且對系統(tǒng)的可靠性產(chǎn)生不利影響[4]。繞組分段永磁直線同步電機(jī)(以下簡稱WS-PMLSM)由于其初級繞組分段的特點(diǎn)，解決了傳統(tǒng)長初級繞組由于初級繞組過長引起的供電電壓高、電阻及電感過大、電磁損耗大等問題[5]。從原理上講，WS-PMLSM將較長的PMLSM的初級分成若干段段的小直線電機(jī)，在驅(qū)動(dòng)電機(jī)時(shí)，只需對與次級耦合的小電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，克服了長初級PMLSM電阻、電感較大的缺點(diǎn)，可以降低驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)壓力，并且電機(jī)運(yùn)行效率也可以得到提升。但定子繞組運(yùn)行時(shí)參數(shù)是時(shí)變、不確定的，例如溫度變化對電阻的影響，三相不平衡，軌道結(jié)構(gòu)等[6]，特別是次級滑塊同時(shí)與兩段定子繞組耦合的過度階段，由于WS-PMLSM特殊的定子繞組分段結(jié)構(gòu)，定子繞組的磁通、電感都隨次級滑塊位置變化，不考慮定子鐵心飽和的情況下，動(dòng)子從一段定子移除的過程中，電感的大小與耦合面積成正關(guān)系，變化率約為25%，磁鏈與耦合面積近似成正比[1]，所以，在WS-PMLSM的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，應(yīng)該著重考慮電機(jī)模型參數(shù)變化對控制系統(tǒng)的影響，針對這種情況，傳統(tǒng)的PI控制難以取得良好的控制效果。

反推控制已經(jīng)在PMLSM控制中得到了廣泛的應(yīng)用，該方法可以對PMLSM完全解耦，另一方面，根據(jù)反推控制設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性[7]，但傳統(tǒng)反推控制需要被控對象精準(zhǔn)的模型信息，并且無法適應(yīng)參數(shù)隨時(shí)間的變化。為了提升傳統(tǒng)反推控制的魯棒性，自適應(yīng)[8-9]、滑模[10-11]等方法被引入到反推控制中，用于處理被控對象參數(shù)不確定性和系統(tǒng)的非線性，并取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)[5]提出了自適應(yīng)反推方法，通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)率來估計(jì)控制對象參數(shù)變化，用于消除參數(shù)不確定性對控制系統(tǒng)帶來的影響。但它沒有考慮微分環(huán)節(jié)所帶來的微分膨脹問題，所設(shè)計(jì)的控制器計(jì)算量過大，限制了其實(shí)際應(yīng)用；另外，該方法無法確保系統(tǒng)穩(wěn)定的快速性。

本文將預(yù)設(shè)性能引入自適應(yīng)反推控制，并引入受限指令濾波，解決輸入受限和微分膨脹問題。預(yù)設(shè)性能考慮超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間等瞬態(tài)性能，能夠保證跟蹤誤差在一定時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)設(shè)區(qū)域內(nèi)。本文設(shè)計(jì)的控制器優(yōu)點(diǎn)在于：1) 中間控制變量沒有微分環(huán)節(jié)，消除微分膨脹；2) 運(yùn)用預(yù)設(shè)性能方法，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上考慮系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，使收斂速度更快，引入滑模變結(jié)構(gòu)方法，增強(qiáng)了魯棒性；3) 受限指令濾波限制了虛擬控制信號的幅值和變化速率，滿足系統(tǒng)對狀態(tài)變量和控制信號的約束，增強(qiáng)了實(shí)用性。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 WS-PMLSM的數(shù)學(xué)模型

次級滑塊運(yùn)動(dòng)到初級線圈的過程中，次級滑塊磁場對初級繞組磁場產(chǎn)生影響。隨著耦合面積的增加，初級線圈的磁路磁阻、自感和互感和勵(lì)磁電動(dòng)勢的幅值呈現(xiàn)上升趨勢。當(dāng)次級滑塊完全運(yùn)動(dòng)到初級繞組上方(磁路完全耦合)，初級線圈的磁路磁阻、自感和互感和勵(lì)磁電動(dòng)勢的幅值保持穩(wěn)定，不再發(fā)生變化。而在次級滑塊退出初級繞組的過程中，隨著耦合面積的減小，初級線圈的磁路磁阻、自感和互感和勵(lì)磁電動(dòng)勢的幅值呈現(xiàn)下降趨勢[13-14]。

WS-PMLSM每段小電機(jī)從本身物理特性來講是一個(gè)PMLSM，其數(shù)學(xué)模型也與PMLSM相同，但由于WS-PMLSM特殊的繞組分段結(jié)構(gòu)，在動(dòng)子從一段繞組過渡到另一段繞組的過程中，動(dòng)子對繞組模型產(chǎn)生影響，電機(jī)磁鏈和電感隨動(dòng)子位置變化而變化，由于電機(jī)的電感和磁鏈為動(dòng)子位置的函數(shù)，將其分別用Ls(x)和ψf(x)表示，如圖1所示。

圖1 WS-PMLSM結(jié)構(gòu)圖

WS-PMLSM單段初級繞組在d,q軸同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下電壓方程：

(1)

式中：ud,uq是d,q坐標(biāo)系下的定子電壓；id,iq是d,q坐標(biāo)系下的定子電流；Rs為相電阻；τ為極距；v為動(dòng)子速度。

第n段初級繞組產(chǎn)生的電磁推力：

(2)

初級繞組整體產(chǎn)生的電磁推力：

(3)

次級滑塊同時(shí)與兩個(gè)初級繞組耦合的過渡階段，兩段繞組同時(shí)對次級滑塊產(chǎn)生電磁推力，對兩繞組施加大小相等、相位相同的電流，兩段初級繞組可以等效為一個(gè)初級繞組，保證在過渡階段電磁推力不發(fā)生變化。

WS-PMLSM的動(dòng)力學(xué)模型：

(4)

式中：TL是負(fù)載力；M是運(yùn)動(dòng)部分的總質(zhì)量；B是摩擦系數(shù)。

2 預(yù)設(shè)性能滑模反推控制器設(shè)計(jì)

WS-PMLSM模型具有非線性特征，并且模型參數(shù)不確定，傳統(tǒng)的PI控制不能很好地適應(yīng)這種情況，為了獲得精確的速度控制，本文設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)性能自適應(yīng)反推控制器。

2.1 限幅值指令濾波

反推控制需要對虛擬控制量進(jìn)行逐級求導(dǎo)，會(huì)出現(xiàn)微分膨脹問題[12]，同時(shí)考慮到實(shí)際應(yīng)用中執(zhí)行器飽和的問題。本文用限幅指令濾波替代微分環(huán)節(jié)，解決了微分膨脹和控制器飽和問題。其狀態(tài)空間模型的方程：

(5)

圖2 限幅值指令濾波結(jié)構(gòu)

本文以WS-PMLSM速度作為跟蹤目標(biāo)，q軸電流作為虛擬控制量，定義追蹤誤差：

e1=v(t)-vc(t)

ed=id

(6)

從圖2可以看出，其可以不通過微分求導(dǎo)環(huán)節(jié)得到輸入信號的微分，但濾波器不可避免地產(chǎn)生誤差，該誤差可能會(huì)對控制效果帶來不利影響。為了消除這種影響，對跟蹤誤差進(jìn)行補(bǔ)償：

(7)

式中：η為指令濾波誤差。

設(shè)計(jì)指令濾波補(bǔ)償信號：

(8)

2.2 預(yù)設(shè)性能函數(shù)與誤差變換

為了獲得預(yù)先設(shè)定的控制性能，提出預(yù)設(shè)性能函數(shù)，系統(tǒng)速度的跟蹤誤差被限制在預(yù)設(shè)性能函數(shù)內(nèi)。預(yù)設(shè)性能函數(shù)的定義如下：

本文選擇預(yù)設(shè)性能函數(shù):

ρ(t)=(ρ0-ρ)e-lt+ρ

(9)

式中：ρ0,ρ和l均正數(shù)。

(10)

為了將約束條件轉(zhuǎn)化為等式形式，在動(dòng)態(tài)性能函數(shù)中引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，將式(10)轉(zhuǎn)化：

(11)

式中：ε(t)為轉(zhuǎn)換誤差；L(·)為光滑且嚴(yán)格遞增的函數(shù)，另外，L(·)應(yīng)滿足一下性質(zhì)：

(12)

(13)

定義一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)：

(14)

將式(11)，式(12)代入式(14)可得：

(15)

對ε(t)求導(dǎo)可得：

(16)

將式(7)代入式(16)可得：

(17)

2.3 預(yù)設(shè)性能自適應(yīng)反推控制器設(shè)計(jì)

對系統(tǒng)進(jìn)行如下限定：

限定2：輸入受限和狀態(tài)受限的幅度和速率已知。

Step 1:選擇李雅普諾夫函數(shù)：

(18)

對V1求導(dǎo)可得：

(19)

選擇：

(20)

由式(19)、式(20)可以得到：

(21)

式中：k1為大于零的設(shè)計(jì)參數(shù)。

Step 2：為了增強(qiáng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，q軸電流環(huán)引入滑模變結(jié)構(gòu)方法。設(shè)計(jì)滑模面：

式中：a為正的常數(shù)；n>m>0。

設(shè)計(jì)滑模面的趨近律：

(22)

式中：k2,τ均為大于零的常數(shù)。

(23)

對V2求導(dǎo)可得：

(24)

選擇：

(25)

(26)

式中：k3為大于零的常數(shù)。

將式(25)、式(26)代入式(24)可得：

(27)

做穩(wěn)定性分析：

(28)

V2[e1(t),e2(t),e3(t)]

(29)

(30)

由于實(shí)際系統(tǒng)中誤差e1,eq,ed是有界的，所以W(t)有界，根據(jù)Barbalat’s定理，W(t)是連續(xù)一致的，可以得到：

當(dāng)t→時(shí)，e1,eq,ed收斂到零，系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 仿真研究

本文搭建了一個(gè)如圖3所示的仿真系統(tǒng)，用于驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的有效性。系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)中WS-PMLSM參數(shù)如表1所示，限幅值指令濾波器的各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。

表1 WS-PMLSM參數(shù)

表2 限幅值指令濾波器參數(shù)

圖3 系統(tǒng)控制框圖

為了獲得良好的控制效果，控制器參數(shù)設(shè)計(jì)：k=100,k1=k2=k3=8000；自適應(yīng)參數(shù)設(shè)計(jì)：γ1=40000,γ2=60 000,γ3=7 500。預(yù)設(shè)性能函數(shù)設(shè)計(jì)：ρ(t)=(1-0.005)e-90t+0.005。

通過對比PI控制和預(yù)設(shè)性能滑模反推控制(以下簡稱PPSC)的控制效果，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性和抗干擾性。在PI控制中，為了使WS-PMLSM獲得快速的動(dòng)態(tài)性能和超調(diào)的靜態(tài)性能，使用試湊法確定PI各環(huán)節(jié)的參數(shù)。仿真中，為了檢驗(yàn)控制方法對外部干擾的魯棒性，在t=0.3 s時(shí)刻加入突變量，將電機(jī)負(fù)載Tl由10 N突變至100 N。

仿真結(jié)果如圖4～圖8所示?？梢钥闯?，電機(jī)剛起動(dòng)時(shí)，誤差較大，在控制系統(tǒng)的調(diào)控下，補(bǔ)償誤差迅速減小，并且最終收斂到零。在整個(gè)過程中，補(bǔ)償誤差沒有超出預(yù)設(shè)性能區(qū)間，滿足預(yù)先對控制系統(tǒng)設(shè)定的性能指標(biāo)。圖4為PPSC和傳統(tǒng)PI控制電機(jī)速度對比。圖6為兩種控制方法誤差對比，對比兩種跟蹤效果，PPSC超調(diào)量更小，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，PPSC沒有靜差。在系統(tǒng)受到外部干擾時(shí)，PPSC受到擾動(dòng)影響，出現(xiàn)最大速度誤差比PI控制最大速度誤差小，并且能夠快速修復(fù)外部擾動(dòng)對控制系統(tǒng)的影響，使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，跟蹤誤差快速下降到零，這表明PPSC對外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性，并且具有更好的動(dòng)態(tài)性能。在電機(jī)實(shí)際運(yùn)行過程中，外界對電機(jī)的擾動(dòng)是不可預(yù)知的，例如電機(jī)負(fù)載質(zhì)量變化，為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法對這類外部擾動(dòng)的魯棒性，將電機(jī)動(dòng)子指令設(shè)為原來的3倍即3M。圖7為正常動(dòng)子質(zhì)量和動(dòng)子質(zhì)量為3M時(shí)系統(tǒng)補(bǔ)償誤差對比。從圖7中可以看出，當(dāng)動(dòng)子質(zhì)量增加到原來的3倍時(shí)，系統(tǒng)起動(dòng)后，補(bǔ)償誤差仍然迅速減小，并且最終收斂到零，在整個(gè)過程中，補(bǔ)償誤差沒有超出預(yù)設(shè)性能區(qū)間，滿足預(yù)先對控制系統(tǒng)設(shè)定的性能指標(biāo)。圖8為電機(jī)滑塊質(zhì)量為3M時(shí)，兩種控制方法的速度對比圖。可以看出，在電機(jī)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，PPSC能夠很好地跟蹤速度指令，超調(diào)量較小，并且速度誤差可以收斂到零。當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)時(shí)，PPSC對外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性，能夠迅速達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，使跟蹤誤差收斂到零。因此,當(dāng)WS-PMLSM無法獲得或者無法精確獲得時(shí)，本文設(shè)計(jì)的PPSC也能夠獲得良好的跟蹤效果，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

圖4 補(bǔ)償誤差

圖5 速度對比

圖6 誤差對比

圖7 3M補(bǔ)償誤差

圖8 3M速度對比

4 結(jié) 語

本文設(shè)計(jì)一種基于預(yù)設(shè)性能的指令濾波滑模變結(jié)構(gòu)反推控制器(PPSC)，用于處理WS-PMLSM參數(shù)不確定性和系統(tǒng)非線性問題?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了反推控制器，為了解決反推控制器中的微分膨脹問題，設(shè)計(jì)了指令濾波器代替微分環(huán)節(jié)。引入指令濾波器不可避免地產(chǎn)生指令濾波誤差，為了避免該誤差對控制效果帶來不利影響，對指令濾波器的誤差進(jìn)行了處理。為了增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，引入了滑模變結(jié)構(gòu)方法，并且引入了預(yù)設(shè)性能方法以優(yōu)化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)，針對WS-PMLSM控制，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的PPSC控制器具比傳統(tǒng)PI控制器有更好的跟蹤性能，其動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能都優(yōu)與傳統(tǒng)的PI控制器，并且具有較好的魯棒性，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性和優(yōu)越性。