探討高考解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法

吳 慧 吳龍澤

(1.集美大學(xué)理學(xué)院 福建 廈門 361021) (2.廣東省饒平縣錢東中學(xué) 廣東 潮州 515726) (3.華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東 廣州 510631)

普高課程標(biāo)準(zhǔn)指出，一方面，根據(jù)題意，合理建立直角坐標(biāo)系，掌握?qǐng)A錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)。另一方面，代數(shù)和幾何能互相轉(zhuǎn)化，能夠運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法解決問題。平面解析幾何是高考的寵兒，每年必考。只有知己知彼，才能戰(zhàn)無不勝。只有掌握其考點(diǎn)以及如何考，才能有目的性的學(xué)習(xí)，爭(zhēng)取做到知根知底、事半功倍。將2010-2019年全國(guó)卷Ⅰ(文科)解析幾何考題進(jìn)行分析和整理。

近10年，高考的文科和理科都是考查3道題。客觀題2道10分，解答題1道12分，共22分。就考查對(duì)象而言，直線與方程第Ⅰ卷考查4次，第Ⅱ卷是14次；圓與方程第Ⅰ卷考查0次，第Ⅱ卷是10次；橢圓與方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是4次；雙曲線與方程第Ⅰ卷考查5次，第Ⅱ卷是2次，都出現(xiàn)在填空題；拋物線與方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是6次，都出現(xiàn)在解答題[1]。考題分布比較平衡。

就考查的知識(shí)點(diǎn)而言，標(biāo)準(zhǔn)方程在2010-2018年都考查1次，2019年考查2次。幾何性質(zhì)在2012、2015年都考查3次，2011、2013、2014、2017和2019年都考查2次，其他年份為1次。直線與圓錐曲線在2011年考查3次，2010、2016、2018和2019年都考查2次，其他年份為1次。一般情況，客觀題考查比較獨(dú)立，以幾何性質(zhì)及基本量的運(yùn)算為主，計(jì)算量不大，屬于得分題。但是如果客觀題以壓軸題呈現(xiàn)，難度大幅度增加，屬于失分題。近10年，解答題有8次在第20題，2013和2019年則是出現(xiàn)在第21題。它分2小題設(shè)問，第一問一般比較簡(jiǎn)單，易得分，主要考查定義和幾何性質(zhì)，第二問則與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)相結(jié)合，綜合考查學(xué)生能力，屬于中等題或者難題。

解析幾何在高考中有著舉足輕重的地位，其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是多種多樣的。以下對(duì)試題中所蘊(yùn)涵的幾種主要數(shù)學(xué)思想方法給予具體說明。

1.數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使繁雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題直觀化[2]。

例1(2019全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=4，⊙M過點(diǎn)A，B且直線x+2=0相切.(Ⅱ)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|-|MP|為定值？并說明理由[3].

【解題思路】本題的考點(diǎn)是定點(diǎn)定值問題?！袽與x+2=0相切時(shí)，可設(shè)圓心M(x,y)，半徑r=│x+2│，即是“以形助數(shù)”。接著，借助垂徑定理尋找點(diǎn)M的軌跡方程，得到是y2=4x，然后運(yùn)用拋物線的幾何定義得到定點(diǎn)，即是“以數(shù)解形”。

例2(2019全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0),過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，則C的方程為( )[3]

【解題思路】本題的難點(diǎn)在于確定點(diǎn)A的位置，破解此難點(diǎn)是過好兩關(guān)，一是借形關(guān)，即會(huì)畫圖、思圖和用圖，通過橢圓的定義先確定A點(diǎn)位置；二是運(yùn)算關(guān)，可由相似三角形或余弦定理求出答案。

2.化歸思想方法

化歸是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，化歸思想方法的實(shí)質(zhì)是“轉(zhuǎn)化”，抽象問題轉(zhuǎn)化為直觀問題，繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，從本質(zhì)來講，就是由難化易，由繁化簡(jiǎn)的過程[3]。

【解題思路】解答此題的關(guān)鍵是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即把要求的直線方程，轉(zhuǎn)化為只求其在y軸的截距，通過已知條件即得結(jié)果。

例4(2018全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線Cy2=2x,點(diǎn)A(2，0)，B(-2，0)，求點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).(Ⅱ)證明：∠ABM=∠ABN[3].

【解題思路】本題的難點(diǎn)是如何把∠ABM=∠ABN進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。破解此題的關(guān)鍵是“轉(zhuǎn)化”，即把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成直線斜率的關(guān)系。利用題意條件，聯(lián)立方程組，列出直線BM和直線BN的斜率，設(shè)而不求，從而得到傾斜角的關(guān)系。

3.函數(shù)與方程思想方法

函數(shù)與方程思想方法的實(shí)質(zhì)是：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，列出其數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)或方程，轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)或者方程(組)求解，從而解決問題。

【解題思路】破解此題的關(guān)鍵，一是“對(duì)稱”入手，由題意的對(duì)稱得到點(diǎn)N坐標(biāo)，然后求得直線ON方程。二是“方程”思想，構(gòu)建直線ON和拋物線C的方程組，解出方程的根，得H的坐標(biāo)，接著計(jì)算出第I問比值。而第II問是利用直線MH和拋物線C的函數(shù)解析式組成方程組，通過根的個(gè)數(shù)來判斷交點(diǎn)問題，得出是否還有其他公共點(diǎn)。

【解題思路】將直線方程l代入圓C的方程，化簡(jiǎn)成為一元二次方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積構(gòu)造關(guān)于K的方程，求出K，進(jìn)而得到直線方程l的解析式，最后求得MN長(zhǎng)度。

4.分類討論思想方法

分類討論思想方法的內(nèi)涵是：在求解過程中，對(duì)某參數(shù)無法進(jìn)行統(tǒng)一研究，可以把參數(shù)按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后整理計(jì)算每類情況，最后總結(jié)歸納，得出結(jié)論[4]。

【解題思路】破解此題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)m的分類討論，根據(jù)焦點(diǎn)在x軸或者y軸把m分為03兩類情況。分類的關(guān)鍵是按同一標(biāo)準(zhǔn)等價(jià)分類，不重復(fù)不遺漏，接著對(duì)分類后的各個(gè)類別詳細(xì)討論，再綜合所有分類，得出結(jié)論。

例8(2013全國(guó)卷Ⅰ)已知圓M：(x+1)2+y2=1,圓N：(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|[3].

【解題思路】在第Ⅰ問中，⊙M和⊙N的圓心關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，曲線C有可能是橢圓或者雙曲線，可以分情況討論，找矛盾，得出答案。第Ⅱ問關(guān)鍵是求出⊙P的方程，然后根據(jù)直線l與兩圓都相切，求出直線方程。在求直線的過程注意直線斜率分情況討論，存在與不存在問題，最后結(jié)合橢圓方程，求出AB長(zhǎng)度。

除了以上的4種平面解析幾何常用的數(shù)學(xué)思想方法，考題中還包括了類比、特殊到一般等思想方法。數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)并不是一朝一夕的事，而是需要在整個(gè)教學(xué)過程中逐漸積累。由此，提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議。

首先，教師在教學(xué)時(shí)要因材施教。對(duì)不同層次的學(xué)生要采用不同的方法，不能“一刀切”。后進(jìn)生在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，中等生要教會(huì)他們能簡(jiǎn)單運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)等生要能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答試題。例如在選修1-1的2.3.2拋物線幾何性質(zhì)的例5，對(duì)于后進(jìn)生可以滲透函數(shù)與方程思想進(jìn)行講解，對(duì)于中等生可以多加講解分類討論思想方法，對(duì)于優(yōu)等生不僅要求會(huì)掌握運(yùn)用以上的思想方法，而且可以再進(jìn)行拓展，提高難度。又如在選修1-1的2.2.2雙曲線幾何性質(zhì)，講解例5時(shí)，后進(jìn)生可講授數(shù)形結(jié)合思想。而中等生可用類比思想比較第41頁的例6，得出其第二定義。對(duì)于優(yōu)等生，可由例5和例6，從特殊到一般，總結(jié)圓錐曲線的軌跡問題。

接著，教師在教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持不懈。只有反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生才能每時(shí)每刻想著數(shù)學(xué)思想方法，用其指導(dǎo)解題。例如在選修1-1的2.2雙曲線，在新授其標(biāo)準(zhǔn)方程可以類比橢圓。類似的，在授課幾何性質(zhì)時(shí)候也可以類比橢圓來展開。焦點(diǎn)在y軸上的性質(zhì)可以類比焦點(diǎn)在x軸的性質(zhì)。反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生不僅記得牢而且不易混淆，還有利于思想方法的運(yùn)用。又如在必修2的第4章在講解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，從它們相似之處強(qiáng)調(diào)類比思想。運(yùn)用代數(shù)法和幾何法證明它們之間的關(guān)系，反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要思想方法。

然后，教師在教學(xué)時(shí)要注意自然性。在教學(xué)過程中，要掌握好講解思想方法的時(shí)機(jī)，可以在概念講解中，也可以在例題后。注意有機(jī)結(jié)合，不可生硬照搬。例如在必修2的4.2.2圓與圓的位置關(guān)系這節(jié)課里，可以類比直線與圓的位置關(guān)系引入新課，自然而然引入類比方法。接著用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷位置，同時(shí)用兩圓的解析式構(gòu)建方程組，由實(shí)數(shù)根判別式得到兩圓的關(guān)系。自然而然的講授數(shù)形結(jié)合的思想方法。又如在必修2的4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用，在講解例4和例5后自然而然的引入“轉(zhuǎn)化”的思想，代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化步驟。