丁葉謙

一、學(xué)情分析

本課之前，學(xué)生已基本掌握了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并且可以根據(jù)函數(shù)圖像上點的坐標，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)圖像的解析式，且能利用函數(shù)解析式求一些特殊點的坐標，并且在之前方程的學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)能夠利用方程解決行程問題。但利用函數(shù)圖像以及方程思想綜合分析行程問題，學(xué)生的能力還略顯不足，尤其是解較為復(fù)雜的函數(shù)圖像與行程問題結(jié)合的綜合題。

二、教學(xué)實錄與反思

1.問題初探，積累經(jīng)驗。

問題1 甲、乙兩人分別從相距480千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，駛往對方所在地，如圖1是他們行駛的路程y（千米）與行駛的時間x（小時）之間的函數(shù)圖像。從圖像中，你能獲得哪些信息？

學(xué)生1：由點（6，480）可知乙6小時行駛了480千米，所以乙的速度為80千米/小時。

學(xué)生2：利用待定系數(shù)法可求出y_乙=80x，y_甲=60x。

教師：如果深入分析，你能求出甲、乙相遇的時間嗎？

學(xué)生3：由題意，可得y_甲+y_乙=480，即80x+60x=480，x=24/7，所以他們經(jīng)過24/7小時相遇。

變式1 在問題1中，如果甲、乙行駛的速度不變，將y（千米）表示為甲、乙離A地的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，你能畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像嗎？

學(xué)生小組交流展示，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，如圖2。

教師：哪位同學(xué)來分享一下你畫出這個函數(shù)圖像的經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

學(xué)生4：我畫這個函數(shù)圖像時主要抓住4個點，即甲的起點和終點、乙的起點和終點，根據(jù)y（千米）表示為甲、乙離A地的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，可知甲的起點為（0，0）、終點為（8，480），乙的起點為（0，480）、終點為（6，0），分別連接甲、乙的起點和終點便可得出相應(yīng)的函數(shù)圖像。

教師：根據(jù)畫出的函數(shù)圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)兩條線段明顯有一個交點，你能說出這個交點所代表的實際意義嗎？

學(xué)生5：這個交點表示甲、乙兩人行駛一定時間后相遇了。

教師：同問題1一樣，你能求出他們相遇的時間嗎？

學(xué)生6：可以應(yīng)用待定系數(shù)法求出他們的函數(shù)表達式：y_甲=60x、y_乙=480-80x。由于y表示他們離A地的距離，當他們相遇時，他們離A地的距離相等，因此y_甲=y_乙，故60x=480-80x，解得x=24/7，所以他們行駛24/7小時相遇。

變式2 在問題1中，如果甲、乙行駛的速度不變，將y（千米）表示為甲、乙兩人間的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，你還能畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像嗎？

學(xué)生小組交流展示，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，如圖3。

教師：哪位同學(xué)來分享一下你畫出這個函數(shù)圖像的經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

學(xué)生7：我在畫這個函數(shù)圖像時主要是先確定幾個關(guān)鍵點，然后通過這幾個關(guān)鍵點來確定函數(shù)圖像：首先，由于y（千米）表示為甲、乙兩人間的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，因此出發(fā)前的點坐標為（0，480）;其次是相遇點，相遇時他們之間的距離為0，因此相遇點為（24/7，0）;再次，當乙到達A時，點坐標為（6，360）;最后，甲到達B時，點坐標為（8，480）。將這些點用線段連接便可得函數(shù)圖像。

教師：通過問題1及變式1、變式2的學(xué)習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)問題的主題干基本沒變，但坐標軸所代表的意義發(fā)生了改變，導(dǎo)致函數(shù)圖像也發(fā)生了較大的變化，據(jù)此你能獲得什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗？

學(xué)生8：坐標軸所代表的實際意義不同，函數(shù)圖像便不同，因此在解決此類問題時，我們要關(guān)注橫、縱坐標所代表的實際意義，同時還需要關(guān)注一些關(guān)鍵點。

教師：解決一次函數(shù)中的行程問題，我們需要：①弄清橫、縱坐標軸所代表的意義;②弄清關(guān)鍵點所代表的實際意義。

【教學(xué)反思】問題初探環(huán)節(jié)是教師在問題1的基礎(chǔ)上，借助變式教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣的問題情境，只是由于坐標軸所代表的意義發(fā)生了變化，函數(shù)圖像也會發(fā)生變化，從而突出“核心知識”——橫、縱坐標所代表的實際意義，加深學(xué)生對“核心知識”的理解，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗——解決一次函數(shù)中的行程問題要弄清橫、縱坐標所代表的實際意義，為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

2.變式拓展，提升經(jīng)驗。

變式3 甲、乙兩人從相距120千米的A、B兩地同時同向出發(fā)，往C地方向前行。甲駕車，乙騎行。當甲追上乙后，將一重要文件交予乙，并立即返回曰處。乙繼續(xù)騎行到達C地。如圖4是他們行駛過程中的函數(shù)圖像，其中y（千米）表示甲、乙兩人的距離，x（小時）表示他們行駛的時間。你能根據(jù)圖像得到哪些信息呢？

教師：變式3與變式2有何不同？

學(xué)生9：本題與變式2相比，坐標軸所代表的意義以及函數(shù)圖像的形狀基本沒變，只是數(shù)據(jù)上稍有變化，但他們的運動方式卻發(fā)生了變化，變式2中他們是相向運動，而變式3中他們是同向運動。

教師：由此可見，同樣的圖像，表達的意義卻發(fā)生了較大的變化，這主要歸結(jié)于物體運動的方式發(fā)生了較大的變化，因此我們在審題時還需要關(guān)注物體運動的方式。

教師：那么結(jié)合圖像，你能獲得哪些信息呢？

學(xué)生10：結(jié)合題意及坐標軸所代表的實際意義，由點（0，120）可知A、B兩地相距120千米。

學(xué)生11：由點（2，0）我發(fā)現(xiàn)甲追上乙用了2小時，畫線段圖表示為如圖5。由點（8/3，80），可知甲從兩人相遇處回B地，用時8/3-2=2/3小時，此時甲、乙相距80千米，線段圖表示為如圖6。由點（4，120），再結(jié)合點（8/3，80），可知乙又用4-8/3=4/3小時走了40千米到達C地，因此乙的速度為30千米/小時，B、C兩地相距120千米。

學(xué)生12：因為甲2小時追上乙，因此甲2小時行駛了120+2×30=180千米，故甲的速度為90千米/小時。

教師：通過以上學(xué)習(xí)，同學(xué)們有何學(xué)習(xí)經(jīng)驗要與大家交流？

學(xué)生13：我覺得解決一次函數(shù)中的行程問題，可以從兩個方面入手：審題干，弄清物體運動的方式，弄清橫、縱坐標軸所代表的意義;審圖，弄清圖像的歸屬，弄清關(guān)鍵點所代表的實際意義。

【教學(xué)反思】變式拓展環(huán)節(jié)是教師通過變式3的教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然坐標軸所代表的意義沒有發(fā)生變化、函數(shù)圖像沒有發(fā)生變化，但由于物體運動的方式發(fā)生了變化，函數(shù)圖像所反映出的實際意義也會發(fā)生較大的變化，拓寬了學(xué)生的認知，突出了核心知識——物體運動的方式、關(guān)鍵點所代表的實際意義，從而使學(xué)生初步形成解決一次函數(shù)中的行程問題的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，即要關(guān)注物體運動的方式、關(guān)鍵點所代表的實際意義。

3.拓寬提升，形成方法。

變式4 在變式3的基礎(chǔ)上，如果只將圖4中的4小時刪去，其他條件不變，如圖7，你能求出甲、乙的速度嗎？

教師：通過變式4的學(xué)習(xí)，你又有什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗要與大家分享呢？

學(xué)生15：我們在解決一次函數(shù)中的行程問題時，有時需要借助畫線段圖來進行綜合分析，有時還需要利用方程思想來解決問題。

教師：通過這堂課的學(xué)習(xí)，你對解決一次函數(shù)中的行程問題有何看法？

學(xué)生交流研討，教師總結(jié)板書，給出解決一次函數(shù)中的行程問題的基本策略。

【教學(xué)反思】教師通過變式4的教學(xué)，讓學(xué)生更加全面、深刻地看到解決此類問題的全貌，形成解決此類問題的基本策略，為學(xué)生今后解決一次函數(shù)中的行程問題積累經(jīng)驗，提升學(xué)生分析和解決此類問題的能力。

縱觀以上教學(xué)過程，教師是根據(jù)學(xué)生的學(xué)情把握好教學(xué)的邏輯起點，采用變式教學(xué)的策略，突出解決問題的核心方法，教學(xué)設(shè)計由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀、推理、類比、歸納、概括等思維過程，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到進一步的提高。