數(shù)論函數(shù)方程解的探討

梁曉艷, 高麗, 高倩

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

1 相關(guān)引理

引理1[7]對(duì)任意素?cái)?shù)p≥3,Z(p)=p-1.

引理2[7]對(duì)任意素?cái)?shù)p≥3及k∈N,Z(pk)=pk-1.當(dāng)p=2時(shí),有Z(2k)=2k+1-1.

引理3[7]Z(n)是不可加的,即Z(m+n)不恒等于Z(m)+Z(n);Z(n)是不可乘的,即Z(mn)不恒等于Z(m)Z(n).

引理4[8]Euler函數(shù)是積性函數(shù),對(duì)于任意互素的正整數(shù)m和n,φ(mn)=φ(m)φ(n).

引理7[8]對(duì)于k∈Z+及素?cái)?shù)p,有φ(pk)=pk-pk-1.

2 定理及證明

定理1對(duì)于正整數(shù)n,方程Z(n2)=φ2(n)僅有正整數(shù)解n=1.

2.1 定理1的證明

證明當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),分為以下幾種情況:

(1)n=1時(shí),Z(1)=1,φ2(1)=1,Z(1)=φ2(1),所以n=1是方程的解.

(2)n=p時(shí),p為素?cái)?shù),且p≥3,則由引理1得Z(p2)=p2-1,由引理7得φ2(p)=(p-1)2,令p2-1=(p-1)2，解得p=1，與p≥3矛盾，即Z(p2)≠φ2(p),所以n=p不是方程的解.

整理得

p12p22…ps2|(p1-1)2(p2-1)2…(ps-1)2

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),分為以下幾種情況:

(1)n=2k,其中k>0,由引理2得Z(22k)=22k+1-1,由引理7得

φ2(n)=φ2(2k)=22k-2

顯然Z(n2)≠φ2(n),所以n=2k不是方程的解.

(2)n=2kpl,其中k>0,p為素?cái)?shù),l≥1,由引理4和引理7得

φ2(n)=φ2(2kpl)=φ2(2k)φ2(pl)=22k-2p2l-2(p-1)2

綜上所述,方程Z(n2)=φ2(n)的正整數(shù)解為n=1.

2.2 定理2的證明

證明當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),分為以下幾種情況：

(1)n=1時(shí),

所以n=1不是方程的解.

整理得

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),分為以下幾種情況:

(2)n=2kpl,其中k>0,p為素?cái)?shù),l≥1,由引理5和引理7得