福建省龍巖市長(zhǎng)汀縣第一中學(xué) 游含啟

教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入探索，在反思的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)主動(dòng)性與創(chuàng)造性的教學(xué)，在不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、綜合探究能力以及數(shù)學(xué)反思能力等核心素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)課程的授課過(guò)程中，教師是知識(shí)的傳遞者和思想的引導(dǎo)者，其應(yīng)在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，使其掌握更多靈活的方法。

一、高中數(shù)學(xué)解題技巧的培養(yǎng)目標(biāo)

靈活的數(shù)學(xué)解題技巧主要指的是學(xué)生可以在有效的學(xué)習(xí)時(shí)間內(nèi)獲得最佳的學(xué)習(xí)效果，在改變學(xué)生以往學(xué)習(xí)方式的基礎(chǔ)上，形成與教材內(nèi)容緊密聯(lián)系的解題系統(tǒng)。實(shí)際解題過(guò)程中，高中生應(yīng)針對(duì)不同題目特點(diǎn)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)解題技巧，在熟練掌握基本教材知識(shí)的前提下，掌握不同類(lèi)型的學(xué)習(xí)規(guī)律，真正使解題技巧成為學(xué)生的輔助工具。如部分高中題目可以通過(guò)套用公式的方法解答，但也可以根據(jù)規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。總而言之，學(xué)生在掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)解題技巧的過(guò)程中，應(yīng)具備獨(dú)立思考與邏輯分析的能力，不但可以應(yīng)對(duì)考試，也可以將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用至實(shí)際問(wèn)題的解答中。

二、高中數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)策略

（一）構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)體系

高中生在應(yīng)用數(shù)學(xué)解題技巧時(shí)，應(yīng)有效整合基本數(shù)學(xué)概念、定理以及公式等知識(shí)，使學(xué)生可以在認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上，主動(dòng)參與，形成完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如：在教“函數(shù)”章節(jié)時(shí)，學(xué)生不能僅單純地學(xué)習(xí)函數(shù)的基本定義、性質(zhì)、方程式等知識(shí)，還應(yīng)將這些知識(shí)進(jìn)行有效結(jié)合，形成完善的知識(shí)體系，使學(xué)生可以在解答題目的過(guò)程中有效應(yīng)用各方面的基礎(chǔ)知識(shí)，保障函數(shù)題目的順利解答。由此，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于將零碎的知識(shí)整合為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，真正抓住重點(diǎn)并解決疑點(diǎn)，全方位提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

（二）通過(guò)答題細(xì)節(jié)提升數(shù)學(xué)思維能力

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)經(jīng)常進(jìn)行練習(xí)與鞏固，但更為關(guān)鍵的則是構(gòu)建基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)解題能力。此時(shí)教師應(yīng)深入思考，為學(xué)生設(shè)計(jì)思維訓(xùn)練活動(dòng)，使學(xué)生可以在解題期間綜合運(yùn)用各種技能，進(jìn)行完整的邏輯推理與概括。在挖掘題目中的邏輯因素時(shí)，教師應(yīng)由概念分類(lèi)、定理推導(dǎo)、結(jié)論證明方面為學(xué)生給出界定與規(guī)范，真正由細(xì)節(jié)入手，逐漸提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）設(shè)計(jì)有提示性的數(shù)學(xué)問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的主要指導(dǎo)思想便是數(shù)學(xué)思想，其可以幫助學(xué)生建立完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，搭建解題的思路。在教學(xué)過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師可以設(shè)計(jì)有提示性質(zhì)的問(wèn)題，加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)程度，使其在解答問(wèn)題時(shí)可以引用數(shù)學(xué)思維。具體而言，在設(shè)計(jì)第一個(gè)問(wèn)題時(shí)，為了更好地滲透數(shù)學(xué)思想，教師應(yīng)采用啟發(fā)性與質(zhì)疑性問(wèn)題，之后逐漸提升問(wèn)題的難度，使學(xué)生可以進(jìn)行分析歸納猜想，并在思考過(guò)程中提高數(shù)學(xué)解題能力。例如：在教“多項(xiàng)式乘法法則推演”過(guò)程中，保障學(xué)生可以從整體到局部進(jìn)行思維，拔高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)高度，從而培養(yǎng)更高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。除此之外，在數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中也存在較多的數(shù)學(xué)思想方法，包括費(fèi)米猜想、數(shù)學(xué)悖論等，學(xué)生應(yīng)在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，采用更多的數(shù)學(xué)思想方法，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（四）因材施教提升學(xué)生解題能力

高中數(shù)學(xué)題目具備較強(qiáng)的邏輯思維，學(xué)生應(yīng)針對(duì)不同的題目進(jìn)行總結(jié)分析。實(shí)際解題過(guò)程中可以綜合采用如下方法：一是直觀解題法，學(xué)生應(yīng)由題目給出的條件出發(fā)，在層層推理與運(yùn)算的基礎(chǔ)上，利用相關(guān)概念、公式以及性質(zhì)等知識(shí)，得到題目的正確答案。也可以在選擇題與填空題中運(yùn)用概念與性質(zhì)等知識(shí)。如三角函數(shù)比較大小時(shí)，解題期間便可以直接運(yùn)用三角函數(shù)公式。二是數(shù)值代入法，學(xué)生應(yīng)根據(jù)題目的具體要求靈活帶入數(shù)值，得到特殊的答案，之后一一篩選題目的選項(xiàng)。此種方法在條件清晰的特殊函數(shù)，特殊極值以及特殊圖形的解答過(guò)程中得到了有效運(yùn)用，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的形式列出未知數(shù)，并將特殊值賦予未知數(shù)中，且此特殊值一般為“1”或“0”，之后根據(jù)特殊值求出題目的最終答案。

三、高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)策略個(gè)案分析

解題能力是學(xué)生綜合性學(xué)習(xí)能力強(qiáng)弱的表現(xiàn)，它能有效地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)字知識(shí)理解能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以，教師要在教學(xué)中逐步去提升學(xué)生的解題能力，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。以下將通過(guò)個(gè)案分析的形式，系統(tǒng)地展示高中數(shù)學(xué)解題中的解題方法及思路，從而使學(xué)生的解題能力得到有效提升。利用案例分析細(xì)化解題思路，本題為高中數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)極值的求解問(wèn)題，該類(lèi)型題屬于高中數(shù)學(xué)中的典型題，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生一同完成問(wèn)題的求解過(guò)程，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候予以引導(dǎo)，了解解題思路的全部過(guò)程，以便于后續(xù)的個(gè)性化指導(dǎo)。在本案例的解題過(guò)程，我采用的是識(shí)別模式，問(wèn)題表征，選擇策略，配置對(duì)應(yīng)資源最后進(jìn)行評(píng)估監(jiān)督的分析過(guò)程，針對(duì)相似類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以作為一定的參考。

例如：現(xiàn)有函數(shù)f（x）＝1/3x3-bx2+cx-bx，該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是f'（x）。假 設(shè)令m（x）＝|f'（x）|，那么函數(shù)m（x）在區(qū)間[-2，2]上存在最大值，且最大值為q。

（1）倘若函數(shù)f（x）在自變量x 為2 的時(shí)候，存在極值且極值為-5/3，那么求解函數(shù)f（x）中的參數(shù)b 與c 的值；

（2）如果參數(shù)|b|大于2，證明對(duì)于函數(shù)中的參數(shù)c 都成立g＞4；

（3）如果g≥q 對(duì)于函數(shù)f（x）中的b與c都成立，那么求解q的最大值。

通過(guò)例子中的已知條件對(duì)三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析：

第一，進(jìn)行函數(shù)的求導(dǎo)。由于導(dǎo)數(shù)與極值之間存在關(guān)系，所以在解答問(wèn)題之前要進(jìn)行求導(dǎo)。學(xué)生需要對(duì)其做簡(jiǎn)單模式的識(shí)別，通過(guò)對(duì)以往學(xué)習(xí)的理論知識(shí)中提取到有效信息，并分析已知要素。

第二，根據(jù)已知條件，列出方程式并求解方程組。在使用方程式時(shí)，需要借助待定系數(shù)法將函數(shù)的極值以及其與數(shù)據(jù)之間存在的關(guān)系找出，接著做信息轉(zhuǎn)換與技能操作，利用關(guān)鍵問(wèn)題當(dāng)中的特殊數(shù)據(jù)或詞匯，保證整個(gè)運(yùn)算過(guò)程順利完成。

第三，進(jìn)行方程驗(yàn)根同時(shí)檢驗(yàn)得出的結(jié)果。這里存在著一個(gè)必要條件，那就是當(dāng)導(dǎo)數(shù)是0 的時(shí)候，并非就是極值。這時(shí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)概念的把握程度以及數(shù)學(xué)思維的深刻程度進(jìn)行了全方位的考驗(yàn)。教師在引導(dǎo)學(xué)生的時(shí)候，可以從數(shù)學(xué)概念入手，通過(guò)強(qiáng)化概念，來(lái)鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生解答完問(wèn)題后對(duì)解題方法做回顧檢測(cè)。

第四，根據(jù)上述分析結(jié)果，再次審題?；貧w函數(shù)定義，分析在哪個(gè)區(qū)間中函數(shù)存在最大值，且其絕對(duì)值的函數(shù)中，它的圖像又是怎樣的？同時(shí)思考|b|大于2 時(shí)，與函數(shù)最值之間有什么關(guān)系？該已知條件由于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸有何關(guān)系？學(xué)生通過(guò)將已知條件與函數(shù)理論相結(jié)合分析，探討q 的含義。在這其中，如果存在圖像分析，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在草紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單的圖像，從而更好地分析和理解問(wèn)題，也是為后續(xù)的討論工作做好準(zhǔn)備，學(xué)生也可以通過(guò)圖像分析對(duì)q 的位置做充分設(shè)想，而教師此時(shí)需要做好鼓勵(lì)工作，鼓勵(lì)學(xué)生大膽去探索。

第五，構(gòu)造有關(guān)q 的不等式，同時(shí)將問(wèn)題消元并轉(zhuǎn)化。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考在q 值為不確定的情況下，q 與m（±2）之間存在著什么關(guān)系？同時(shí)函數(shù)f（x）中的b 與c 如果只已知參數(shù)b 的取值范圍，那么要怎樣將參數(shù)c 消除呢？同時(shí)，還要突破原定模式當(dāng)中的q ＝m（2）或者是q ＝m（-2），把q設(shè)為q≥m（2）或者是q≥m（-2）。這時(shí)候就需要把不等式中的同項(xiàng)相加起來(lái)，以便于繼續(xù)借助絕對(duì)值將參數(shù)c 消掉。由此題可知，在教學(xué)時(shí)教師可以有針對(duì)性地尋找類(lèi)似問(wèn)題的數(shù)學(xué)練習(xí)，并帶領(lǐng)學(xué)生一同分析探究，尋找問(wèn)題與已知條件之間存在的建議，這樣做的目的有助于使學(xué)生的解題模板豐富起來(lái)。

第六，解題反思。學(xué)生在解答后需要反思第二問(wèn)，并分析該問(wèn)題的解題方法是否還有更好選擇？學(xué)生可以采用逆向思維，倘若對(duì)結(jié)論否定那么其結(jié)果將會(huì)如何？這時(shí)教師就需要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)讀題，并對(duì)題目中的已知條件做多角度的思考。學(xué)生需要明白類(lèi)似問(wèn)題都是將學(xué)過(guò)的理論知識(shí)以及解題經(jīng)驗(yàn)放置在不同模式的問(wèn)題當(dāng)中，這時(shí)學(xué)生一定要利用模式將其中的精華提取出來(lái)。

第七，通過(guò)不等式的性質(zhì)以及絕對(duì)值，為問(wèn)題構(gòu)造出一個(gè)新的矛盾。同時(shí)，使用模式去識(shí)別。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生可以采用反證法。

第八，審題讀題。以分類(lèi)討論的形式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入探討。由于在第二問(wèn)題的求解中，為第三問(wèn)提供了許多已知條件，促使參數(shù)b 擴(kuò)大了范圍。同時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x ＝b 也存在于區(qū)間[-2，2]中，由此對(duì)q 也有了新的定位思考標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)的具體內(nèi)容又是什么呢？根據(jù)上述問(wèn)題的思考方向，得出q≥m（2）或者是q≥m（-2），這里使用的是抓主去次的方法，這樣做的目的可以鍛煉學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題中對(duì)問(wèn)題的概括能力，同時(shí)也能夠讓學(xué)生將以往解題中積累的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到解題策略當(dāng)中。

通過(guò)個(gè)案的分析我們可以對(duì)高中數(shù)學(xué)的解題思路以及解題步驟有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，在后續(xù)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)并分析做過(guò)的題目，將不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的整理，從而幫助其尋找出適合自己的解題方法。這有助于鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

為了更好地提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師應(yīng)在系統(tǒng)總結(jié)解題技巧的基礎(chǔ)上，綜合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)。除此之外，教師還應(yīng)在教學(xué)中借助典型案例，找到數(shù)學(xué)課程教學(xué)與學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)合點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用至實(shí)踐工程中，在提高學(xué)生解題能力的基礎(chǔ)上，提升其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。