曾敏

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，對培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、抽象能力及交流合作能力大有裨益，從而促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

截面問題是立體幾何的典型問題。教學(xué)“正方體截面的形狀”這節(jié)課時(shí)，教師利用正方體玻璃缸、水、量杯等實(shí)驗(yàn)工具開展數(shù)學(xué)探究活動，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探究中以分組討論的方式開展研究性學(xué)習(xí)。教師通過問題導(dǎo)向、合作探究、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究“正方體截面形狀有哪些”和“正方體截面形狀的特征”，加深對截面問題的理解，實(shí)現(xiàn)由“教”到“學(xué)”的轉(zhuǎn)變，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

教材分析

“正方體截面的形狀”是北師大版高中數(shù)學(xué)必修2第1章“立體幾何初步”中的課題學(xué)習(xí)內(nèi)容。在教學(xué)中，我們希望學(xué)生通過“正方體截面的形狀”的課題學(xué)習(xí)，體會到“如何獲得知識，比關(guān)注得到別人給予的知識更重要”，體會到“問題是思考的結(jié)果，是深入思考的開始;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要提高解決別人提出問題的能力，還要保持永不滿足的好奇心，大膽地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，養(yǎng)成問題意識和交流的習(xí)慣”，讓學(xué)生在學(xué)會數(shù)學(xué)的同時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“立體幾何初步”，對三維空間有初步的認(rèn)識，對簡單幾何體的基本特性和直觀圖、三視圖有基本了解。對空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系也有了一定的理解，并初步學(xué)會用數(shù)學(xué)語言來描述和論證某些位置關(guān)系（特別是平行和垂直關(guān)系）。對直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證和度量計(jì)算等方法有了一定的體驗(yàn)。有一定的空間想象能力，初步有了推理論證和運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師播放視頻：《舌尖上的中國》（如下圖），學(xué)生觀看視頻。

師：從視頻中我們能感受到中國飲食文化的色、香、味、形。廚師們用高超的廚藝給我們展示了南瓜、蓮藕等食材的切面形狀。其實(shí)，這些食材的切面可以看作數(shù)學(xué)中幾何體的截面，那什么是截面呢？

師：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的平面圖形叫作截面。換句話說，截面就是平面與幾何體表面交線圍成的封閉圖形（含內(nèi)部）。

……

【思考】在教學(xué)中，教師把數(shù)學(xué)知識和實(shí)際生活緊密聯(lián)系在一起，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過視頻的展示，體現(xiàn)中國文化的博大精深，學(xué)生從中體驗(yàn)到生活中有各種各樣幾何體切面的形狀，從而抽象出截面概念。截面是一個(gè)平面圖形，它與幾何體緊密相聯(lián)，讓學(xué)生體會研究本節(jié)課的必要性。

二、實(shí)驗(yàn)探究正方體截面的形狀

師：根據(jù)截面的定義，正方體的截面實(shí)際就是平面和正方體的表面交線圍成的封閉圖形（含內(nèi)部）。那正方體截面的形狀有哪些呢？今天我們將通過實(shí)驗(yàn)來探究一下。

師：如何得到正方體的截面呢？像視頻中用刀去截正方體？

生：不方便操作，很危險(xiǎn)，也不能精確地反映截面。

師：那我們能找到一個(gè)東西替代刀的作用形成截面嗎？

（學(xué)生相互討論，有些同學(xué)說可以用水）

師：水無形又有形。水本身是無形的，但放入正方體玻璃缸就有形狀了。平靜的水面可以看作正方體的截面，通過調(diào)節(jié)水量和正方體的擺放方式，可以得到不同的截面形狀。究竟有哪些形狀？這個(gè)問題交給各組同學(xué)去體驗(yàn)和探究。

【思考】生活中得到截面的方式有很多，教師明確給定實(shí)驗(yàn)工具，引導(dǎo)學(xué)生感受用水的好處。

教師課前將學(xué)生分成4組，準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)道具：水、帶孔的玻璃缸、量杯，并強(qiáng)調(diào)分組要求。

每組學(xué)生轉(zhuǎn)動玻璃缸，積極進(jìn)行操作活動，驗(yàn)證自己的猜想。

生：正方體截面形狀有三角形、四邊形、五邊形、六邊形。

師：為什么截面會出現(xiàn)三角形、四邊形、五邊形、六邊形呢？

（師生共同討論，指出回歸截面定義）

生：當(dāng)截面是三角形時(shí)，說明這個(gè)平面與正方體的3個(gè)面產(chǎn)生了3條交線，從而得到三角形截面。

生：當(dāng)截面是四邊形時(shí)，說明這個(gè)平面與正方體的4個(gè)面產(chǎn)生了4條交線，從而得到四邊形截面。

師：同理，大家可以解釋五邊形和六邊形嗎？

師：正方體的截面會出現(xiàn)七邊形、八邊形嗎？

生：不可能，正方體最多有6個(gè)面，截面不可能有七邊形、八邊形。

【思考】教師通過觀察想象提出猜想，學(xué)生動手操作進(jìn)行驗(yàn)證、推理分析，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)探究活動過程。證明猜想的過程就是一個(gè)思維碰撞的過程，有利于學(xué)生發(fā)展分析問題、解決問題的能力。

三、實(shí)驗(yàn)探究正方體截面形狀的特征

師：接下來我們對正方體的截面做進(jìn)一步的探究，看看正方體截面會有哪些特征呢？當(dāng)截面是三角形時(shí)，會出現(xiàn)哪些類別的三角形？請同學(xué)們繼續(xù)探究。

（學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)動正方體玻璃模具演示活動，如下圖）

生：銳角三角形。

師：很好，那有沒有鈍角三角形、直角三角形呢？

（學(xué)生進(jìn)行操作、觀察、演示活動）

生：不會出現(xiàn)鈍角三角形、直角三角形。

（學(xué)生利用正方體玻璃缸進(jìn)行轉(zhuǎn)動操作活動，教師通過幾何畫板演示截面三角形的變化，從直觀上感受只有銳角三角形，再用余弦定理證明猜想）

師：我們探究得到截面是三角形時(shí)，這個(gè)三角形一定是銳角三角形。接下來我們看看四邊形截面又有什么特征呢？

（學(xué)生進(jìn)行操作、觀察、演示活動）

生：四邊形截面可能是正方形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形。

（學(xué)生利用正方體玻璃缸進(jìn)行轉(zhuǎn)動操作活動，教師通過幾何畫板演示截面四邊形的變化，從直觀上感受平行四邊形、梯形，繼續(xù)探究截面四邊形的特征）

師：這些四邊形有什么共性呢？

生：一定有一組對邊平行。

師：大家能解釋下為什么會有這樣的共性嗎？

（學(xué)生分小組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生從截面的定義出發(fā)，四邊形截面要和正方體6個(gè)面的4個(gè)面相交）

師：正方體6個(gè)面有什么位置關(guān)系？

生：3組平行。

師：6個(gè)面拿掉2個(gè)面，剩下4個(gè)面的位置關(guān)系如何？

生：一定有一組平面平行。

師：也就是截面四邊形一定有一組對邊平行，為什么？

生：由面面平行的性質(zhì)可知，面面平行可推出交線與交線平行。

師：很好！四邊形截面可以是平行四邊形（兩組對邊分別平行），也可以是梯形（只有一組對邊平行）。

師：剛剛有同學(xué)發(fā)現(xiàn)四邊形截面中出現(xiàn)了等腰梯形，那有沒有可能是直角梯形呢？

（學(xué)生利用正方體玻璃缸進(jìn)行轉(zhuǎn)動活動。有些同學(xué)說會出現(xiàn)，有些同學(xué)說不會，意見不統(tǒng)一。師生共同驗(yàn)證。證明方法一：利用線面垂直的判定和性質(zhì)加以證明。證明方法二：補(bǔ)形、類比思想）

師：當(dāng)截面是四邊形時(shí)，我們可以探究到一定有一組對邊平行。

師：通過前面三角形、四邊形截面的研究，可以類比探究五邊形截面和六邊形截面的特征。

……

【思考】本教學(xué)環(huán)節(jié)是通過對正方體截面形狀的進(jìn)一步探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、嘗試、猜測、交流、推理、反思等思維過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法和活動經(jīng)驗(yàn)在探究活動中的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、應(yīng)用拓展

在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)，給定3個(gè)點(diǎn)M、N、P（如圖），若[MB1=1，NB=2，BP=2，]試一試，如何沿著這3個(gè)點(diǎn)作出一個(gè)截面？

師：請每個(gè)同學(xué)在學(xué)案上畫一畫，并把結(jié)果用直尺和彩筆畫到道具上?？茨囊唤M畫得好、畫得快，說明的理由更充分。

【思考】通過對截面問題的分析，加強(qiáng)學(xué)生對正方體截面形狀特征的理解，培養(yǎng)了學(xué)生的反思習(xí)慣，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累。

五、課堂小結(jié)

師生共同歸納探究步驟：我們通過對正方體截面的探究，知道了對問題的探究一般要經(jīng)過觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、論證這幾個(gè)過程。

師：同學(xué)們，實(shí)際上關(guān)于截面的問題，它的探索空間是廣泛的，今天我們只是探究了正方體截面的形狀。其實(shí)對正方體截面形狀的探究也為以后類比學(xué)習(xí)平面與圓錐、圓柱等幾何體的截面奠定了基礎(chǔ)。

教師播放視頻，展示正方體、圓柱、圓錐等幾何體的截面形狀。

師：我們用4句話來概括今天所學(xué)的內(nèi)容。

正方體截面銘

水面平靜截面清，

三四五六形狀明。

正五直梯不可尋，

唯有銳角三角形。

通過本節(jié)展示課我們看到，教師教學(xué)語言簡潔準(zhǔn)確，課堂教學(xué)重點(diǎn)突出，教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯清晰，具有創(chuàng)新性，教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)與難點(diǎn)定位準(zhǔn)確，展現(xiàn)了教師良好的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。特別是在課堂教學(xué)引入、教學(xué)過程設(shè)計(jì)、教學(xué)內(nèi)容處理及教學(xué)資源運(yùn)用等方面都頗具特色。

1.取材新穎，滲透文化。這是一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動探究課，在整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)生活的中心思想。通過《舌尖上的中國》視頻引入課題，把生活中鮮活的素材引入課堂教學(xué)中，賦予了課堂新的活力，具有廣泛的人文價(jià)值。

2.引導(dǎo)學(xué)生合作探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。新課標(biāo)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式。本節(jié)課教師在不同教學(xué)環(huán)節(jié)都用心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生動手實(shí)踐、自主探索、合作交流，如引導(dǎo)學(xué)生探索正方體的四邊形截面特征等，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，體驗(yàn)獲取知識的過程。

3.妙問誘導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生思維訓(xùn)練。課堂教學(xué)中許多看似不經(jīng)意的啟發(fā)性問題，適時(shí)地打破原有平衡，引領(lǐng)學(xué)生尋找新的平衡點(diǎn)，不顯山不露水地揭示了問題的本質(zhì)，收到了潤物細(xì)無聲的教學(xué)效果，加深了學(xué)生對問題的理解。

4.充分運(yùn)用信息技術(shù)平臺，提升課堂教學(xué)效率。在教學(xué)中，教師重視運(yùn)用多媒體課件、幾何畫板、實(shí)物展臺等輔助手段，把文字、聲音、圖像、動畫等多種信息高效地傳遞給學(xué)生，極大地豐富了教學(xué)信息，化難為易，化抽象為具體，化枯燥為生動，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了課堂教學(xué)效率。

（作者單位：江西師范大學(xué)附屬中學(xué)）