極體算子與M-加算子的極表示

劉 暢， 冷崗松

(上海大學(xué)理學(xué)院， 上海200444)

經(jīng)典的Brunn-Minkowski 理論的研究對(duì)象是凸體， 極體是一個(gè)十分重要的概念， 與極體相關(guān)的著名的Mahlar 猜想仍是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題. 事實(shí)上， 對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的凸體， 都有一個(gè)賦范線性空間(Rn，||·||)與其一一對(duì)應(yīng). 而與該凸體的極體一一對(duì)應(yīng)的， 是賦范線性空間(Rn，||·||)的對(duì)偶空間. 對(duì)Rn中的集合， Schneider[1]定義極體如下.

定義1 K 是Rn的非空子集， K 的極體定義為

Brunn-Minkowski 理論是凸幾何中的核心理論， 與Minkowski 問(wèn)題相關(guān)的研究參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]. Minkowski 加法在經(jīng)典的Brunn-Minkowski 理論中具有重要作用， 也在計(jì)算機(jī)和機(jī)器人領(lǐng)域有一定的應(yīng)用. 對(duì)于兩個(gè)給定的凸體K，L， Minkowski 加法定義如下:

Minkowski 加法的一個(gè)重要推廣是 M-加. M-加是Protasov[4]首先引入的， 對(duì)中心對(duì)稱(chēng)的緊凸集K 和L 以及R2中的無(wú)條件凸體M， 在范數(shù)代數(shù)中研究聯(lián)合譜半徑時(shí)用到K ⊕ML. Green等[5]和Motakin[6]都對(duì)M-加進(jìn)行了廣泛的研究， 而′Curgus等[7]應(yīng)用Green等[5]和Motakin[6]的結(jié)果實(shí)現(xiàn)了Gauss-Lulas 定理在多項(xiàng)式根上的改進(jìn). 當(dāng)m =2，n ≥ 2 時(shí)， Gardner等[8]定義 ⊕M如下.

定義 2 K，L 是 Rn的子集， M 是 R2的子集， K，L 的 M-加定義為

通過(guò)比較M-加和Minkowski 加法得到M-加的等價(jià)定義為

由文獻(xiàn)[1]中的定理， 即每個(gè)凸體K 是它的極值點(diǎn)的凸包， 即K = conv ext K ， 可知一個(gè)凸體可以用比它更小集合的凸包表示. 基于此思想， 本工作 探究集合K 的極體能否用比 K 更小集合的極體表示， M-加算子能否用 M′-加表示， 其中 M′? M. 盡量找到 M′， 使 M′最小.

本工作主要得到以下結(jié)論.

定理1 對(duì)Rn中的有界閉子集K， K°=(bd K)°.

定理 2 對(duì)Rn中的凸體K， K°=(ext K)°.

定理 3 當(dāng) M ? Λ1且 M ∈ K2， K，L ∈ Kon時(shí)， K ⊕ML=K ⊕bdML.

定理 4 當(dāng) M ? Λ1且 M ∈ K2， K，L ∈ Kn時(shí)， K ⊕ML=conv(K ⊕extML).

1 預(yù)備知識(shí)

本工作用 Rn表示 n 維歐式空間， 賦予了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積 〈·，·〉. B，Sn-1為 Rn上的單位球和單位球面. 將Rn中具有非空內(nèi)點(diǎn)的緊凸集稱(chēng)為凸體. Kn表示Rn中的所有凸體的集合， Kno表示所有包含原點(diǎn)的凸體的集合(下述記號(hào)和定義參考文獻(xiàn)[1，9]).

對(duì)于Rn中的子集A， 記bdA， cl A， int A 分別為A 的邊界、閉包、內(nèi)部. A 的凸包定義為

若 z 不可以表示成 z =(1- λ)x+ λy， 其中 x，y ∈ A，x ／=y，λ ∈ (0，1)， 則 z 是 A 的極值點(diǎn).所有A 的極值點(diǎn)構(gòu)成的集合記為extA.

對(duì) A 的一個(gè)凸子集 F， 若對(duì)任一線段 [x，y]? A 滿足 F ∩ relint[x，y]／= ? 仍包含在 F 中，則稱(chēng)F 是A 的一個(gè)面.

A 的極射線是一條射線， 且這條射線是A 的一個(gè)面. 所有A 的極射線的并集記為extrA.

令 Λn1={(λ1，λ2，··· ，λn)∈ Rn|λi≥ 0， i=1，2，··· ，n}， 表示 n 維歐氏空間第一象限點(diǎn)的集合. 若 n=2， 將 Λ21簡(jiǎn)記為 Λ1.

2 極體的極表示

這一節(jié)探究凸幾何中的極體算子K°能否用比K 更小的集合的極體表示. 探究K 的極體是否等于bd K 的極體， 進(jìn)一步考慮是否等于ext K 的極體， 并探究取等條件.

下面的定理1 說(shuō)明了當(dāng)K 是Rn中有界閉子集時(shí)， 有K°=(bd K)°. 例1 說(shuō)明當(dāng)K 無(wú)界時(shí)， 二者不一定相等.

定理 1 當(dāng)K 是Rn中的有界閉子集時(shí)， K°=(bd K)°.

證明 首先證 K°? (bd K)°.

由定義1 知

因?yàn)?bd K ? K，故 K°? (bd K)°.

再證 (bd K)°? K°.

對(duì) ?x ∈ (bd K)°， 下面證明 ?y ∈ int K 和 ?y ∈ bd K 都有 〈x，y〉≤ 1.

當(dāng) y ∈ int K，? y1，y2∈ bd K， 使得

從而有

當(dāng) y ∈ bd K， 顯然 〈x，y〉≤ 1.

故對(duì) ?y ∈ K， 有 〈x，y〉≤ 1， 由定義 1 知 (bd K)°? K°.

因此 K°=(bd K)°.

例 1 在 R2中 K = {(x，y) : y ≥ 0}， 由極體的定義可知 (bd K)°= {(x，y) : x = 0}. 而K°={(x，y):x=0，y ≤ 0}. 故 K°／=(bd K)°.

由例1 知K 有界是K°=(bd K)°的一個(gè)必不可少的條件. 定理1 說(shuō)明了當(dāng)K 為有界閉集時(shí) K°=(bd K)°. 下面的推論 1 探究 K°和 (int K)°是否相等. 為此， 先證明 K°=(cl K)°(引理1)和cl K =cl int K (引理2).

引理1 對(duì)Rn中的非空集合K， 有K°=(cl K)°.

證明 首先證 (cl K)°? K°.

因?yàn)?K ? cl K， 故由定義知 (cl K)°? K°.

再證 K°? (cl K)°.

對(duì) ?x ∈ K°， 由于 ?z ∈ cl K，?{zn} ? K， 使得 zn→ z(n → ∞)， 故

故 x ∈ (cl K)°， 因?yàn)?x ∈ K°是任意的， 故 K°? (cl K)°.

因此 K°=(cl K)°.

引理2[1]當(dāng)K 是Rn中具有非空內(nèi)點(diǎn)的凸集時(shí)， cl K =cl int K.

推論1 當(dāng)K 是Rn中具有非空內(nèi)點(diǎn)的凸集時(shí)， K°=(int K)°.

證明 由引理1 和引理2 可得到結(jié)果.

通過(guò)上面的證明可得， 對(duì)有界閉集K， K°等于(bd K)°; 當(dāng)K 是具有非空內(nèi)點(diǎn)的凸集時(shí)，K°等于 (int K)°. 由此猜想， K°可能與 (ext K)°有關(guān)系， 由定理 2 得到當(dāng) K 為 Rn中的凸體時(shí)， K°=(ext K)°; 定理 2 的證明用到了引理 3， 因此首先引入引理 3， 再來(lái)證明定理 2.

引理3[1]每個(gè)凸體K 是它的極值點(diǎn)的凸包， 即K =conv ext K.

定理 2 當(dāng) K ∈ Kn時(shí)， K°=(ext K)°.

證明 由極體的定義知K°?(ext K)°.

再證 (ext K)°? K°.

對(duì) ?x ∈ (ext K)°， 由引理 3 知 K =conv ext K. 注意到對(duì) ?y ∈ K， 有

從而

故 x ∈ K°. 因?yàn)?x ∈ (ext K)°是任意的， 故得 (ext K)°? K°.

因此 K°=(ext K)°.

下面探究K 不包含直線的閉凸集的情形. 為證明推論2， 需要先證明引理4 和引理5.

引理4 對(duì)Rn中的非空集合K， 有K°=(conv K)°.

證明 首先由定義知(conv K)°?K°顯然成立.

再證 K°? (conv K)°.

對(duì) ?x ∈ K°， 有 〈x，y〉≤ 1 對(duì) ?y ∈ K 成立.

因此 K°=(conv K)°.

引理5[1]當(dāng)K 是Rn中不包含直線的閉凸集時(shí)， K =conv(ext K ∪extr K).

推論 2 當(dāng)K 是Rn中不包含直線的閉凸集時(shí)， K°=(ext K ∪extr K)°.

證明 由引理5 可知，

由引理4 可知，

故

綜上， 對(duì) Rn中的有界閉子集 K， K°= (bd K)°; K 是 Rn中具有非空內(nèi)點(diǎn)的凸集，K°= (int K)°， 對(duì) Rn中的凸體 K， K°= (ext K)°; 對(duì)不包含直線的閉凸集 K， K°=(ext K ∪ extr K)°.

3 M-加的極表示

這一節(jié)研究M-加算子能否用M′-加表示， 其中M′?M. 考慮M 的邊界點(diǎn)和極值點(diǎn)構(gòu)成的集， 探究 K ⊕ML 和 K ⊕bdML 是否相等， 以及等號(hào)取得時(shí)對(duì) M，K，L 的限制. 進(jìn)一步考慮K ⊕extML 能否用來(lái)表示K ⊕ML.

首先討論 K ⊕ML 和K ⊕bdML 是否相等， 定理 3 證明了當(dāng)M 為凸體且位于R2的第一象限， K，L 為 Rn中包含原點(diǎn)的凸體時(shí)， 有 K ⊕ML=K ⊕bdML.

定理 3 當(dāng) M ? Λ1且 M ∈ K2， K，L ∈ Kno時(shí)， K ⊕ML=K ⊕bdML.

證明 因?yàn)?bd M ? M， 故 K ⊕bdML ? K ⊕ML.

下證 K ⊕ML ? K ⊕bdML.

對(duì)任意 α1x+ α2y ∈ K ⊕ML， 因?yàn)?0 ∈ K ∩ L， 故對(duì) ?λ ≤ 1， 有

且 M ? Λ1， 必存在 λ ≤ 1， 使得

則

故 K ⊕ML=K ⊕bdML.

若將 M，K，L 的限制移除， K ⊕ML 和 K ⊕bdML 不一定相等. 反例參見(jiàn)例 2 和例 3.

例 2 令 M = [-1，1]× [-1，1]，K = {e1}，L = {e2}，P1，P2，P3，P4是集合 M 中的點(diǎn)， 坐標(biāo)分別為 (-1，1)，(1，1)，(-1，-1)，(1，-1).因?yàn)?(0，0)∈ M， 故

下證 (0，0)不在 K ⊕bdML 中.令 PiPj(1 ≤ i，j ≤ 4)表示連接 Pi，Pj的閉線段(見(jiàn)圖1).

圖 1 閉線段PiPj 示意圖Fig.1 Diagram of closed segment PiPj

因?yàn)?/p>

同理可得，

結(jié)合

故

因?yàn)?0，0) /∈bd M， 故

例 3 K = {e1}，L = {e2}，M = [1，3]× [1，3].P1，P2，P3，P4是集合 M 中的點(diǎn)， 坐標(biāo)分別為 (1，3)， (3，3)， (1，1)， (3，1). 可驗(yàn)證

證明 由于(2，2)∈K ⊕ML，(2，2) /∈K ⊕bdML， 證明可仿照例2.

當(dāng) M ? Λ1且 M ∈ K2， K，L ∈ Kno時(shí)， 有 K ⊕ML=K ⊕bdML. 進(jìn)一步研究 K ⊕ML 和K ⊕extML 是否相等時(shí)， 發(fā)現(xiàn)在相同的約束下， K ⊕ML 和 K ⊕extML 不一定相等.

例 4 如圖 2 所示， 在 R2中， K =B+e2，L=B+e1， 其中 B 是以原點(diǎn)為中心， 1 為半徑的單位球， e1= (1，0)，e2= (0，1).M = △OP1P2， 其中 P1= (0，1)，P2= (1，0)，O = (0，0). 下證 K ⊕ML ／=K ⊕extML.

圖 2 K， L， M 表示圖Fig.2 Diagram of K， L and M

證明 顯然 M 的極值點(diǎn) ext M ={O，P1，P2}. 一方面， 因?yàn)?/p>

結(jié)合

故

另一方面， 線段 P1P2? M， 設(shè) P1P2上的點(diǎn)坐標(biāo)為 (a，1-a)，0 ≤ a ≤ 1. 故

由于

故

雖然沒(méi)有得到K ⊕ML 和K ⊕extML 相等的充要條件，但在相同的限制下仍有K ⊕ML=conv(K ⊕extML)成立(定理 4).

引理 6[10]對(duì) M ? Rm，A1，A2，··· ，Am? Rn，

當(dāng)且僅當(dāng)M 被包含在Rm的某個(gè)閉象限中.

定理 4 當(dāng) M ? Λ1且 M ∈ K2， K，L ∈ Kn時(shí)，

證明 由引理3 知M =conv ext M， 再由引理6 知