結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定拱內(nèi)力的矩陣化求解方法

袁良健，王 子

（1.中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063；2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 南京 210096）

1 概述

靜定拱結(jié)構(gòu)通常可分為三鉸拱和帶拉桿的拱，根據(jù)鉸的位置不同亦可分為平拱和斜拱，如圖1所示。三鉸拱在實(shí)際工程運(yùn)用中通常作為承壓構(gòu)件，其受力特點(diǎn)為在豎向荷載作用下，拱趾將產(chǎn)生水平推力。與相同跨度的簡支梁相比，由于水平推力的存在，拱各截面的彎矩通常較小，而截面的軸力值較大，因而能跨越更大的跨度，曲線優(yōu)美，采用磚、砌塊、混凝土等材料建成的拱結(jié)構(gòu)通常能更好地發(fā)揮材料的特性。此外，拱的矢跨比（矢高與跨度的比值）對其受力有重大影響，實(shí)際工程中拱的矢跨比通常為1/10～1。

圖1 靜定拱的分類

2 內(nèi)力矩陣方程的建立

欲求截面K的內(nèi)力值，截取AK部分為隔離體，如圖2（b）所示，假設(shè)FNK與x軸的夾角為α（此處規(guī)定x軸沿著逆時針轉(zhuǎn)動到與FNK重合時所轉(zhuǎn)過的角度為α，故左半拱0°≤α≤90°，右半拱的90°≤α≤180°），則FSK與y軸的夾角為α，對該部分隔離體分別由∑Fx=0、∑Fy=0和∑MK=0得：

將式（1）～式（3）寫成矩陣形式：

同理，若欲求解右半拱截面D的內(nèi)力，如圖2（c）所示，相應(yīng)的內(nèi)力矩陣方程如下：

圖2 三鉸拱算例

綜上，式（4）為拱的內(nèi)力矩陣方程，式（6）為該矩陣方程的解。

3 矩陣化求解的一般步驟

（1）根據(jù)拱軸線方程及幾何信息，確定待求截面的幾何坐標(biāo)參數(shù)，建立坐標(biāo)矩陣[T]；

（2）建立待求的內(nèi)力列向量[Fi]；

（3）對結(jié)構(gòu)整體或局部隔離體建立平衡方程，求解結(jié)構(gòu)的支反力和某些拉桿的內(nèi)力值。

（4）截取待求截面處相連的隔離體，建立綜合外荷載列向量[FP]；

（5）建立內(nèi)力矩陣方程并求解待求的內(nèi)力。

4 參數(shù)化分析和實(shí)例驗(yàn)證

靜定拱結(jié)構(gòu)在某特定荷載作用下，各個截面的內(nèi)力變化主要體現(xiàn)在坐標(biāo)矩陣和綜合外荷載向量的不同。例如在計算機(jī)軟件Matlab中輸入拱的軸線方程，可計算出任意截面位置x處的sinα和cosα的值。在特定荷載作用下，綜合外荷載列向量呈現(xiàn)分段的規(guī)律分布，可建立其關(guān)于位置坐標(biāo)參數(shù)x的函數(shù)表達(dá)式，從而建立坐標(biāo)矩陣和綜合外荷載列向量之間關(guān)于x的對應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)參數(shù)化分析和求解。

以靜定帶拉桿的拱為例，如圖3所示，驗(yàn)證前述方法。假設(shè)拱的軸線方程為，其中f=4m，L=18m。截面K距離坐標(biāo)原點(diǎn)的水平距離xK=3m，代入軸線方程可得yK=20/9m，sinα=0.51，cosα=0.86，易求得支座A的水平反力FAx=0，豎向反力FAy=90kN（↑）。截取AFDC部分為隔離體，由∑MC=0得：FNFG=135kN；取節(jié)點(diǎn)G由∑Fx=0得：FNFA=136.86kN。故可建立方程式如下：

求解方程得：

圖3 驗(yàn)證實(shí)例