黃金分割測(cè)量尺的制作與應(yīng)用

摘? 要 陶行知先生提出“教學(xué)做合一”，認(rèn)為“教”與“學(xué)”都應(yīng)該建立在“做”的基礎(chǔ)之上，而教學(xué)工具是輔助學(xué)生操作學(xué)習(xí)的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。以黃金分割測(cè)量尺為例，探討此種教具的制作與應(yīng)用方法。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué);黃金分割測(cè)量尺;教具;實(shí)驗(yàn)工具

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2020）05-0123-03

1 前言

數(shù)學(xué)是高中階段的一門重要學(xué)科。由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性、邏輯性，單純對(duì)學(xué)生進(jìn)行灌輸說教，學(xué)生難免會(huì)感到困惑與困難。蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“學(xué)生的智慧就在他們的指尖上?！边@表明“做”是開啟智慧大門的鑰匙，可改變“高耗低效”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀。顯然，黃金分割測(cè)量尺的運(yùn)用是符合“做中學(xué)”教學(xué)理念的，值得對(duì)其進(jìn)行深入的探索研究。

2 高中數(shù)學(xué)黃金分割測(cè)量尺介紹

黃金分割測(cè)量尺是為黃金分割知識(shí)學(xué)習(xí)量身定做的實(shí)驗(yàn)工具，對(duì)幫助學(xué)生了解認(rèn)識(shí)黃金比、黃金矩形等知識(shí)具有重要意義。同時(shí)可以幫助學(xué)生從中認(rèn)識(shí)理解線段的比和成比例的線段，進(jìn)而幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系。在高中數(shù)學(xué)中有很多幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，在教學(xué)中利用黃金分割測(cè)量尺這一實(shí)驗(yàn)工具具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1）有助于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)。長久以來，由于受到傳統(tǒng)教學(xué)思想影響，很多教師習(xí)慣于在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行填鴨灌輸教學(xué)，使得課堂教學(xué)氣氛沉悶。而黃金分割測(cè)量尺的運(yùn)用，為學(xué)生動(dòng)手學(xué)習(xí)知識(shí)創(chuàng)造了機(jī)會(huì)，無疑是有助于調(diào)動(dòng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的[1]。

2）可更好地讓學(xué)生領(lǐng)略認(rèn)識(shí)幾何之美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。借助黃金分割測(cè)量尺，學(xué)生可運(yùn)用黃金分割進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，更好地感受幾何之美，并在研究幾何美的同時(shí)挖掘背后的數(shù)字密碼，是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提升的重要手段。

3 高中數(shù)學(xué)黃金分割測(cè)量尺的制作

黃金分割測(cè)量尺制作方法簡單，使用的主要材料是小木條和螺釘，教師可以結(jié)合教學(xué)需要，針對(duì)性地帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行制作。筆者結(jié)合過往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，介紹一種工序簡單、易于學(xué)生動(dòng)手操作的黃金分割測(cè)量尺。此黃金分割測(cè)量尺的制作利用了平行四邊形不穩(wěn)定的特點(diǎn)，具體制作步驟如下。

1）取兩根小木條，分別標(biāo)注為木條AB和木條CD，然后使用量尺進(jìn)行測(cè)量，找出兩根木條的黃金分割點(diǎn)，分別設(shè)置為E、F，具體如圖1所示。

2）使用螺釘將兩根木條的端點(diǎn)A和C進(jìn)行固定（圖2），再取一根與EB、FD長度相同的木條HG，并將其固定在F點(diǎn)上，新的結(jié)合點(diǎn)標(biāo)記為H（圖3）。

3）取一根與木條AE、AF長度相等的木條MN，并使用螺釘將其固定在端點(diǎn)E上，形成新的結(jié)合點(diǎn)M;將另一端點(diǎn)N與木條FG上的P點(diǎn)進(jìn)行連接，形成新的結(jié)合點(diǎn)N，使木條EP與木條FP相等，具體如圖4所示。考慮到黃金分割測(cè)量尺的精度比較差，因此在制作結(jié)束后，在條件允許的情況下，可以使用數(shù)控機(jī)床對(duì)制作的黃金分割測(cè)量尺進(jìn)行精細(xì)加工，具體如圖5所示。

此黃金分割測(cè)量尺在使用過程中，可根據(jù)被測(cè)量物品的長度進(jìn)行變化旋轉(zhuǎn)和伸縮，如圖6所示。使用該實(shí)驗(yàn)工具時(shí)，三個(gè)齒B、G、D會(huì)因平行四邊性的不穩(wěn)定性而發(fā)生長度的變化，但無論怎樣變化，DG/BG=AE/EB=-1/2的比例關(guān)系是不會(huì)發(fā)生任何變化的。且B、G、D總是在一條直線上運(yùn)動(dòng)，這樣就可以將黃金分割比例傳遞到測(cè)量的另一端，從而為黃金分割比例測(cè)量提供保障。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，此黃金分割測(cè)量尺是最為常見，也是應(yīng)用范圍最廣的一種，教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生掌握其制作方法。

4 高中數(shù)學(xué)黃金分割測(cè)量尺的應(yīng)用

使用黃金分割測(cè)量尺觀察? 一直以來，很多學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的印象就是抽象、枯燥，而事實(shí)并非如此，數(shù)學(xué)知識(shí)也是充滿美感的。在教學(xué)過程中，教師若能帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)幾何的美感，一定可以較好地激發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，重燃學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的渴望和熱情，而這就可以突破以往教學(xué)的瓶頸和弊端。黃金分割測(cè)量尺就是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)幾何之美的重要工具。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生走入生活，使用黃金分割測(cè)量尺進(jìn)行測(cè)量和觀察，挖掘生活之中的黃金比例。教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用黃金分割測(cè)量尺對(duì)圖片和生活中的實(shí)際物品進(jìn)行測(cè)量，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)生活之中到處隱藏著黃金比例。正是因?yàn)橛辛它S金比例，建筑造型才更加美麗，物品使用才更加便利。而當(dāng)學(xué)生有了這樣的認(rèn)識(shí)，他們會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的探索興趣。正所謂“知之者不如樂之者”，憑借興趣的引領(lǐng)，學(xué)生會(huì)更積極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

使用黃金分割測(cè)量尺作圖? 在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)涉及很多與畫圖有關(guān)的知識(shí)，若不借助任何工具，單一靠手動(dòng)做圖，難免會(huì)有所失誤，容易出現(xiàn)作圖不準(zhǔn)確的問題。黃金分割測(cè)量尺的使用，可以幫助學(xué)生避免這些失誤，畫出更加標(biāo)準(zhǔn)的圖形。例如，學(xué)生可以使用黃金分割測(cè)量尺作黃金矩形、黃金三角形等。以黃金矩形為例，筆者對(duì)使用黃金分割測(cè)量尺的畫圖方法進(jìn)行具體闡述。

1）將黃金分割測(cè)量尺打開（圖7），然后畫任意一條射線OP，其中O是圓心點(diǎn)，BC為該圓的半徑;在射線OP上截取一點(diǎn)M，確保OM=BC，具體如圖8所示。

2）過O作OP的垂線OQ，同時(shí)以O(shè)為圓心，以圖7中的AB長為半徑，在OQ上截取點(diǎn)N，并確保ON=AB，具體如圖9和圖10所示。然后就會(huì)獲得如圖11所示的矩形ONEM，而這就是一個(gè)黃金矩形。依照這樣的方法，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生使用黃金分割測(cè)量尺作出黃金三角形圖形，而借助黃金分割測(cè)量尺所做出的圖形顯然是更加標(biāo)準(zhǔn)的[2]。

利用黃金分割測(cè)量尺解題? 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)于一些特定的數(shù)學(xué)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用黃金分割測(cè)量尺解題，不僅可以提升學(xué)生解題的速度，還可以更好地保障學(xué)生解題的準(zhǔn)確性。筆者以這樣的問題為例：

令線段存在美感的是黃金分割點(diǎn)，那么在平面之中是否也存在黃金分割線呢？若存在，是否能夠類比黃金分割點(diǎn)對(duì)黃金分割線作出定義并了解相關(guān)應(yīng)用？

對(duì)于這一問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用黃金分割測(cè)量尺進(jìn)行研究探索。在筆者執(zhí)教的班級(jí)之中，就有學(xué)生給出了這樣的答案：如圖12所示，AB是已知的線段，使用黃金分割測(cè)量尺在線段AB上作正方形ABCD，并通過黃金分割測(cè)量尺的應(yīng)用，在AD上取中點(diǎn)E，將EB連接在一起，并延長DA至F，這樣EF就與EB相等;再以AF為邊，使用黃金分割測(cè)量尺作正方形AFGH，這樣所獲得的點(diǎn)H就是線段AB的黃金分割點(diǎn)。

由這個(gè)例子可以看出，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生是可以借助黃金分割測(cè)量尺解題的。黃金分割測(cè)量尺的使用拓寬了學(xué)生的解題思路，促使學(xué)生的解題能力得到更好的提升，彰顯出黃金分割測(cè)量尺在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值。

5 高中數(shù)學(xué)黃金分割測(cè)量尺的相關(guān)思考

筆者以黃金分割測(cè)量尺的制作應(yīng)用為例，進(jìn)行了相關(guān)研究，而通過對(duì)黃金分割測(cè)量尺的研究，也從中獲得一定的教學(xué)體會(huì)和認(rèn)識(shí)，具體可總結(jié)為以下兩點(diǎn)。

課堂是實(shí)驗(yàn)工具制作的發(fā)源地? 在教學(xué)改革不斷推進(jìn)的過程中，高中數(shù)學(xué)課堂發(fā)生巨大改變，越來越多的具有趣味性、操作性和科學(xué)性的教學(xué)實(shí)驗(yàn)工具進(jìn)入課堂，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)注入無限的生機(jī)和活力，而這些教具的制作無不源自課堂實(shí)踐，課堂是教學(xué)工具制作的發(fā)源地。以黃金分割測(cè)量尺教學(xué)制作為例，該實(shí)驗(yàn)工具制作的初衷，就是為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)重傳授、輕過程的不足，可以讓學(xué)生在自主操作的過程中發(fā)現(xiàn)物質(zhì)尺寸變化中所蘊(yùn)含的比例關(guān)系，增強(qiáng)知識(shí)學(xué)習(xí)的代入感，促使學(xué)生的知識(shí)探索興趣得到更好的調(diào)動(dòng)和激發(fā)。由此可以看出，實(shí)驗(yàn)教學(xué)工具的制作要著眼于課堂實(shí)踐和學(xué)生的問題解決，有效的教學(xué)工具制作必須要體現(xiàn)課程價(jià)值，注重課程資源的挖掘和利用，確保學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到提升。因此，在今后的教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)工具的制作與運(yùn)用必須要將課堂作為發(fā)源地，教師要強(qiáng)化對(duì)課堂教學(xué)的實(shí)踐和反思。

生活是實(shí)驗(yàn)工具使用的歸宿地? 著名教育家陶行知先生曾經(jīng)說過“生活即教育”“生活即學(xué)?！薄Ｔ诮虒W(xué)中，教師一定要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活之間是共通聯(lián)系的，生活是實(shí)驗(yàn)工具使用的歸宿地。在實(shí)踐教學(xué)過程中，只有以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，才能實(shí)現(xiàn)良好的教學(xué)效果。以黃金分割測(cè)量尺教學(xué)使用為例，當(dāng)教師將這把尺用作畫圖工具時(shí)，黃金分割測(cè)量尺所產(chǎn)生的價(jià)值其實(shí)就已經(jīng)超脫出了課堂。教師可以借此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考和改良，從而使黃金分割測(cè)量尺成為生活的應(yīng)用工具，這無疑可以更好地培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如通過改變黃金分割測(cè)量尺的材料、螺釘?shù)奈恢?、木條的形狀及朝向等，可以將其改良為兼具測(cè)量和度量兩種功能的尺子，從而為生活提供服務(wù)和便利，這樣黃金分割測(cè)量尺將更具價(jià)值。

6 結(jié)語

教具是支持以“做”為架構(gòu)的“教”“學(xué)”的重要一環(huán)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生制作并應(yīng)用教具，可使數(shù)學(xué)課堂更具趣味，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)原理的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。在本課題研究過程中，以黃金分割測(cè)量尺為例，闡述了教具制作和應(yīng)用的方法，希望通過本課題研究能夠?yàn)榻處熗侍峁┙梃b啟示，讓更多的學(xué)生從中受益。

參考文獻(xiàn)

[1]惠宇.重視滲透數(shù)學(xué)文化 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)：以知識(shí)點(diǎn)“黃金分割”為例[J].中學(xué)教研：數(shù)學(xué)，2019（10）：30-33.

[2]冉彥.實(shí)驗(yàn)工具“黃金分割測(cè)量尺”的制作與應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（14）：63-65.

作者：王海燕，鄒平市長山中學(xué)（256206）。