李棟

[摘要]探討中考中三角形的幾個(gè)重要考點(diǎn)，即三角形的三邊關(guān)系、三角形的三角關(guān)系、三角形的邊角關(guān)系，可以使學(xué)生深刻認(rèn)識三角形的邊角關(guān)系，并能運(yùn)用邊角關(guān)系解答相關(guān)問題，提高學(xué)生基本的幾何素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]三角形;中考;考點(diǎn)

[中圖分類號]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）35-0020-02

三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系與邊角關(guān)系是各省市中考的重點(diǎn)，下面筆者對此做一探討，

考點(diǎn)一：三角形的三邊關(guān)系

三角形的三邊關(guān)系，是指在所有三角形中，任意兩邊相加的和，必然大于第三條邊，任意兩邊相減的差必然小于第三條邊，這樣我們可以通過已知三角形的兩邊長，求出第三條邊的取值范圍，進(jìn)而求出三角形周長的取值范圍，當(dāng)?shù)谌龡l邊取整數(shù)時(shí)，還可以確定第三條邊的長，對于特殊三角形，如直角三角形，它的三邊還符合勾股定理，等腰三角形，它的三邊存在底邊大于0小于二分之一周長，腰長大于0的規(guī)律.

[例1]解答下列相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)問題：

（l）觀察圖1，已知點(diǎn)P是三角形ABC的BC邊上的一點(diǎn)，試比較BP+PC與AB+AC之間的大小關(guān)系.

（2）觀察圖2，當(dāng)點(diǎn)P從三角形的一邊上移到三角形的內(nèi)部時(shí)，試比較C△BPC與C△ABC的大小關(guān)系.

（3）觀察圖3，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)P變化為兩個(gè)點(diǎn)P1、P2，試比較C 四邊形BP1P2C與C△ABC的大小關(guān)系，

解析：（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出BP+PC< AB十AC.理由：三角形兩邊之和大于第三條邊;

（2）可延長BP交AC于M，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出：△BPC的周長<△ABC的周長，理由：如圖4，延長BP交AC于M，在△ABM中，BP+ PM< AB十AM，在△PMC中，PC< PM+ MC，兩式相加得BP+PC

（3）分別延長BP1、CP2交于們，再根據(jù)（2）中得出的結(jié)論，可得出：四邊形BPIP2C的周長<△ABC的周長，理由：如圖5，分別延長BP，、CP，交于M，由（2）知，BM+CM< AB+ AC，又P1、P2

考點(diǎn)二：三角形的三角關(guān)系

三角形的三角關(guān)系，是指三角形的三個(gè)內(nèi)角相加必為180°，即三角形內(nèi)角和定理，已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)，此內(nèi)角和定理決定了三角形最多有一個(gè)直角或鈍角，最多有三個(gè)銳角，最少有兩個(gè)銳角，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角與相鄰的外角是互補(bǔ)關(guān)系，所以三角形的一組外角中，最多有一個(gè)銳角，最多有三個(gè)鈍角.

[例2]閱讀下列材料并解答問題：我們規(guī)定，三倍角三角形是指三角形中，有兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系是三倍關(guān)系，當(dāng)三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為105°、35°、40°時(shí)，三角形ABC就是一個(gè)三倍角三角形，反過來，當(dāng)三角形ABC是三倍角三角形，那么三角形ABC中必有兩個(gè)角是三倍關(guān)系.

（l）在圖6中，∠O的度數(shù)為60°，BA垂直于∠O的一邊OM，垂足為點(diǎn)A，判斷△AOB是否是三倍角三角形，并說明理由.

（2）在（1）的條件下，以A為端點(diǎn)畫射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)日重合）.若△AOC是三倍角三角形，求∠ACB的度數(shù).

（3）圖7，在三角形ABC中，DE平分∠ADC，且∠EFC與∠BDC互補(bǔ)，∠DEF與∠B相等，如果三角形BCD是三倍角三角形，那么∠B的度數(shù)是多少？

解析：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB= 90°，∴∠ABO=90° -∠MON= 30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB為三倍角三角形;

（2）。∵∠MON= 60°，∴當(dāng)∠OAC= -∠AOB= 20°時(shí)，△AOC是三倍角三角形'..LACB= LOAC+∠AOB= 80°，當(dāng)∠OAC=3∠ACO，即∠OAC= 30°時(shí)，△AOC是三倍角三角形.∴∠ACB= 90°;

（3）因?yàn)椤螮FC與∠BDC互補(bǔ)，∠LADC與∠BDC互補(bǔ)，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得∠EFC=∠ADC，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，得AD∥EF，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，得∠DEF=∠ADE，結(jié)合已知中的等角，得∠B=∠ADE，再根據(jù)平行線的判定方法，得DE∥BC，根據(jù)題中的角平分線，得∠ADE=∠CDE，這樣∠B=∠BCD.因?yàn)椤鰾CD是三倍角三角形，所以應(yīng)分兩種情況討論.（1）當(dāng)∠BDC=3 ∠B時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠BDC+ ∠BCD+ ∠B= 180°，所以5∠B= 180°，∠B=36°;（2）當(dāng)∠B=3∠BDC時(shí)，7/3∠B=180°，∠B=540°/7

考點(diǎn)三：三角形的邊角關(guān)系

三角形的邊角之間最基本的關(guān)系是較大的邊對的角也較大，較大角對的邊也較長.三角形的邊角關(guān)系還包括正弦定理、余弦定理及射影定理，它們是指在三角形中，每條邊與它相對的角的正弦值相比，其比值都相等;每一邊的平方，與其他兩邊的平方和減去兩邊與夾角余弦的積的兩倍之間有相等關(guān)系;兩邊在第三邊上的投影相加，剛好等于第三邊，在直角三角形中，四個(gè)銳角三角函數(shù)講的也是三角形的邊角關(guān)系.

[例3]閱讀下列材料：在圖8中，設(shè)三角形ABC的三邊分別為a、b、c，那么三角形ABC的面積有如下三種表示方法，即1/2ab sin C、1/2ac sinB、1/2bc sinA

證明：在圖8中，ADIBC，垂足為點(diǎn)D，在直角三角形ABD中，由正弦概念，得。inB：AD，所以AD：c.sinB，根據(jù)三角形的面積公式得三角形ABC的面積為1/2BC-AD=1/2ac sinB，如果利用∠C的正弦，可得三角形ABC的面積為1/2ab sinc;如果過點(diǎn)B作AC的垂線，可得三角形的面積為1/2bc sinA.

（l）利用上述的三個(gè)結(jié)論，試證明sinA - sinB -sinC

（2）如圖9，已知三角形ABC中兩個(gè)角的度數(shù)，即∠B為15°，∠C為60°，且一邊AB的長為20√3，試求AC的長.

（3）如圖10，有一塊三角形荒地ABC，在點(diǎn)B處觀察點(diǎn)A時(shí)，射線BA的方向?yàn)楸逼珫|75°，在點(diǎn)C處觀察點(diǎn)A時(shí)，射線CA的方向?yàn)楸逼?5°，且B、C兩點(diǎn)的距離為18 km，那么三角形ABC的面積是多少？（sin 15°≈ 0.3，sin 120°≈ 0.9，√2≈ 1.4，結(jié)果取整數(shù)）

三角形的邊角關(guān)系還包括三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和，但是這兩個(gè)內(nèi)角不能與這外角相鄰，三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系及邊角關(guān)系始終是我們研究的重點(diǎn)，因?yàn)檫吪c角是三角形最重要的兩類要素，其他圖形問題也要轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，因此，深刻認(rèn)識三角形的邊角關(guān)系，并能運(yùn)用其邊角關(guān)系解答相關(guān)問題，是初中生學(xué)習(xí)幾何應(yīng)具備的基本素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）