幾類三角函數(shù)積分的方法總結

修風光

（沈陽理工大學理學院，遼寧 沈陽 110168）

1 借助三角函數(shù)之間的基本關系進行積分

2 借助三角恒等式積分

六類三角函數(shù)之間除了基本的轉換關系之外，還滿足若干三角函數(shù)恒等式，例如

此外，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相關的和差化積、積化和差等等這些關系式在涉及三角函數(shù)的積分時，若能靈活運用，會大大簡化積分的運算，從而達到積分的目的。

3 形如∫sin mxcosn xdx(m,n均 為非負整數(shù))的不定積分

此時，可令xcos=μ，就可把上式轉化為多項式的積分。

若n為奇數(shù)，則

同上，令xsin=μ，同樣可轉化為多項式的積分，然后借助基本積分公式正常積分即可。

若m,n均為偶數(shù)。則可借助相關的三角函數(shù)恒等式進行降次。當m,n數(shù)值比較大時，會需要多次降次，然后利用（1）和（2）的方法，借助第一類換元法進行積分。

4 形如∫secmxtann xdx(m,n均 為非負整數(shù))的不定積分

1）若m為正偶數(shù)，則利用三角恒等式sec2x=tan2x+1有

此時，可令xtan=μ，就可把上式轉化為多項式的積分。

若m=0，則得積分此時

進而通過遞推可得積分結果。

3）若m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，則利用三角恒等式進行變形，進而可化為求形如的積分，然后借助分部積分法進行求解即可。

4）若m為奇數(shù)，n為奇數(shù)，則

此時，可令xsec=μ，同樣可轉化為多項式的積分。

含有三角函數(shù)的不定積分處理方法往往不是唯一的，本文中所給出的方法經驗證基本是最簡便的。另外需要指出的是本文中提到的這些處理三角函數(shù)積分的方法是基于不定積分求解的一般方法。所以對于這些方法的掌握必須以熟練掌握基本積分方法為前提。同時一般高數(shù)教材中所總結的基本積分公式也應當熟記。這樣多管齊下，才能快速準確地達到求解任何一個不定積分的目的。