陳小彬

【摘要】當下數(shù)學課堂，以知識傳遞為教學目標的現(xiàn)象依然存在，在這種價值導(dǎo)向下，數(shù)學教學最為突出的局限在于對教學中“人”的忽視，帶來的結(jié)果就是教師缺乏用整體綜合的思維方式，對概念教學作出整體策劃和綜合設(shè)計的能力。美國數(shù)學教育家杜賓斯基提出，概念教學要經(jīng)歷活動（Action）—過程（Process）—對象（Object）—圖式（Schema）等四個階段的APOS理論，觀照兒童的思維生長力，促進數(shù)學概念之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)化。

【關(guān)鍵詞】APOS理論? ?活動? ?過程? ?對象? ?圖式

概念是數(shù)學大廈的基石，是數(shù)學的邏輯起點，APOS理論視域下的情境化主題教學，關(guān)注學生建構(gòu)概念的基本規(guī)律，關(guān)注數(shù)學概念形成過程的內(nèi)部本質(zhì)，觀照學生數(shù)學思維生長力，促成數(shù)學概念之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)化，更好地為學生思維發(fā)展而設(shè)計。APOS理論是美國數(shù)學教育家杜賓斯基于20世紀80年代在數(shù)學教育研究實踐中總結(jié)的一種概念學習理論，他認為，學生對數(shù)學概念的建構(gòu)過程要經(jīng)歷：活動（Action）—過程（Process）—對象（Object）—圖式（Schema）等四個階段。

一、APOS理論視域下情境化小學數(shù)學概念教學的價值與意義

1.順應(yīng)：符合學生認知特點與規(guī)律

APOS理論視域下的概念教學讓學生在情境中“活動”，在過程中抽象，在反思中達到數(shù)學化，有助于激活學生已有的知識經(jīng)驗或生活經(jīng)驗，從而順其自然地開啟兒童概念學習“刺激模式”，以感性認知為切入口，感悟概念的一般屬性，符合兒童的認知特點，遵循兒童認知概念的規(guī)律。

2.集聚：提升學生密集的腦力當量

數(shù)學概念的形成過程是一個由表及里發(fā)現(xiàn)和提煉本質(zhì)特點的過程，更是一個對概念本質(zhì)特點進行歸納和抽象命名的過程。APOS理論視域下的概念教學讓學生經(jīng)歷“材料感知—辨析比較—歸納概括—抽象命名”的概念形成過程，幫助學生逐步形成辨析比較、概括提煉的抽象能力。學生經(jīng)歷了這樣概念建構(gòu)的過程，可以提升密集的腦力當量。

3.深入：推動學生對數(shù)學本質(zhì)的理解

數(shù)學概念具有很強的系統(tǒng)性，APOS理論視域下的概念教學，遵循學生的認知結(jié)構(gòu)，學生通過實例比較、分析、概括、分化和類化等思維活動，可以理清概念的關(guān)鍵屬性，從而形成數(shù)學概念的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。經(jīng)過這樣的建構(gòu)過程，學生在學習時會聚焦屬性本質(zhì)，數(shù)學思維從“理性思維”逐步走向“理性精神”。

二、APOS理論視域下情境化概念主題教學策略建構(gòu)

1.有向“活動”：豐盈感性體驗指向兒童“直觀思維”

感性材料是影響概念教學的先行因素。感性材料越豐富，學生對概念的掌握也就會越準確。對豐富的感性材料進行概括和整合，透過現(xiàn)象探究數(shù)學概念的本質(zhì)特征，才能由感性認識上升到理性認識。因此，在概念教學過程中要提供大量的、豐富的、感性的事實材料，注意引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)和感悟材料特點。所謂“大量的”材料提供目的有兩個：一是避免學生形成的概念內(nèi)涵單一，材料越豐富，學生形成概念的內(nèi)涵越豐富;二是為了激發(fā)學生產(chǎn)生對大量材料梳理清晰的學習需求。所謂“豐富的”材料，是指既要包括蘊涵概念本質(zhì)屬性的材料，又要包括反映概念非本質(zhì)屬性的材料，它們成為凸顯概念本質(zhì)屬性的反襯資源。以下以蘇教版數(shù)學三年級下冊《認識面積》一課教學為例：

師：這是我們的教室，請小朋友仔細觀察，說說有些什么？

師提問：誰能來指一指黑板的面？

師：你能照樣子指一指課本的封面，練習本的封面，文具盒蓋等物體的面嗎？

師提問：看看黑板的面和課本封面，哪一個面比較大，哪一個面比較小？

師：拿出老師為大家準備的樹葉、長方形紙、愛心扣等物件，你能在小組里說一說它們的面積嗎？

師：從你身邊再找一些物體，摸一摸它們的面，比一比它們的面積。

在上述教學案例中，教師通過教室里的設(shè)施、學生的文具、生活中的樹葉等，創(chuàng)設(shè)了學生熟悉的現(xiàn)實情境，通過“活動”讓學生親身體驗、感受背景材料與概念之間的關(guān)系，不斷發(fā)現(xiàn)“豐富的”材料的共同特點，通過這樣感性材料“分化”的過程，讓學生在情境中尋找到歸納概念本質(zhì)的線索。

2.融通“過程”：引發(fā)數(shù)學思考指向兒童“經(jīng)驗思維”

通過有向活動，學生經(jīng)歷概念引入、概念初建的過程，通過活動操作、歸納概括、抽象命名形成概念。運用壓縮和解壓縮的過程去實施某個“活動”是數(shù)學思維的一個特點。由于概念是數(shù)學家早已建立了的，對學生個人而言，是在他尚未經(jīng)歷的情況下需要重復(fù)的那類過程，通過親自操作體驗，做一次再創(chuàng)造而形成概念的過程。因此，概念建構(gòu)的過程也要關(guān)注學生的最近發(fā)展區(qū)，在學生自發(fā)性概念的基礎(chǔ)上，幫助學生在經(jīng)歷對事實材料辨析比較分析，也就是自發(fā)性概念所能到達的水平與科學概念所要求的水平之間的區(qū)間，對已經(jīng)接觸到的恰當?shù)膶嵗M行組織整理、分析歸納，使學生逐步由表及里發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)。以下以蘇教版數(shù)學五年級下冊《認識圓》一課為例：

過程一：新舊比較，初步感知圓的特征。初次畫圓，體會圓的與眾不同，學生交流不同的畫圓方法，按以下順序完成：（1）借助圓形物體畫圓;（2）釘線畫圓;（3）圓規(guī)畫圓。

過程二：利用圓規(guī)，初次畫圓，初步感知圓及其特征。圓規(guī)畫圓，掌握畫圓方法。出示要求：試著用圓規(guī)畫一個圓。

過程三：利用圓規(guī)，再次畫圓，體會圓心與半徑的意義。用圓規(guī)在作業(yè)紙上畫出兩個不同的圓。畫好后，想一想，與同桌說一說，所畫的兩個圓有什么相同與不同之處。

過程四：利用圓規(guī)，三次畫圓，體會半徑與直徑的特征;四次畫圓，理解半徑特征。提問“同一個圓內(nèi)，有多少條半徑，長度有什么關(guān)系？直徑呢？”體會同一個圓內(nèi)半徑有無數(shù)條，且都相等。

過程五：對折圓片，探索特征，總結(jié)知識，理解半徑與直徑的關(guān)系。

在上述教學案例中，教師緊緊圍繞畫圓這一過程開展教學活動，每次活動都有清晰的活動經(jīng)驗積累的目標，通過聚類的研究分析，發(fā)現(xiàn)圓相同的共性特點，比如：半徑相等、直徑相等、圓的大小與半徑有關(guān)、圓的位置與圓心有關(guān)等。學生在活動中思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，收獲清晰的圓概念建構(gòu)的活動經(jīng)驗。

3.聚焦“對象”：解析概念內(nèi)涵指向兒童的“抽象思維”

學生能夠把經(jīng)歷的“過程”作為一個整體進行操作和轉(zhuǎn)換，意味著學生已經(jīng)將這個過程提升為心理“對象”。這時，促進學生不斷地調(diào)整頭腦中的動作表象，形成準確的定向映像，進而在實際操作活動中可以調(diào)節(jié)動作的執(zhí)行。再以動作表象為基礎(chǔ)，既操作別的對象，又被高層次的運算來操作，就是學生在不斷建模的過程，在數(shù)學概念某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用。在操作過程中，概念呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，易于整體把握性質(zhì)，讓思路和思維實現(xiàn)鏈接，這時一個完整的理解才真正成型。以下以蘇教版數(shù)學五年級下冊《分數(shù)與除法的關(guān)系》一課教學為例：

（1）操作體驗，積累感性認識

出示：把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？

算式：3÷4=[3] [4]（塊）。

提問：結(jié)果會是多少塊？（學生活動操作）

呈現(xiàn)資源：這三小塊，拼起來，就是一塊餅的3/4，所以是3/4塊。

（2）想象演繹，激發(fā)理性思考

提問：如果把3塊餅平均分給5個小朋友，每人分得多少塊呢？

算式：3÷5=[3] [5]（塊）。

（3）關(guān)系表達，形成認知表征

師：同學們的想法和表述都很有創(chuàng)意，有的用文字，有的用符號，有的用字母，它們都體現(xiàn)了分數(shù)與除法的關(guān)系。數(shù)學上我們一般用含有字母的等式來表示。如a÷b=a/b，此處b可以是0嗎？為什么？

在上述教學案例中，教師通過分一分、擺一擺等直觀操作，逐步引導(dǎo)學生建構(gòu)“分數(shù)與除法的關(guān)系”，通過抽象認識了分數(shù)與除法的關(guān)系的概念本質(zhì)，并進行高度的概括和簡約的表達a÷b=a/b，賦予了形式化的定義及符號，使其成為一個思維中的具體對象。這樣融合操作與模型建構(gòu)，使學生在以后的學習中，可以此為對象進行新的學習活動，達成思路與思維的鏈接。

4.活化“圖式”：建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)指向兒童“系統(tǒng)思維”

概念教學過程中概念圖式的形成需要理性思辨，它不同于感性認知中的感覺、知覺和表象，而是屬于人們對事物的理性認知，它已經(jīng)不是從局部而是從整體上，不僅是從外部形態(tài)上而是從事物的內(nèi)部規(guī)律上，反映了事物的本質(zhì)屬性。為了讓學生把概念內(nèi)涵與外延抽象串聯(lián)起來，需要注重建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系。教學過程不僅關(guān)注內(nèi)涵的學習，還要進一步研究概念的外延。通過辯證、剖析，將概念的內(nèi)涵與外延串聯(lián)起來。

例如，“平行四邊形”的內(nèi)涵包括：①是平面圖形，②是凸四邊形，③對角相等，④對邊平行，⑤對邊相等，⑥對角線互相平分等本質(zhì)屬性。而平行四邊形的外延是所有平行四邊形的集合，其中包括矩形、菱形和正方形。平行四邊形概念建構(gòu)的過程，不僅要對其概念內(nèi)涵進行深度探索，還要重視菱形、矩形、正方形等圖形特征的聯(lián)系與區(qū)別。

因為概念的內(nèi)涵嚴格地確定了概念的外延，反過來，概念的外延也嚴格地確定了概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵和外延之間存在著反變的關(guān)系，即概念的內(nèi)涵增多，將導(dǎo)致外延的縮小，反之，概念外延的擴大，也必然導(dǎo)致內(nèi)涵的減少。因此，需要引導(dǎo)學生從概念的內(nèi)涵和外延兩個方面來思辨明確概念，進而形成概念的綜合心理圖式。

實踐證明，一個數(shù)學概念由“過程”到“對象”的建立有時是既困難又漫長的，需要充分的“活動”作為建構(gòu)的直觀基礎(chǔ)，從“過程”到“對象”的抽象需要經(jīng)過多次的反復(fù)，循序漸進，螺旋上升。圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是滲透于整個學習的漸進的建構(gòu)過程。

【參考文獻】

[1]吳亞萍.中小學數(shù)學教學課型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.

[2]孟世才.基于APOS理論的中學函數(shù)概念的教學研究[J].教學與管理，2011（7）.