平均化屈服準(zhǔn)則及其在管道失效解析中的應(yīng)用

章順虎，李寅雪，姜興睿，鄧 磊，田文皓

(蘇州大學(xué) 沙鋼鋼鐵學(xué)院，江蘇 蘇州 215021)

屈服準(zhǔn)則是判定材料在各種應(yīng)力狀態(tài)下是否發(fā)生塑性變形的依據(jù)，也是求解材料成形外力必須依賴(lài)的條件.合理的屈服準(zhǔn)則對(duì)材料的選擇、工藝參數(shù)的優(yōu)化以及工程結(jié)構(gòu)件的安全評(píng)定具有重要意義.自20世紀(jì)以來(lái)，研究者在屈服準(zhǔn)則方面做了大量的研究，并取得了許多重要的成果.

1776年，Coulomb[1]提出一個(gè)屈服假定，即當(dāng)某平面上的剪應(yīng)力超過(guò)該平面上材料的內(nèi)聚力和摩擦力之和時(shí)，材料就發(fā)生剪切屈服.該準(zhǔn)則也因此被稱(chēng)為Coulomb準(zhǔn)則.1864年，Tresca[2]在沖裁和擠壓實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了Tresca屈服準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則假定，無(wú)論在何種應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)物體內(nèi)某一點(diǎn)的最大切應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，物體就發(fā)生屈服.1913年，von Mises[3]從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，提出以偏差應(yīng)力張量的二次不變量作為判據(jù)，建立了Mises屈服準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則隨后由Hencky[4]進(jìn)行了物理解釋?zhuān)串?dāng)材料內(nèi)部所積累的單位體積變形達(dá)到一個(gè)臨界值時(shí)，材料發(fā)生塑性變形.1950年，Hill[5]將適用于各向同性材料的Mises屈服準(zhǔn)則推廣到各向異性材料，提出了Hill屈服準(zhǔn)則.1952年，Drucker等[6]在Mises屈服準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，考慮到靜水壓力對(duì)材料屈服的影響進(jìn)而提出了Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則.為了統(tǒng)一表征各屈服準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[7]引入了三維應(yīng)力空間的概念，描述了Tresca準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則的幾何特征.1985年，俞茂宏等[8]提出了雙剪應(yīng)力(TSS)屈服準(zhǔn)則，即假定當(dāng)兩個(gè)較大的主剪應(yīng)力之和達(dá)到臨界值時(shí)，材料發(fā)生塑性變形.近年來(lái)，章順虎[9]在線(xiàn)性屈服準(zhǔn)則的開(kāi)發(fā)方面也取得了進(jìn)展，提出了與Mises圓周長(zhǎng)相等的線(xiàn)性屈服準(zhǔn)則.2015年，楊鳳等[10]基于材料屈服時(shí)應(yīng)力之間的關(guān)系,提出一種新的各向同性屈服準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則包含了應(yīng)力冪次在1～4之間的各種形式.2017年，高江平等[11]提出三剪應(yīng)力統(tǒng)一強(qiáng)度理論，認(rèn)為當(dāng)作用于菱形十二面單元體上的3個(gè)主剪應(yīng)力所組成的函數(shù)達(dá)到某一極值時(shí),材料發(fā)生破壞.

以上屈服準(zhǔn)則的開(kāi)發(fā)為各類(lèi)工程結(jié)構(gòu)件的塑性失效分析提供了基礎(chǔ).管道作為石油與天然氣的輸送媒介，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.然而，近年來(lái)管道安全事故頻發(fā)，已造成了嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失.因此，進(jìn)行管道失效分析具有重要意義.管道塑性失效分析主要用于確定受力管道的極限承載能力，稱(chēng)為爆破壓力.國(guó)內(nèi)外已有不少預(yù)測(cè)管道爆破壓力的研究報(bào)道.李燦明等[12]采用MY準(zhǔn)則求解X80管線(xiàn)鋼爆破壓力，得到逼近Mises結(jié)果的解析解.文獻(xiàn)[13-14]應(yīng)用Tresca屈服準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則分別對(duì)管道的爆破壓力進(jìn)行了預(yù)測(cè),研究發(fā)現(xiàn)Tresca準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果提供了管道爆破壓力的下限,而Mises準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)比實(shí)際數(shù)值偏高.彭星煜等[15]利用雙剪應(yīng)力(TSS)屈服準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值是管道爆破壓力的上限.基于以上研究可見(jiàn)，Tresca屈服準(zhǔn)則通常給出下限解，TSS屈服準(zhǔn)則通常給出上限解；Mises屈服準(zhǔn)則給出相對(duì)偏高的結(jié)果.

根據(jù)上述信息，本文提出了一種新的線(xiàn)性屈服準(zhǔn)則，旨在獲得更加合理的預(yù)測(cè)結(jié)果，并分析不同屈服準(zhǔn)則以及主要參數(shù)對(duì)管道爆破壓力的影響.

1 三經(jīng)典屈服準(zhǔn)則

Tresca[2]屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式為

fTresca=σ1-σ3=σs.

(1)

式中：σ1為第一主應(yīng)力，σ3為第三主應(yīng)力，σs為屈服強(qiáng)度.

Tresca屈服準(zhǔn)則是一個(gè)線(xiàn)性準(zhǔn)則，但由于只考慮了兩個(gè)主應(yīng)力分量，在描述金屬材料的實(shí)際塑性變形方面存在不足，即通常會(huì)給出偏低的力學(xué)參數(shù)結(jié)果.

Mises[3]屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式為

(2)

根據(jù)前人的研究和驗(yàn)證，大多數(shù)金屬材料的塑性變形滿(mǎn)足Mises屈服準(zhǔn)則.然而，由于其表達(dá)式的非線(xiàn)性，不便于復(fù)雜力學(xué)方程的聯(lián)解計(jì)算.

TSS[8]屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式為

(3)

TSS屈服準(zhǔn)則也是一個(gè)線(xiàn)性的屈服準(zhǔn)則，但與其他準(zhǔn)則相比，它總是提供上限解.

上述公式在π平面上的屈服軌跡見(jiàn)圖1，其中Mises屈服準(zhǔn)則的軌跡是一個(gè)圓，Tresca屈服準(zhǔn)則的軌跡是Mises圓的一個(gè)內(nèi)接正六邊形，TSS屈服準(zhǔn)則的軌跡是Mises圓的一個(gè)外切正六邊形.

2 平均化屈服準(zhǔn)則

2.1 數(shù)學(xué)表達(dá)式

為了線(xiàn)性逼近Mises圓，可以在Tresca屈服準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則之間構(gòu)建一個(gè)十二邊形.在圖1中，Mises屈服準(zhǔn)則的外切六邊形(TSS)的邊心距為OB′，內(nèi)接六邊形(Tresca)的邊心距為OF，設(shè)線(xiàn)段BF上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接B′E，定義為本文即將開(kāi)發(fā)的平均化屈服準(zhǔn)則，OI為其邊心距.

在圖中，設(shè)OB′與OI之間的夾角∠B′OI為θ，則當(dāng)θ=0°時(shí)，OI=OB′；當(dāng)θ=30°時(shí)，OI=OF.可見(jiàn)，OI可在OB′與OF之間變化.

(4)

基于上式，可得

(5)

Mises屈服軌跡上的偏差矢量模長(zhǎng)為

(6)

平均化屈服準(zhǔn)則的偏差矢量模長(zhǎng)為

OE=0.799 3σs.

(7)

圖1 π平面上的屈服軌跡

由此可見(jiàn)，平均化屈服準(zhǔn)則的偏差矢量模長(zhǎng)比Mises屈服準(zhǔn)則的小，即E點(diǎn)在F、D之間.在誤差三角形OBB′內(nèi)各種屈服準(zhǔn)則的相互關(guān)系如圖2所示.

圖2 平均化屈服準(zhǔn)則在誤差三角形內(nèi)軌跡

下面建立直線(xiàn)A′E、B′E在Haigh-Westgarrd空間中的應(yīng)力方程.圖3為主應(yīng)力分量在π平面上的投影，其中E點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為

(8)

假定直線(xiàn)A′E滿(mǎn)足如下方程：

σ1-a1σ2-a2σ3-c=0,

(9)

則當(dāng)材料發(fā)生屈服時(shí)有c=σs、a1+a2=1，代入應(yīng)力分量式(8)可得

a1=0.231,a2=0.769.

(10)

將式(10)代入式(9)，可得A′E的方程為

(11)

同理，直線(xiàn)B′E的方程可確定為

(12)

圖3 σ1在π平面上的投影

式(11)和式(12)即為所提的屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是主應(yīng)力分量的線(xiàn)性組合.因該準(zhǔn)則的邊心距OI由積分中值定理計(jì)算而得，故導(dǎo)出的準(zhǔn)則稱(chēng)為平均化屈服準(zhǔn)則，簡(jiǎn)稱(chēng)HY準(zhǔn)則.

由圖2可知，HY準(zhǔn)則的軌跡在Mises圓內(nèi)，各頂角計(jì)算如下：

(13)

由圖1和式(13)表明，HY準(zhǔn)則的軌跡是在Mises圓內(nèi)的等邊非等角的十二邊形，邊長(zhǎng)為0.418 5σs，6個(gè)頂點(diǎn)在Mises圓上，內(nèi)接點(diǎn)頂角為145.452°，另外6個(gè)頂點(diǎn)位于Mises圓的內(nèi)側(cè)，相距0.02σs，頂角為154.548°.

HY準(zhǔn)則的軌跡與Tresca屈服準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則軌跡之間的絕對(duì)和相對(duì)誤差如下：

(14)

式中：ΔAT1、ΔAT2分別為HY準(zhǔn)則和Tresca屈服準(zhǔn)則之間的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，ΔAM1、ΔAM2分別為HY準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則之間的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差.

式(14)表明HY準(zhǔn)則的軌跡位于Tresca屈服軌跡和Mises屈服軌跡之間，并且更接近Mises屈服軌跡.

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在主應(yīng)力狀態(tài)為σ1≥σ2≥σ3時(shí)，引入Lode參數(shù)來(lái)對(duì)比不同的屈服準(zhǔn)則，Lode參數(shù)表達(dá)式為[16]

(15)

將上式分別代入Tresca準(zhǔn)則、Mises準(zhǔn)則、TSS屈服準(zhǔn)則和HY準(zhǔn)則可得到它們含Lode參數(shù)的改寫(xiě)式如下：

Tresca:

(16)

Mises:

(17)

TSS：

(18)

HY：

(19)

基于以上改寫(xiě)式，并結(jié)合已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[16-19]，可以得到圖4.

圖4 屈服準(zhǔn)則實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

由圖4可知，TSS屈服準(zhǔn)則位于最上側(cè)，提供了計(jì)算結(jié)果的上限，Tresca屈服準(zhǔn)則位于底部，提供下限；HY準(zhǔn)則介于TSS準(zhǔn)則與Tresca準(zhǔn)則之間，靠近Mises準(zhǔn)則結(jié)果，且與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，提供了較合理的中間結(jié)果.

3 管道失效分析

為了證明新提出的HY準(zhǔn)則的應(yīng)用價(jià)值，本節(jié)將HY準(zhǔn)則應(yīng)用于內(nèi)壓直管道的塑性失效分析.

3.1 爆破壓力模型

對(duì)于受內(nèi)壓力的薄壁管，其主應(yīng)力分量表示為

(20)

式中：θ、z、r分別為管道的周向、軸向和徑向；d和t是管道的內(nèi)直徑和初始壁厚;p是管道的內(nèi)部壓力.

對(duì)于埋地管道，軸向應(yīng)變通常很小，可看作εz=0.因此，主應(yīng)變分量為

(21)

式中d0、t0為管道的初始直徑和初始壁厚.

當(dāng)塑性變形發(fā)生時(shí)，管線(xiàn)鋼的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系用以下冪函數(shù)表示[14]：

(22)

通過(guò)式(20)～(22)和失效條件?p/?ε=0，則基于式(11)的爆破壓力為

(23)

該式表明，爆破壓力是應(yīng)變硬化指數(shù)、初始厚徑比以及工程抗拉強(qiáng)度的函數(shù).根據(jù)上述分析過(guò)程，還可以導(dǎo)出基于Tresca，Mises和TSS屈服準(zhǔn)則的爆破壓力：

(24)

(25)

(26)

上述爆破壓力公式的一般形式表示為

(27)

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和參數(shù)分析

圖5 理論爆破壓力與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

由圖5可知，基于HY準(zhǔn)則得到的理論管道爆破壓力介于Tresca與TSS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)的爆破壓力之間，與Mises準(zhǔn)則結(jié)果最為接近，且比Mises準(zhǔn)則結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

不同硬化指數(shù)和厚徑比對(duì)爆破壓力的影響見(jiàn)圖6、7.

圖6 應(yīng)變硬化指數(shù)對(duì)爆破壓力的影響

圖7 厚徑比對(duì)爆破壓力的影響

由圖6、7可知，應(yīng)變硬化效應(yīng)和管道尺寸均對(duì)管道爆破壓力產(chǎn)生影響，管道爆破壓力隨著應(yīng)變硬化指數(shù)的增大而減小，隨管道厚徑比的增大而增大.

由于硬化指數(shù)取決于鋼材生產(chǎn)工藝及化學(xué)成分，而厚徑比又與使用條件及設(shè)計(jì)要求密切相關(guān).因此設(shè)計(jì)管道時(shí)要綜合考慮這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，以避免管道失效.

4 結(jié) 論

1)本文提出的平均化屈服準(zhǔn)則是關(guān)于主應(yīng)力分量的線(xiàn)性組合，它在π平面上的屈服軌跡為一個(gè)在Mises圓內(nèi)的等邊非等角十二邊形，邊長(zhǎng)為0.418 5σs，頂角分別為154.548°與145.452°，與Mises準(zhǔn)則之間的最大誤差不超過(guò)2.1%.通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，該屈服準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，給出了較為合理的中間結(jié)果.

2)將新提出的屈服準(zhǔn)則應(yīng)用于管道失效分析，結(jié)果表明，理論爆破壓力取決于不同的屈服準(zhǔn)則，并且本文結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好.由此可見(jiàn)，本文采用HY準(zhǔn)則進(jìn)行管道失效分析的方法是可行的.

3)對(duì)各種爆破壓力的變化規(guī)律分析發(fā)現(xiàn)，隨著應(yīng)變硬化指數(shù)的增加，爆破壓力減??；隨著厚徑比的增加，爆破壓力增加，表明管壁較厚或直徑較小的管道可以承受更大的壓力.