單位球上QK(p,q)之間的包含關(guān)系

胡 蓉

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[11]Bα空間定義為

在下文假設(shè)K(r)滿足條件

(1)

否則QK(p,q)為只包含常值函數(shù)的平凡空間[5].

(2)

當(dāng)0

故有

充分性.因?yàn)?/p>

證明記w=rz，易得

所以

從而

3 QK1(p,q)和QK2(p,q)的包含關(guān)系

定理3如果存在t0>0，使得對(duì)任意的0

證明由g(z)的定義可得，存在δ∈(0,1)，使得當(dāng)|z|≥δ時(shí)，g(z)≤g(δ)=t0，從而K1(g(z))≤CK2(g(z)).任取f∈QK2(p,q),a∈Bn，有

即f∈QK1(p,q)，得證.

注：該定理說(shuō)明要比較QK1(p,q)和QK2(p,q)，只需在原點(diǎn)附件比較核函數(shù)K1(t)和K2(t)的大小.

下面定理將給出當(dāng)K1,K2滿足一定條件時(shí)，QK1(p,q)和QK2(p,q)之間的真包含關(guān)系.

QK2(p,q)?QK1(p,q).

證明由于K1(r)≤K2(r),r∈(0,1)，根據(jù)定理2可得QK2(p,q)?QK1(p,q).

假設(shè)QK2(p,q)=QK1(p,q)，由開(kāi)映射定理[12]可知，存在非負(fù)常數(shù)C，使得

(3)

則

(4)

(5)

利用Fatou引理[12]有

與題目條件矛盾.故QK2(p,q)≠Q(mào)K1(p,q).得證.