仿拓撲群嵌入性質的一點注記

郭偉業(yè)

（五邑大學數學與計算科學學院，廣東江門529020）

設τ是抽象群G上的一個拓撲.稱(G，τ)是半拓撲群，如果對于群G上一個元在G中的左乘法運算和右乘法運算都是連續(xù)的；稱(G，τ)是仿拓撲群，如果群G上的乘法運算是連續(xù)的；稱(G，τ)是拓撲群，如果(G，τ)是仿拓撲群且群G上的逆運算是連續(xù)的[1-2].

1953年，Katz[3]證明了：設G是T2拓撲群，則G拓撲同構于一族可度量化拓撲群乘積空間的子群當且僅當G是ω—balanced.Guran[4]最早研究ω—narrow 拓撲群并在1981年得到結論：拓撲群G拓撲同構于一族滿足第二可數公理拓撲群乘積空間的子群當且僅當G是ω—narrow.2007年，Sanchis 等[5]研究了仿拓撲群中完全Lindel?f 和完全ω—narrow 的相關性質.2009年，Tkachenko 將文獻[3-4]的結果推廣到仿拓撲群中，引入了Hausdorff數和正則數這兩個新的基數不變量，并進一步給出了仿拓撲群能表示成第一可數仿拓撲群或第二可數仿拓撲群乘積空間子群的刻畫，分別得到文獻[8]中定理2.7、定理2.8、定理3.6、定理3.8.2015年，Sánchez[6]將Tkachenko[7]的結論推廣到T0和T1分離公理.自然地，我們能否將文獻[6-7]結論中的ω推廣到無限基數κ？本文在文獻[8]的基礎上，研究了特征或權勢不大于κ的仿拓撲群乘積空間子群的等價條件.

1 預備知識

為方便起見，文中的N(eG)均表示仿拓撲群（半拓撲群）G中包含單位元eG的所有開鄰域的集族，ω表示可數基數，κ為無限基數.

定義1[8]設(G，τ)是仿拓撲群，稱τ-1={U-1:U∈τ} 為G的共軛拓撲.記τ*=τ∨τ-1是拓撲群G上的上界拓撲，則稱G*=(G，τ*)是仿拓撲群G的共軛拓撲群.

定義2[1]設G是仿拓撲群，如果對于任意U∈N(eG)，存在子集族γ?N(eG)滿足 |γ|≤κ，使得對于任意x∈G，存在V∈γ，滿足xVx-1?U，則稱γ從屬于U.如果對于任意U∈N(eG)，存在γ從屬于U，則稱G是κ—balanced.

定義3[1]設G是仿拓撲群，如果對于任意U∈N(eG)，存在一個子集C?G滿足 |C|≤κ，使得CU=G=UC，則稱G是κ—narrow.如果G的共軛拓撲群G*是κ—narrow，則稱G是完全κ—narrow.

如果定義2和定義3的κ取為ω，則分別稱仿拓撲群G是ω-balanced和完全ω—narrow.

定義4[5]設G是半拓撲群.如果存在可數集族γ?N(eG)，使得對于任意x∈U，存在V∈γ，滿足xV?U，則稱半拓撲群G的子集U為ω—good集.

定義5[8]設P是某一給定的拓撲性質，G是仿拓撲群，如果對于任意U∈N(eG)，存在一個從G到具有性質P的仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于某一V∈N(eHU)，有p-U1(V)?U，則稱G是投射滿足P的.

定義6[8]設G是具有單位元eG的半拓撲群，

1）如果G滿足T2分離公理，且對于任意U∈N(eG)，存在一個集族γ?N(eG)，使得 |γ|≤κ且∩V∈γVV-1?U，則稱該最小基數κ為G的Hausdorff數，記作Hs(G)；

2）如果G滿足正則分離公理，且對于任意U∈N(eG)，存在一個集族γ?N(eG)和V∈γ，使得 |γ|≤κ且∩W∈γVW-1?U，則稱該最小基數κ為G的正則數，記作Ir(G).

2 主要結論

命題1[1]設γ是抽象群G中單位元eG的一個集族，滿足下列條件：

1）對于任意U∈γ，存在V∈γ，使得V2?U；

2）對于任意U∈γ和任意x∈G，存在V∈γ，使得xV?U；

3）對于任意U∈γ和任意x∈G，存在V∈γ，使得xVx-1?U；

4）對于任意U，V∈γ，存在W∈γ，使得W?U?V.

則τ={U?G:任意a∈U，存在V∈γ，使得aV?U} 是群G上一個拓撲，使得(G，τ)構成仿拓撲群且γ是仿拓撲群G中單位元eG的一個鄰域基.

首先我們討論T2仿拓撲群嵌入的刻畫.

命題2[8]設半拓撲群G滿足T2分離公理，H是G的子群，則Hs(H)≤Hs(G).

命題3設半拓撲群G滿足T2分離公理，則Hs(G)≤χ(G).

命題4[8]設{Gi:i∈I} 是滿足T2分離公理的半拓撲群族，如果對于任意i∈I都有Hs(Gi)≤κ，則對于拓撲乘積G=∏i∈IGi有Hs(G)≤κ.

引理1[5]包含仿拓撲群G中單位元eG的所有ω—good集組成的集族構成G中單位元eG的鄰域基.

引理2[8]設G是仿拓撲群，若子集族γ?N(e)滿足下列條件：

1）對于任意U∈，γ存在V∈γ，使得V2?U；

2）γ的有限交是封閉的；

3）對于任意U∈γ,γ從屬于U.則是G的一個閉的不變子群.

引理3設G是仿拓撲群，

1）如果G滿足T2分離公理，則G是投射滿足T2分離公理且滿足特征（權勢）小于等于κ的仿拓撲群當且僅當G拓撲同構于一族滿足T2分離公理且滿足特征（權勢）小于等于κ仿拓撲群族{Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

2）如果G滿足正則分離公理，則G是投射滿足正則分離公理且滿足特征（權勢）小于等于κ的仿拓撲群當且僅當G拓撲同構于一族滿足正則分離公理且滿足特征（權勢）小于等于κ仿拓撲群族{Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

證明只證仿拓撲群G滿足T2分離公理的情況，G滿足正則分離公理的情況類似可證.

必要性固定G中單位元eG的一個開鄰域基B，使得 |B|≤κ.因為G是投射滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群，所以對于任意U∈B，存在一個從G到滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于HU中單位元eHU的某一開鄰域V，有(V)?U.顯然∏U∈B HU是滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群.作對角乘積p= ∏U∈BPU:G→∏U∈B HU，則p是G到∏U∈B HU的一個嵌入，從而G拓撲同構于一族滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ仿拓撲群{Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

充分性設p:G→∏a∈AHa是一個嵌入，pJ:∏a∈AHa→∏a∈J Ha是一個投射，其中J?Α是有限集族，顯然p和pJ是連續(xù)同態(tài)且是一一映射.對于任意U∈N(eG)，取Vα∈N(eHα)，其中α∈J，則V=∏a∈J Va是乘積空間HU＝∏a∈J Ha中單位元的一個開鄰域.因為仿拓撲群族{Hα:α∈Α} 滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ，所以仿拓撲群∏a∈AHa也滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ.仿拓撲群HU作為∏a∈AHa的子空間也遺傳同樣的性質.取pU=pJ°p，則pU是一個從G到滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài).對于上述的V∈N(eHU)，則

故p-J1(∏a∈JVa)和p(G)是∏a∈A Ha中單位元的開鄰域.從而是∏a∈A Ha中單位元的開鄰域.所以是G中單位元的開鄰域.根據開集的定義，對于上述的U∈N(eG)，我們找到使得

由于仿拓撲群是齊性空間，因此特征的情況是顯然的.

定理1設仿拓撲群G滿足T2分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族，則G拓撲同構于拓撲乘積∏=∏i∈IHi的一個子群當且僅當G是κ—balanced且Hs(G)≤κ.

證明必要性假設G拓撲同構于拓撲乘積∏=∏i∈IHi的一個子群.因為Π中的標準開集除了有限個坐標外，其余都取Hi，另外滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群集族{Hi:i∈I} 是κ—balanced，因此Π 是κ—balanced.又因為κ—balanced 具有子群遺傳性，因此G也是κ—balanced.根據命題2 至命題4 可得Hs(G)≤Hs(Π)≤κ.

充分性設G是κ—balanced仿拓撲群且滿足Hs(G)≤κ，根據引理3只需證特征小于等于κ的κ—balanced仿拓撲群G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的，即證對于任意U0∈N(eG)，存在一個從G到滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群HU0的連續(xù)同態(tài)pU0:G→HU0，使得對于HU0中單位元eHU0的某一開鄰域V0，有

設N*(eG)是包含仿拓撲群G中單位元eG的所有ω—good 集組成的集族，由引理1 可知N*(eG)是G中單位元eG的鄰域基.下面通過歸納法構造序列{γn:n∈ω} ?N*(eG).取U0*∈N*(eG)滿足U0*?U0和γ0={U0*}.設對某個n∈κ，定義集族γ0，γ1，…，γn，對于任意k≤n都滿足下列條件：

1）γk?N*(eG)且 |γk|≤κ；

2）γk?γk+1；

3）γk的有限交是封閉的；

4）對于任意U∈γk，存在V∈γk+1，使得V2?U；

5）對于任意U∈γk，γk+1從屬于U；

6）對于任意U∈γk和x∈U，存在V∈γk+1，使得xV?U；

假設條件2）以及4）-7）中的k+ 1 ≤n.因為G是仿拓撲群且 |γn|≤κ，所以存在子集族λn，1?N*(eG)滿足|λn，1|≤κ，對于任意U∈γn，存在V∈λn，1，使得V2?U.由于G是κ—balanced，故存在子集族λn，2?N*(eG)滿足|λn，2|≤κ，對于任意U∈γn和x∈G，存在V∈λn，2，使得xVx-1?U.又因為Hs(G)≤κ，所以可以找到子集族λn，3?N*(eG)滿足|λn，3|≤κ，對于任意U∈γn，有根據N*(eG)的定義，存在子集族λn，4?N*(eG)滿足|λn，4|≤ω，對于任意U∈γn和x∈U，都能找到V∈λn，4，使得xV?U.令γ′n+1=是包含γ′n+1關于有限交封閉的最小集族，顯然|γn+1|≤κ.容易驗證γ0，γ1，…，γn+1滿足上述條件1）-6），從而完成構造.

8）對于任意Α，B∈μ，存在C∈μ，使得C?Α?B；

9）對于任意Α∈μ，存在B∈μ，使得B2??。?/p>

10）對于任意Α∈μ，μ從屬于??；

11）對于任意Α∈μ和y∈Α，存在B∈μ，使得yB?Α；

12）對于任意異于HU0中單位元eHU0的一點x，存在Α∈μ，使得Α?xΑ= ?.

因為集族γ的有限交是封閉的，因此條件8）成立.由γ和μ的定義，對條件4）和5）進行歸納構造可以得到條件8）和9）.下面驗證條件10）.對于任意Α∈μ和y∈Α，根據μ的定義，存在U∈γ和x∈U，使得Α=pU(U)且y=pU(x).根據條件6）和γ的定義，對于上述的U∈γ和x∈U，存在V∈γ，使得xV?U.記B=pU(V)，則

即yB?Α.結合條件8）-12）和命題1可知

是HU0上的拓撲，使得(HU0，τ)是仿拓撲群且μ是HU0上單位元eHU0的一個鄰域基.

下證條件12）.由于 |μ|≤κ，故仿拓撲群HU0滿足χ(HU0)≤κ.任取則存在x∈G，使得pU0(x)=y.因為所以存在V∈γ，使得x?VV-1，即V?xV= ?.取W∈γ，使得W2?V，則對于O=pU0(W)∈μ，有O?yO= ?.否則，我們可以找到某a，b∈W，使得pU0(a)=ypU0(b)=pU0(xb)，即a=xb，從而a-1xb=eG∈N.再結合N?W和W2?V可得：

這與x?VV-1矛盾.從而條件12）得證.故仿拓撲群()HU0，τ滿足T2分離公理.

取U∈γ，使得U2?U0*，則V0=pU0(U)∈N(eHU0)且

因此仿拓撲群G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ.由引理3 可知G拓撲同構于Π 的一個子群H.

引理4[9]設仿拓撲群G滿足T2分離公理，則

1）若χ(G)≤κ，則G*是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的拓撲群.

2）若w(G)≤κ，則G*是滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理的拓撲群.

引理5[9]設G是完全κ—narrow仿拓撲群，則G是κ—balanced仿拓撲群.

引理6設完全κ—narrow仿拓撲群G是投射滿足T（2正則）分離公理且滿足特征小于等于κ的，則G是投射滿足T（2正則）分離公理且滿足權勢小于等于κ.

證明只證T2分離公理的情況，正則分離公理的情況類似可證.

任取U∈N(eG)，因為G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的，因此存在一個從G到滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于某一V∈N(eH)，有因為G是完全κ—narrow仿拓撲群，由pU的連續(xù)性可知HU也是完全κ—narrow仿拓撲群，故HU的narrow 數nw(HU)≤κ.又因為χ(HU)≤κ，根據文獻[9]的推論2.14 可知w(HU)≤nw(HU)?χ(HU)≤κ.因此對于上述的U∈N(eG)，存在一個從G到滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于某一V∈N(eH)，有p-

U1(V)?U.所以G是投射滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ.

定理2設仿拓撲群G滿足T2分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族，則G拓撲同構于拓撲乘積∏=∏i∈IHi的一個子群當且僅當G是完全κ—narrow且Hs(G)≤κ.

證明 必要性設{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族，G是∏=∏i∈I Hi的一個子群.由引理4 可知，對于任意i∈I，Hi*是滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理的拓撲群.因此Hi*是κ—narrow 拓撲群.因為κ—narrow 拓撲群的拓撲乘積以及子群都是κ—narrow 拓撲群，因此G*是κ—narrow拓撲群，從而G是完全κ—narrow仿拓撲群.

充分性設G是完全κ—narrow仿拓撲群，由引理5知G是κ—balanced仿拓撲群.又因為Hs(G)≤κ，所以由定理1 得仿拓撲群G拓撲同構于一族滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族{Hi:i∈I}拓撲乘積∏=∏i∈I Hi的一個子群.由引理3 知G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的仿拓撲群.利用引理6 可得完全κ—narrow 仿拓撲群G是投射滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群.最后再次利用引理3 可得G拓撲同構于一族滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓撲群集族{Hi:i∈I} 的拓撲乘積的子群.

類似于T2仿拓撲群嵌入的刻畫，我們可以類似地得到正則仿拓撲群嵌入的刻畫.

命題5[8]設半拓撲群G滿足正則分離公理，H是G的子群，則Ir(H)≤Ir(G).

命題6設半拓撲群G滿足正則分離公理，則Ir(G)≤χ(G).

命題7[8]設{Gi:i∈I} 是滿足正則分離公理的半拓撲群族，如果對于任意i∈I都有Ir(Gi)≤κ，則對于拓撲乘積G= Πi∈IGi有Ir(G)≤κ.

將定理1和定理2中T2分離公理改為正則分離公理，得到定理3和定理4.讀者可以仿照定理1和定理2的證明方法自行證明.

定理3設仿拓撲群G滿足正則分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足正則分離公理的仿拓撲群族，則G拓撲同構于拓撲乘積Π = Πi∈IHi的一個子群當且僅當G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.

定理4設仿拓撲群G滿足正則分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足權勢小于等于κ且滿足正則分離公理的仿拓撲群族，則G拓撲同構于拓撲乘積Π = Πi∈IHi的一個子群當且僅當G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.