一道中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題解析

任永生

中考數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)變化類的壓軸題，題目展示涉及：單一（雙）動(dòng)點(diǎn)在三角形、四邊形上運(yùn)動(dòng);在直線、拋物線上運(yùn)動(dòng);幾何圖形整體運(yùn)動(dòng)問題知識(shí)點(diǎn)涉及：全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊四邊形形的判定和性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)、解直角三角形勾股定理，相似三角形的性質(zhì)。數(shù)學(xué)思想涉及：分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想。 解答這類問題的關(guān)鍵是正確分類畫出直觀圖形。確定點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中與圖形相關(guān)的某些量（如角度、線段、周長、面積及相關(guān)的關(guān)系）的變化或其中存在的函數(shù)關(guān)系。

例：（動(dòng)點(diǎn)與幾何圖形綜合型問題）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。D是AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A，C不重合），過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE∥AC，交AB于點(diǎn)E。設(shè)CD=x，DF=y。

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，求x的值;

（3）當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，求x的值。

【例題分層分析】（1）由已知求出∠C，可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式;

（2）若四邊形AEFD為菱形，則DF=DA，從而可列方程;

（3）若∠FDE=90°，你能證明四邊形DFBE是矩形，四邊形CDEF是平行四邊形嗎？

【解題方法點(diǎn)析】

所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目。解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

解：（1）在Rt△ABC中，

∠B=90°，AC=60，AB=30，

∴AB∠C=30°。

在△DFC中，DF⊥BC，則∠DFC=90°。

∵∠C=30°，∴DF=（0

（2）若四邊形AEFD為菱形，則DF=DA，其中DF=y，AD=60-x。

-x，解得x=40。

（3）若∠FDE=90°，如圖1所示，易證四邊形DFBE是矩形，

∥FB.

∵FE∥AC，

∴四邊形CDEF是平行四邊形，

∴EF=CD=x。

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴EF=AD=60-x，

∴x=60-x，解得x=30。

若∠DEF=90°，如圖2所示。

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=60，AB=30。

由勾股定理，得BC=3

∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°。

∵∠DFC=90°，

∴∠DFE=60°。而∠DEF=90°，∴∠EDF=30°。

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，CD=x，

∴DF

同理，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，DF=。

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∠EFB=30°，

綜上所述，x的值為30或48。

？誗編輯 王彥清