初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略研究

林彩琴

【摘要】數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)的綜合性學(xué)科，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯以及抽象能力的培養(yǎng).在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯、抽象能力以及空間結(jié)構(gòu)想象力非常重要.這一點(diǎn)體現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)幾何的教學(xué)上，教師是從根本上觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何變換思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的重點(diǎn).但是在實(shí)際教學(xué)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)幾何變換思想的變換還存在許多的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何變換思想效果不佳.本文就初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)進(jìn)行討論和研究，希望能為初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的進(jìn)步提供一些幫助，更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)、幾何變換思想、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、教學(xué)

一、建構(gòu)初中數(shù)學(xué)中的幾何教學(xué)

（一）初中數(shù)學(xué)中幾何變換思想的概念

初中數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)三角形、正方形、長(zhǎng)方形、多邊形等圖形的性質(zhì)、形狀、功能，研究它們的空間結(jié)構(gòu)以及實(shí)際應(yīng)用.在此過(guò)程中，重視學(xué)生的主體探究過(guò)程以及學(xué)生的建模、變換、轉(zhuǎn)化等思維方法的發(fā)展，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有重要的作用.

（二）初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的現(xiàn)狀

在教學(xué)初中數(shù)學(xué)幾何時(shí)，部分教師認(rèn)為只要能懂得一些基本的幾何知識(shí)，知道一些基本的圖形性質(zhì)和特點(diǎn)就可以了.因此，教師只在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)圖形的理解和記憶，沒(méi)有注重學(xué)生對(duì)圖形的思考及轉(zhuǎn)換，這直接導(dǎo)致了學(xué)生的抽象思維能力沒(méi)有得到應(yīng)有的鍛煉，學(xué)生不能從多個(gè)方面去思考和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響了整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的進(jìn)展，學(xué)生的能力得不到加強(qiáng).同時(shí)，這不符合當(dāng)下新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革，不利于學(xué)生的全面發(fā)展.

（三）變換思想對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的重要性

初中數(shù)學(xué)幾何的教學(xué)主要是讓學(xué)生對(duì)基本圖形有簡(jiǎn)單的認(rèn)知和了解，知道圖形的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，為以后高中甚至大學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時(shí)，數(shù)學(xué)更是一門(mén)具有綜合性、抽象性的學(xué)科，當(dāng)教師教學(xué)初中數(shù)學(xué)幾何時(shí)，學(xué)生的思維得到了訓(xùn)練，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到了提高，學(xué)生的發(fā)散性思維得到了鍛煉.

例1問(wèn)題1，如圖1、圖2，鈍角三角形ABC的面積為20，最長(zhǎng)邊AB=10，BD平分∠ABC，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，求CM+MN的最小值.

分析作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CB于點(diǎn)N，EN就是CM+MN的最小值.

問(wèn)題2，如圖3、圖4，三角形ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，點(diǎn)P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，求│PA-PB│的最大值.

分析作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E，連接CE，EB，并延長(zhǎng)EB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，EB的長(zhǎng)就是

│PA-PB│的最大值.

這兩個(gè)例題之間可形成“手拉手”的變換方式.

因此，教師將變換思想融入學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)中能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生從本質(zhì)上學(xué)好數(shù)學(xué)，更加深入地了解和理解數(shù)學(xué)，讓學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行思考，甚至是創(chuàng)新，進(jìn)而提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生能夠從多個(gè)角度去思考問(wèn)題，對(duì)學(xué)生未來(lái)的發(fā)展是有極大好處的.

二、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何變換思想的方法和策略

（一）培養(yǎng)學(xué)生幾何的解題興趣

初中數(shù)學(xué)的幾何學(xué)習(xí)是最基礎(chǔ)的幾何學(xué)習(xí)，是對(duì)平面圖形的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)的認(rèn)知，但這樣的學(xué)習(xí)仍離不開(kāi)興趣.如果學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)有著極大的興趣，就能夠主動(dòng)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，進(jìn)而研究它的知識(shí)結(jié)構(gòu)和特點(diǎn).例如，如圖5，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn).

1.觀察猜想：

圖5中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

2.探究證明：

把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖6的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由.

3.拓展延伸：

把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4、AB=10，則請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值.

教師在解題過(guò)程中主要給予學(xué)生適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與啟發(fā)，關(guān)注學(xué)生的思考方向，使學(xué)生能夠利用圖形進(jìn)行合適的變換，激發(fā)學(xué)生探究幾何學(xué)習(xí)的積極性.因此，在進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該先培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生對(duì)幾何產(chǎn)生興趣，這樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的積極性，才能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中主動(dòng)參與、積極思考.只有這樣，才有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何變換思想，才能更好地促進(jìn)教師教學(xué)幾何.

（二）教會(huì)學(xué)生正確的解題方法

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，幾何數(shù)字就是圖形的教學(xué).因此，如果要培養(yǎng)學(xué)生的幾何變換思想，就要讓學(xué)生對(duì)圖形有一定的認(rèn)知和印象。例如，三角形是什么樣的？正方形是什么樣的？三角形的勾股定理在正方形的哪種情況下能夠運(yùn)用？這些知識(shí)的轉(zhuǎn)換需要讓學(xué)生清楚正方形的特性、三角形的特性、正方形和三角形的關(guān)系，即兩個(gè)三角形可以組成一個(gè)正方形，但這樣的三角形又得具備什么樣的條件呢？

例2已知，如圖7①，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線BE與CD垂直，交AC于點(diǎn)E.求證：∠ADE=∠CDB.

分析因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以可將它補(bǔ)成一個(gè)正方形ABCF，欲證∠ADE=∠CDB，由于兩角沒(méi)有直接聯(lián)系，考慮證這兩個(gè)角都等于某個(gè)角，從而使問(wèn)題得到解決.

證明如圖7②，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AB、BC的垂線，兩線相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BE交AF于點(diǎn)G，四邊形ABCF是正方形.

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.在△ABG和△BCD中，∠1=∠2，AB=BC，∠BAG=∠CBD，∴△ABG≌△BCD∴∠4=∠CDB，AG=BD=AD.在△AGE和△ADE中，AG=AD，∠6=∠5，AE=AE.

∴△AGE≌△ADE.∴∠4=∠ADE，∴∠ADE=∠CDB.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于等腰直角三角形及含有45°角的三角形來(lái)說(shuō)，根據(jù)解題的需要，經(jīng)?？梢詫⒃瓐D形補(bǔ)成正方形，以充分運(yùn)用正方形、直角三角形的性質(zhì)來(lái)解題.

例3定義：按螺旋式分別延長(zhǎng)n邊形的n條邊至一點(diǎn)，若順次連接這些點(diǎn)所得的圖形與原多邊形相似，則稱它為原圖形的螺旋相似圖形.

如圖8，分別延長(zhǎng)多邊形A1，A2，…，An的邊得A1′，A2′，…，An′，若多邊形A1′A2′，…，An′與多邊形A1，A2，…，An相似，則多邊形A1′，A2′，…，An′就是A1，A2，…，An的螺旋相似圖形.

如圖9，已知△ABC是等邊三角形，作出△ABC的一個(gè)螺旋相似圖形，簡(jiǎn)述作法，并給出證明.

如圖10，已知矩形ABCD，請(qǐng)?zhí)剿骶匦蜛BCD是否存在螺旋相似圖形，若存在，則求出此時(shí)AB與BC的比值;若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由.

如圖11，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，分別延長(zhǎng)CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形.若AA′=kAC，請(qǐng)直接寫(xiě)出BB′，CC′的長(zhǎng)（用含k的代數(shù)式表示）.

分析如圖9，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得BE=CF=AD，連接EF，DF，DE，△DEF是△ABC的一個(gè)螺旋相似圖形，證明△DEF是等邊三角形即可解決問(wèn)題.

如圖10，假設(shè)存在，矩形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似圖形，設(shè)AB=CD=a，BC=AD=b，BE=DG=x，CF=AH=y.分兩種情形，利用相似三角形的性質(zhì)以及相似矩形的性質(zhì)，構(gòu)建關(guān)系式證明a=b即可解決問(wèn)題.

如圖11，作B′T⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.設(shè)TB=TB′=m，證明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C=TC′，CC′=TB′=BT，構(gòu)建關(guān)系式證明m=k即可解決問(wèn)題.

像此類新定義題型，學(xué)生只有把握基本的圖形概念，了解圖形，才能讓圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換。同時(shí)，只有進(jìn)行類比運(yùn)用，才能培養(yǎng)學(xué)生的幾何變換思想，才能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)幾何圖形的理解和記憶.

（三）結(jié)合模具進(jìn)行有效教學(xué)

幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的空閑性，需要學(xué)生具有一定的抽象思維，而多數(shù)初中生沒(méi)有抽象思維的概念，抽象能力比較弱.

教師應(yīng)該在教學(xué)中考慮學(xué)生的實(shí)際情況，結(jié)合模具進(jìn)行教學(xué)，如在研究?jī)牲c(diǎn)距離最短時(shí)，教師可以將數(shù)學(xué)理論知識(shí)和模具相結(jié)合，先講一部分理論知識(shí)，再在模具上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，甚至可以讓學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)際驗(yàn)證，這樣一來(lái)，課堂不再是教師的獨(dú)角戲，而是讓學(xué)生參與課堂，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.

（四）聯(lián)系實(shí)際，運(yùn)用日常生活策略

數(shù)學(xué)本來(lái)就是從生活中來(lái)，回到生活中去.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該先結(jié)合實(shí)際生活情況，讓學(xué)生思考生活中的幾何問(wèn)題，想辦法解決問(wèn)題，再進(jìn)行指導(dǎo)教學(xué).例如，如圖12，正方形ABCD是旅游區(qū)域示意圖，△ABC部分表示湖面水域.游客在湖岸AB等候乘船，游船從點(diǎn)B出發(fā)送游客去湖對(duì)岸AC，下船游玩后返回湖對(duì)岸AB的上岸點(diǎn)M處，M為AB的中點(diǎn)，游船怎樣航行路程最短？如果湖岸AB長(zhǎng)為500米，那么游船行駛的最短距離是多少米？

分析作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D，連接DM.本題是生活中游船的最短航行路徑問(wèn)題，可變換為數(shù)學(xué)中通過(guò)軸對(duì)稱求線段和的最小值問(wèn)題.

這樣一來(lái)，架設(shè)起生活與數(shù)學(xué)的橋梁，把數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，讓學(xué)生體會(huì)到生活中時(shí)刻存在數(shù)學(xué)知識(shí)，既鍛煉了學(xué)生的幾何變換思維，又鍛煉了學(xué)生在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，這對(duì)學(xué)生未來(lái)的發(fā)展和生活有極大的好處.

三、夯實(shí)基礎(chǔ)，提升素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)幾何是為了給以后更高層次的幾何學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).初中數(shù)學(xué)幾何的教學(xué)不是一朝一夕就能完成的，只要我們勤揣摩，就能有效地培養(yǎng)學(xué)生的幾何變換思想，讓學(xué)生經(jīng)歷陳述性知識(shí)→程序性知識(shí)→自動(dòng)化知識(shí)的過(guò)程，從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)的抽象思維，讓學(xué)生得到更好的鍛煉和發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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