孫洪波 吳晗

【摘要】學(xué)生的培養(yǎng)要從根上抓起，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要組成部分，在學(xué)生分析、理解和吸收數(shù)學(xué)的基本原理、基本規(guī)律過程中有著舉足輕重的地位.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的核心內(nèi)容.數(shù)學(xué)概念特點(diǎn)鮮明，本文針對(duì)數(shù)學(xué)概念存在的問題，分析數(shù)學(xué)概念的特征，結(jié)合初中生的心理認(rèn)知特點(diǎn)，提出了不同概念類型的應(yīng)對(duì)策略，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)概念和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決問題.

【關(guān)鍵詞】初中;數(shù)學(xué);概念;策略

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，這種關(guān)系和形式脫離了事物的具體物質(zhì)屬性，而數(shù)學(xué)概念有與之相對(duì)應(yīng)的特點(diǎn).數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象本質(zhì)特征的一種反映形式，也是一種數(shù)學(xué)的思維形式.數(shù)學(xué)中通常用定理、法則、公式等表達(dá)一般思維形式的推理和判斷，而數(shù)學(xué)概念恰恰是定理、法則、公式等的基礎(chǔ)，所以，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和提升空間想象能力的前提條件.

一、當(dāng)前初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的教與學(xué)都存在一些問題

一、教師層面

一些教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的重要性認(rèn)識(shí)不足，沒有深入研究，對(duì)概念的講解不到位，因此，在實(shí)際授課過程中，教師無(wú)法向?qū)W生具體、全面地講授對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，甚至可能傳授一些錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)概念理解.這種問題的存在，對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的影響是非常負(fù)面的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效性就要大打折扣.特別是當(dāng)學(xué)生碰到綜合題目時(shí)，學(xué)生經(jīng)常因?yàn)閿?shù)學(xué)概念不清晰，讀不懂題，理解不全題意而不能將題目正確解答出來.如果教師不改變教學(xué)模式，不注重概念教學(xué)，一味地讓學(xué)生刷題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“全覆蓋”，就會(huì)不利于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，學(xué)生很難適應(yīng)未來激烈的競(jìng)爭(zhēng).

（二）學(xué)生層面

數(shù)學(xué)試卷考題一般不會(huì)直接考數(shù)學(xué)概念的定義，而是在試題中間接考查學(xué)生對(duì)基本概念的理解，如果學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)感到枯燥乏味、興趣不高，那么對(duì)概念的理解也不會(huì)深刻，從而影響其數(shù)學(xué)思維的開發(fā).一些學(xué)生在學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)概念死記硬背，忽視了概念的生成過程，填鴨式地被動(dòng)接受，不求甚解，這樣不但不知其然，更不知其所以然，沒有真正理解數(shù)學(xué)精髓，后期解題更難以靈活應(yīng)用，不能揭示相關(guān)概念的本質(zhì)屬性.

針對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在的問題，本文分析了數(shù)學(xué)概念的特征，有的放矢地進(jìn)行研究.有些數(shù)學(xué)概念既是某種對(duì)象的性質(zhì)，又是某種對(duì)象的判定，性質(zhì)特征讓我們認(rèn)識(shí)了概念的內(nèi)涵，而判定特征讓我們明白了概念的外延.有些數(shù)學(xué)概念具有指導(dǎo)性特征，它指出了某種數(shù)學(xué)操作過程，如“中位數(shù)”概念，它指明了尋找中位數(shù)的操作方法;有些數(shù)學(xué)概念交代了對(duì)象的形式特征，如“分式”“二次根式”，概念中帶有“形如”字樣的都屬于這一類;有些數(shù)學(xué)概念是具體的，指向清晰明了，而有些數(shù)學(xué)概念是抽象的，需要細(xì)致琢磨;有些數(shù)學(xué)概念是相對(duì)的、發(fā)展的，在不同階段學(xué)到的是不一樣的，但縱觀知識(shí)體系又是不斷遞進(jìn)的，如“函數(shù)”;有些數(shù)學(xué)概念具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性，并非獨(dú)立存在.如果學(xué)生對(duì)概念的定義、形成過程理解深刻，那么將有助于他們靈活地運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)概念解決生活中的數(shù)學(xué)問題.如果學(xué)生生搬硬套，忽視概念間的相互關(guān)系，未能將它們有機(jī)結(jié)合，概念間無(wú)法構(gòu)成系統(tǒng)，學(xué)生在解題時(shí)就不能有敏捷的思維，甚至?xí)霈F(xiàn)知識(shí)上的斷層，更談不上靈活解題.

二、不同概念類型的應(yīng)對(duì)策略

（一）簡(jiǎn)單概念與復(fù)雜概念

有些數(shù)學(xué)概念通俗易懂，無(wú)須過多解讀，學(xué)生就能接受、理解.例如，正數(shù)、負(fù)數(shù)、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)等，這樣的概念屬于簡(jiǎn)單概念.對(duì)于簡(jiǎn)單概念的教學(xué)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情景，通過與生活的實(shí)際感知，從自身的實(shí)際體驗(yàn)中抽象提取出相關(guān)的簡(jiǎn)單概念.例如，教師在教學(xué)四邊形時(shí)，對(duì)于平行四邊形的概念、矩形的概念、菱形的概念及正方形的概念，學(xué)生很容易從生活中得到圖形原型，自然對(duì)概念掌握起來更具形象化，容易理解，對(duì)后續(xù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)也大有幫助.

對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)該與學(xué)生一起搜尋相關(guān)的教學(xué)情景，提煉實(shí)例中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)特征，概括本質(zhì)屬性，得出概念.在剖析概念時(shí)，教師要對(duì)正例與反例做出恰當(dāng)?shù)慕M合.當(dāng)學(xué)習(xí)復(fù)雜概念時(shí)，具體的例子顯得尤為重要.學(xué)生不僅要從正例中獲得信息，而且要從反例中獲得信息.復(fù)雜概念的表達(dá)一般會(huì)由文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言共同描述，教師要在教學(xué)中善于抓住復(fù)雜概念語(yǔ)句中的核心關(guān)鍵詞，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)推敲，深入理解.以概念中的關(guān)鍵詞為抓手進(jìn)行教學(xué)，可以有效地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握.

下面以“函數(shù)”概念的學(xué)習(xí)為例，闡述復(fù)雜概念的教學(xué)策略.對(duì)于初中學(xué)生來說，函數(shù)是一個(gè)非常復(fù)雜的概念，教師在教學(xué)時(shí)要不斷地給出具體的生活實(shí)例，或者可以讓學(xué)生模仿教師找到一些實(shí)例，如某一天的氣溫變化圖、根據(jù)年齡與身高繪制的表格、速度不變時(shí)路程與時(shí)間之間的關(guān)系等.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個(gè)例子中都含有兩個(gè)變量，它們之間具有某種特定的關(guān)系，而這種關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系.學(xué)生會(huì)總結(jié)出“一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨之變化”，這時(shí)，教師可以告訴學(xué)生“y=1（x為任意實(shí)數(shù)）”也是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生修正對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)為“一個(gè)量確定下來，另一個(gè)量也隨之唯一確定下來”，從而得到函數(shù)的概念.在這之后，教師對(duì)概念進(jìn)行辨析，不但要有正例，而且要有反例，如圖1所示，當(dāng)x=0時(shí)，y有兩個(gè)值（-1，+1）與之對(duì)應(yīng)，函數(shù)值不唯一.通過正反例舉例，學(xué)生可以進(jìn)一步更好地理解函數(shù)概念.

圖1函數(shù)反例舉例

（二）具體概念與抽象概念

對(duì)于具體概念，特別是直觀概念，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，借助圖形、形象認(rèn)識(shí)、數(shù)形結(jié)合始終在數(shù)學(xué)概念的掌握中起著重要的作用.特別是對(duì)于初中生來講，他們的抽象概括能力還不高，對(duì)事物的認(rèn)知還停留在具體事物階段，所以借助圖形學(xué)習(xí)概念是非常必要的.例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，學(xué)生借助函數(shù)圖形會(huì)對(duì)概念的認(rèn)知達(dá)到一個(gè)更深的層次.下面以“一次函數(shù)”為例.

一般來說，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫作一次函數(shù).這是一個(gè)非常具體的概念，只要是照著這個(gè)形式給出的函數(shù)就是一次函數(shù)，但只是照搬形式，還是不能很好地理解究竟什么是一次函數(shù)，這時(shí)對(duì)一次函數(shù)圖像的研究就顯得尤為重要.通過列表、描點(diǎn)、連線，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖像是一條直線，直線的升降趨勢(shì)受k控制，直線與y軸交點(diǎn)的位置受b控制.當(dāng)k<0，b>0時(shí)，一次函數(shù)圖像如圖2所示.這樣由解析式結(jié)合圖像就能讓學(xué)生更深層次地理解一次函數(shù)的概念.

圖2一次函數(shù)舉例

對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)概念的處理，教師應(yīng)先了解學(xué)生的認(rèn)知水平，從實(shí)際生產(chǎn)、生活的經(jīng)驗(yàn)中尋求貼切的具體實(shí)例進(jìn)行引入，由熟悉到陌生，有助于化抽象概念為具體概念，特別是概念引出階段，順其自然，思維無(wú)突變，有利于學(xué)生對(duì)抽象概念的理解.以概率的定義為例，對(duì)于初中學(xué)生來說是抽象的、難以理解的，但是通過拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)游戲，教師讓學(xué)生明白了拋擲硬幣有兩種可能性，每種可能性的概率都是0.5.通過具體事例變抽象為具體，學(xué)生親身感知并了解了概念，加深了對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，這是解決這類概念教學(xué)的好方法.

（三）關(guān)聯(lián)概念與類比教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)其中涉及的相關(guān)概念進(jìn)行類比及有機(jī)聯(lián)系是非常必要的，既能起到復(fù)習(xí)的作用，又能全面深入地聯(lián)系各個(gè)相關(guān)概念，訓(xùn)練學(xué)生的整體思維能力.數(shù)學(xué)中的概念眾多，相互間有著密切的聯(lián)系，如分?jǐn)?shù)與分式、全等三角形與相似三角形、方程與不等式等，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，以確保學(xué)生能夠掌握概念的本質(zhì)，將新概念納入已有的知識(shí)體系中，鞏固思維導(dǎo)圖.

對(duì)于初中的數(shù)學(xué)概念，概念之間不僅存在一定的縱向聯(lián)系，還存在一定的橫向聯(lián)系，如何掌握好這些概念的相互聯(lián)系，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生自主地加以辨別概念間的差異，尋求概念之間的溝通及聯(lián)系，探究概念的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)或路線圖，最終對(duì)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)上的區(qū)別有一個(gè)深刻的理解.例如，教師可以安排學(xué)生通過圖表的方式畫出平行四邊形、正方形、矩形和菱形的聯(lián)系圖，這樣有助于學(xué)生更加深入、全面地掌握這些數(shù)學(xué)概念.有些概念之間有內(nèi)在聯(lián)系，教師要對(duì)它們做好比較，使學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)有較深刻的認(rèn)識(shí).一般情況下，在研究一元二次方程等概念時(shí)，學(xué)生要搞清楚它們之間的聯(lián)系，一旦遇到和它們有關(guān)聯(lián)的問題往往就可以迎刃而解;在研究“乘方”與“冪”“方程的解”與“不等式的解”時(shí)，學(xué)生要注意分析它們之間內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別.

對(duì)關(guān)聯(lián)概念進(jìn)行類比教學(xué)，既能夠培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致入微的觀察力，又能鞏固知識(shí)圖譜，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)概念的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別.同時(shí)，師生多進(jìn)行類似的探討，有助于學(xué)生觸類旁通，掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí).

（四）易混淆的概念與對(duì)比教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些概念特別容易混淆，以“平方根”和“算術(shù)平方根”為例.在學(xué)習(xí)“平方根”與“算術(shù)平方根”這兩個(gè)概念時(shí)，一個(gè)正數(shù)的平方根既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都是方程x2=a（a>0）的兩個(gè)根，這與學(xué)生的學(xué)習(xí)思維印記是非常不一樣的，此時(shí)，學(xué)生還要學(xué)習(xí)“算術(shù)平方根”的概念，很容易引起概念上的混淆，有時(shí)要取正、負(fù)兩個(gè)值，有時(shí)卻只能取一個(gè)正值.

對(duì)于容易混淆的概念，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，注重這兩個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系，并且能夠從概念的內(nèi)涵和外延去發(fā)現(xiàn)它們的相同之處和不同之處.教師指導(dǎo)學(xué)生畫概念關(guān)系圖是一種非常好的訓(xùn)練，通過對(duì)比，學(xué)生可以將兩個(gè)概念分辨清楚.以“平方根”和“算術(shù)平方根”為例，當(dāng)我們畫概念圖時(shí)，我們可知一個(gè)正數(shù)平方根的數(shù)量有兩個(gè)且互為相反數(shù)，其中正的平方根，被稱為“算術(shù)平方根”.

在初中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，教師能夠有針對(duì)性地選取不同的方法與策略進(jìn)行教學(xué)，從而達(dá)到事半功倍的效果.教師也能夠根據(jù)概念的特點(diǎn)和類型選取最恰當(dāng)有效的方法進(jìn)行教學(xué)，從而幫助學(xué)生自然地認(rèn)知概念、理解概念和運(yùn)用概念.

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