“畫”“話”“化”：提升學生數(shù)學學習能力的有效策略
——以《認識三角形》一課為例

江蘇張家港市樂余中心小學 黃振華

核心素養(yǎng)是學生終身發(fā)展必備的品格和關鍵能力，“能力為重”顯然是核心素養(yǎng)中的“核心要素”。素養(yǎng)是行為能力，培育學生的核心素養(yǎng)要通過能力發(fā)展的渠道。數(shù)學關鍵能力是小學生數(shù)學素養(yǎng)的基礎部分，數(shù)學知識是數(shù)學能力形成的載體，也是學生數(shù)學素養(yǎng)形成的載體。

筆者曾執(zhí)教過四年級下冊的《認識三角形》，在教學中，筆者重視從“畫”“話”“化”三個方面培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。

一、畫——在操作中感知

蘇教版數(shù)學四年級下冊專設了一個 “畫圖”策略的教學，其實學生對“畫圖”并不陌生，一年級的“比多比少”、二年級的“表內(nèi)除法”、三年級的“和倍問題”……隨著年齡的增長、經(jīng)驗的增加，用圖能表現(xiàn)的知識、解決的問題越來越多，學生的學習經(jīng)驗也越來越豐富。遇到數(shù)學問題，畫一畫，能明晰題意、厘清關系、凸顯特征、比較異同?！墩J識三角形》這一課，筆者設計了三次畫三角形的教學環(huán)節(jié)。

1.初畫——隨意畫

畫自己心目中的三角形，學生一定能畫對嗎？答案是“不一定”。學生大體有這樣幾種畫法：用三角尺描；畫三條相交的邊；先畫一個角，再連線；先畫三個點，再依次連起來。這個時候，學生作品的選擇十分講究。筆者找了幾幅作品，有正確的例子，有錯誤的例子。著重從圖1中的下面那個三角形展開討論，將學生的注意力集中到三角形的邊和角上來。學生發(fā)現(xiàn)邊不夠直，角是圓的，邊與邊沒有連到一起。在判斷圖1中第一個圖形是否是三角形時，他們看得非常仔細，一個小小的缺口都看出來了。圖2中擦去的那一段留下的痕跡，成了一個極好的教學資源，筆者適時追問：為什么要擦去這一段？讓學生深刻感受到 “圍成三角形的三條線段需要首尾相接”。

圖1

圖2

欣賞作品之后，提出問題“到底什么樣的圖形才是三角形呢？”將學生的關注點再次聚焦，接著筆者在黑板上畫三角形，首先明確三角形的邊是線段，故意畫了兩條，請學生上來畫第三條。實際上，這時第三條線段的端點所在的位置已經(jīng)固定了，必須要和原來兩條線段的端點重合，所以尺只有一種放法。為了凸顯“首尾相接”，筆者特意改變尺的位置，學生說不行，三角形的邊和邊必須要相交，而且是端點和端點重合。至此，三角形概念的形成就水到渠成了。

2.再畫——定點畫

第二次畫三角形是定點畫（如圖3），一是為了說明三角形的三個頂點不能在一條直線上，二是為了引出高的概念。這里設計了一次小組交流，任選3個為頂點，到底能畫出幾種三角形？小組交流后有不同的見解，在集體交流中可以聽到思維碰撞的聲音。

圖3

三點在同一條直線上圍不成三角形，學生已達成共識。問題：假如我就想讓B、C、D作為頂點能圍成三角形，可以怎么做？學生自然想到將C上移。觀察畫出的三個三角形，同桌討論：什么沒變，什么變了？目的是引導學生發(fā)現(xiàn)C點不斷變化，它到BD邊的距離也在不斷變化，從而引出“高”的概念。

3.三畫——同底等高畫

第三次畫三角形，是在最后的鞏固拓展階段，將書上習題進行了改編，提高了畫三角形的要求，規(guī)定在方格紙中畫一個底5厘米、高3厘米的三角形（如圖4）。學生嘗試，找到多種同底等高的畫法，然后引導學生發(fā)現(xiàn)：底不變，三角形的第3個頂點的位置在同一條直線上，而這條直線與底所在的直線是一組平行線。利用平行線間距離處處相等的原理，得到可以畫出不同形狀的同底等高三角形。其間，穿插了解直角三角形高的特點和畫法教學，以及鈍角三角形高的特點。通常學生只能想到兩三種畫法，課件的輔助教學打開了學生的思路，移動的高（平行線之間的垂直線段）使教學更為直觀、形象，學生更易理解。

圖4

二、話——在表達中完善

在學習本課之前，學生對三角形究竟有多少認識呢？大多數(shù)學生僅限于能從一些平面圖形中挑出三角形，少部分學生可能還會將三棱柱之類立體圖形也認作三角形。在四年級上冊，進一步認識了角之后，教材中安排了一些習題，測量三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，并算出內(nèi)角和。學生對三角形的內(nèi)角和是180度有了初步的感知，但并未得出這樣的結論。那么，如何讓學生在本課的教學過程中，完善之前對三角形的印象，歸納出三角形的定義和特征呢？師生、生生之間的交流和補充是有效的教學方式。

例如，在判斷學生第一次畫的圖形是否是三角形時，筆者出示了幾個畫對的三角形，又出示了錯例，接下來組織討論：

師：你們覺得這位同學畫的是三角形嗎？

生（齊）：是！

師（放大圖形）：確定嗎？

生1：我覺得不是，它的一條邊不直。

生2：它的兩條邊沒有相交。

生3：它的角是圓的，三角形的角應該是尖的。

師：那他畫的另一個是三角形嗎？

生：也不是，右下角也沒有連上。

師：那到底什么樣的圖形才是三角形呢？

生1：有3個角。

生2：有3條邊，而且邊是直的。

生3：邊和邊要相交。

一開始學生都認為這是三角形，在隨后的討論與交流中，個別學生的表達可能是片面的、不完整的，但是學生之間的互相補充使得他們的注意力自然而然地聚焦到了邊、角和頂點上來。此時，筆者順勢在黑板上畫出三角形的兩條邊，讓一個學生畫第三條邊，大家都明確了要將畫出的兩條線段的端點用第三條線段連起來，“首尾相接”雖然學生不能想到，但是要點都已經(jīng)完全掌握。

認識并學會畫高之后，筆者提出問題：如果要請你介紹三角形的高，你會怎樣說呢？學生的表達十分精彩：三角形的高說白了就是一條垂直線段；三角形的高一般用虛線表示，不能忘記標直角符號；畫三角形的高就和我們剛學的畫點到直線的垂直線段方法一樣；一個三角形有3條高，它們相交于一點；不同的底有不同的高。經(jīng)過上述教學環(huán)節(jié)，學生對高的認識在交流中越來越完整、越來越完善。

在數(shù)學課上，學生的表達欲得到了充分的尊重，學生的思維也在一步步完善、一步步提升。

三、化——在溯源中建構

如何正確畫出三角形的高是本課的難點，好在這一課屬于提前教學，是在剛剛學完畫點到直線的垂直線段的基礎上教學高的畫法，只要稍加點撥就能勾連學生的已有知識經(jīng)驗和新知的聯(lián)系。既然畫高與畫點到直線的垂直線段有直接聯(lián)系，那么何不就從點到直線的垂直線段說起？當學生明確在同一直線的B、C、D點無法圍成三角形時，筆者拋出問題：想個辦法，讓B、C、D能圍成三角形。果然，學生提出將C點移到高一點的位置。筆者順次改變了三次C點的位置，圍出了三個高度不同的三角形。此時討論：這三個三角形什么沒變，什么變了？學生說了很多，當學生說到B、D沒變，C點變了的時候，筆者進行了以下教學：

師：C點怎么變了？

生：C點越來越高了。

師：C點越來越高，說明C點離BD邊的距離越來越——

生：遠了。

師：以這個三角形為例，如果每個方格邊長1厘米，你能說出C點到BD邊的距離是幾厘米嗎？

生：5厘米。

在筆者的追問下，學生上臺找到了那條垂直線段，這條垂直線段的長度就是C點到BD邊的距離。這個教學過程激活了學生的已有經(jīng)驗，指出三角形的高和底的概念，順理成章，同時讓學生清晰地認識到三角形的高是一條垂直線段。

此時隱去方格紙再來找三角形的高，能找到的同學并不多，那是因為受到了另外兩條邊的干擾，當筆者利用課件隱去另外兩條邊后，學生明顯產(chǎn)生了共鳴：原來畫高的方法和畫點到直線的垂直線段的方法是一樣的，甚至有學生說出了前面老師講到的畫垂直線段的口訣：貼、靠、移、畫、標。這樣的處理，成功地將新知與舊學相勾連，化難為易，化未知為已知，學生對高的認識、畫高的技能都追溯到了源頭，本課的難點也就迎刃而解了。

筆者認為：畫、話、化，是培養(yǎng)學生學習數(shù)學關鍵能力的三大手段。

畫，即畫圖，不僅包括本課例中的按要求畫圖，還包括將題意用“圖”來表示，如用符號、示意圖、線段圖來表示題目中的數(shù)量關系。在這個變抽象為直觀的過程中，培養(yǎng)的不只是學生“畫”的能力，更多的是理解能力、觀察比較的能力，以及分析和思考的能力。

話，即對話，交流。課堂之上，師生、生生，甚至是生本之間，時刻存在著對話。智慧的教師會交出話語權，甘愿退居幕后，讓學生在對話中不斷修正、補充和完善對知識的理解。學生在課堂上有了“話語權”，他們才愿意說、敢于說、善于說。而對話的過程，正是思維不斷碰撞的過程。有效的對話，會讓學生的思維不斷深入，讓表達愈發(fā)完整，是培養(yǎng)學生思維能力和表達能力的重要手段。

化，即轉化，化難為易、化繁為簡、化抽象為直觀、化未知為已知，通過追本溯源將相關的數(shù)學知識“打造”成一條知識鏈，甚至構筑成知識網(wǎng)絡，這無疑是學好數(shù)學的優(yōu)質(zhì)方法。學習的過程是一個從簡單到復雜的過程，但復雜的問題實際上是若干個簡單問題的累加，所以學習的過程又可以看作是將復雜的問題轉化為簡單問題的過程。如本課例，利用課件，將畫三角形的高的過程與畫點到已知直線的垂直線段的過程實現(xiàn)了無縫對接，成功勾連了兩個知識點之間的關系，為以后進一步認識平行四邊形和梯形的高又打下了扎實的基礎。這樣的設計更是為了讓學生體會到“轉化”的意義，意在培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力。

國際學生評價項目 （PISA）2012年對數(shù)學素養(yǎng)是這樣定義的：數(shù)學素養(yǎng)是個體在各種情況下形成、使用、詮釋數(shù)學的能力。具體包括數(shù)學交流、數(shù)學表達、符號使用、數(shù)學思維和推理、數(shù)學論證、建立模型、提出和解決問題、使用輔助工具和技術八大能力。核心素養(yǎng)不是紙上功夫，而是“躬行”能力。在教學實踐中，讓學生在需要的時候“畫一畫”，在恰當?shù)臅r機 “話一話”，在遇到困難的時候 “化一化”，正是培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力，提升學生核心素養(yǎng)的有效教學手段。