徐麗雯， 張海豐， 劉明達(dá)， 韓海生， 李慕勤

(佳木斯大學(xué)a.理學(xué)院,b.附屬第二醫(yī)院,c.材料科學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力學(xué)中，哈密頓算符表象是很重要的基本表象之一，很多體系的哈密頓算符本征值問題的求解都是在哈密頓算符表象下進(jìn)行的，因而在大量的研究中被使用，例如：張鵬程等在哈密頓算符表象中對(duì)一維諧振子做了計(jì)算[1]；李重石給出了三維諧振子哈密頓算符表象下徑向矩陣元的簡要形式[2]；韓菊等在坐標(biāo)表象和哈密頓算符表象中對(duì)電場(chǎng)中帶電諧振子進(jìn)行了求解[3]；馬春生等在哈密頓算符表象中使用應(yīng)變補(bǔ)償對(duì)多量子阱價(jià)帶結(jié)構(gòu)哈密頓方程進(jìn)行了求解。此外，投影算子也在國內(nèi)外的量子體系研究中被大量的應(yīng)用[5-8]。

1 哈密頓算符表象

(1)

任意波函數(shù)向該本征函數(shù)系基矢投影后就得到了哈密頓算符表象下的波函數(shù)。任意波函數(shù)|ψ〉向該表象投影可得

(2a)

展開項(xiàng)系數(shù){Anlm}就是波函數(shù)|ψ〉在該表象下的表示形式。

易知(2a)式在坐標(biāo)表象中為

(2b)

相應(yīng)展開系數(shù)可以表示為

(2c)

2 哈密頓算符表象中的封閉關(guān)系

于是，對(duì)于任意的態(tài)函數(shù)|ψ〉可以由于正交歸一系的基矢表示為

(3)

其中，展開項(xiàng)系數(shù)表示為

cn=〈n|ψ〉

(4)

(5)

可見，應(yīng)該有下式成立

(6)

這體現(xiàn)了基矢{|n〉}的完備性的表現(xiàn)，即封閉關(guān)系，由于其等于1，所以它可以任意插入到公式的任何位置。

3 投影算子

(7)

(8)

3.1 去n態(tài)投影算子

根據(jù)上邊投影算子的定義，若令

(9)

令其作用在任意一個(gè)態(tài)矢|ψ〉上，則有

(10)

3.2 投影到|m〉態(tài)的投影算子

根據(jù)投影算子的定義，可以做如下定義

(11)

(12)

4 投影算子的性質(zhì)及應(yīng)用

4.1 投影算子和哈密頓算符的對(duì)易

取任意態(tài)矢|ψ〉，有

(13)

所以

(14)

4.2 投影算子的性質(zhì)

(15)

4.3 投影算子的跡

(16)

4.4 任意算符在哈密頓算符表象中的表示

(17)

而

(18)

5 結(jié) 論