自組織理論觀照下的數學家常課教學*
——以“二項式定理”起始教學為例

□劉權華

（南京市教育科學研究所，江蘇南京 210002）

自組織，最早是作為一個哲學概念由德國哲學家康德提出的.他認為，自組織的自然事物具有這樣一些特征：它的各部分既是由其他部分的作用而存在，又是為了其他部分和整體而存在，各部分交互作用，彼此產生，并由于它們間的因果聯結而產生整體，只有在這些條件下并且按照這些規(guī)定，一個產物才是有組織的并且是自組織的產物，才稱為一個自然目的.自組織理論認為，真正意義上的學習一定是自我學習，自主、合作、探究的學習方式是教學本源的回歸.真正有效、高效的教學，有時不在于教學設計多么精致、教師的分析多么精辟、教學的技藝多么精湛、學生的活動多么“精神”、反饋的結果多么精彩，而在于學生有沒有真正地思維參與，學習活動有沒有真正發(fā)生［1］；如果我們對教材的處理，對教學的設計，使學生對學習材料的意義沒有認識，不能實現個體意義賦予，那么，外人看來，再重要再有意義的內容，也與學習者無關，更無法喚起主動親近的感覺.學習材料有其固有意義，教者追求的應是學習材料的固有意義對每個學生有意義.根據自組織重要理論基礎的協(xié)同學理論，有人提出一種新的教學過程理論：教學過程是一個學生、教師、教材和環(huán)境相互協(xié)同的過程，是學生在教師引導下完成對教學內容掌握的同時，其認知系統(tǒng)從被組織向自組織轉變的過程[2]．所謂的被組織，教學過程的自組織，是指“在教師的引導下，學生的知識、技能和方法等參量之間進行相互協(xié)同和競爭，當學生的大腦進入從無序到有序的臨界值時，導致只有少數參量支配學生的認知系統(tǒng)，最終實現學生的認知從無序變?yōu)橛行?，達到‘教是為了不教的目的’”[3]．

作為教師，我們必須清醒地認識到，學生始終是學習的主體，領會、感悟知識意義，訓練、提高技能，發(fā)展、提升能力，始終是學生主動同外部環(huán)境相互作用的過程.因而教學設計應充分考慮學習者的自組織特性，為其自組織提供充分的外部條件（物資、能量和信息），以促進學生的發(fā)展.家常課，即常態(tài)課，是我們的地盤，如何在自己的地盤上有效行使權力，實現使學習者會“用數學的眼光觀察世界、用數學的觀點思維世界、用數學的語言表達世界”學科核心素養(yǎng)的教學追求，值得我們每一位教師認真思考并努力實踐.下面以家常課“二項式定理”的起始教學為例，闡述自組織理論觀照下、基于核心素養(yǎng)的教學設想及實踐.

一、內容分析

二項式定理是蘇教版數學教材選修2-3第1章第5節(jié)的內容，它是代數多項式的推廣，內容安排在“計數原理”之后，是“計數原理”的一個應用，能夠深化對組合數的認識，能利用二項式定理解決整除、近似計算、不等式證明等問題，在后繼的隨機變量及其概率分布、二項分布等內容的學習中起著承上啟下的作用.教材為確定(a+b)n(n∈N?)的展開式，從n=2，3的情形入手，由特殊到一般推導出二項式定理，然后就是三道例題：例1.利用二項式定理展開下列各項例2.在(1+2x)7的展開式中，求：（1）第4項的二項式系數；（2）含x3的項的系數.例3.求(x-)6的二項展開式中的常數項.

二、自組織理論觀照下數學家常課教學的做法

學生是在外部方式的引領、組織、合作下學習成長，具體到個體的改變卻是自內而外按自我的意愿進行的，是外在影響的個人塑造.教師要做的是通過教學材料和教學活動，實現學生的自適應、自設計、自改造、自批判、自教育、自創(chuàng)生、自完善.

（一）注重情境創(chuàng)設，引出課題

家常課，按部就班，最省事，最直接，最節(jié)省時間，但如果想讓學生感受到數學源于生活并用于生活，學會用數學的眼光觀察世界，注重情境創(chuàng)設是最好的辦法之一.本課若創(chuàng)設如下情境，效果就不大相同.

情境1：同學們，每天進步一點點，一年以后，你會進步很大，每天退步一點點，你會不知不覺有較大的退步，你能用數學的語言（符號、文字、圖形）來描述這個事實嗎？（足夠的時間后，給出(1+0.01)365、(1-0.01)365的比擬，此時學生可能會驚呆，驚喜，激動不已，但是，這僅是用意之一）如果我們不借助于計算工具，怎樣快速地比較它們的大小呢？

【設計意圖】激趣，感悟，讓學生感受到數學源于生活，用于我們的日常生活，用數學的眼光看世界，以此揭示學習二項式定理的必要性，引發(fā)學習的意向.

情境2：1664年，偉大的科學家牛頓，年僅22歲在劍橋大學就讀的他，在研讀英國數學家沃利斯的《無窮算術》中的(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3時，發(fā)現了(a+b)n展開式的規(guī)律（即二項式定理）．

【設計意圖】遵循“歷史發(fā)生原理”，將牛頓發(fā)現二項式定理的歷史融入教學，以此激發(fā)學生的學習興趣，啟迪思維，同時讓學生受到數學文化的熏陶，培育數學素養(yǎng)．

創(chuàng)設了以上情境后，學生學習的積極性會被調動起來，接著話鋒一轉：為了探討(a+b)n的展開式，你是否見過相同或類似的式子？引出(a+b)2、(a+b)3，然后再從特殊到一般的探求法，這樣或許自然得多，流暢得多！在家常課教學中，要抓住數學的本質，了解學生的認知規(guī)律，創(chuàng)設合適的情境，提出合適的問題，啟發(fā)學生思考，鼓勵學生數學的表達，在掌握數學知識技能的同時關注學生數學核心素養(yǎng)的培育.

（二）注重問題引導，搭建臺階

美國優(yōu)秀教師格蕾塔曾說過：如果一定要我說教學有什么訣竅的話，那就是問題.當教師能夠不斷向學生提問并得到回答的時候，就已經接近想要達到的目標了.教學不應奴性地跟隨學生認知發(fā)展的自然過程，而應向學生提供具有挑戰(zhàn)性問題，同時又處在合適的機會，促使學生的發(fā)展步步向前.教師需要轉變自己的教學理念，轉變傳統(tǒng)的教學方式，改革教學方法，由課堂的執(zhí)行者轉變成課堂的組織者、引導者和合作者.學生獲取數學核心素養(yǎng)依賴于經驗的積累，在新課改的背景下，我們要讓學生成為“跳起來摘桃子的人”，而不是“裝桃子的筐”.

為思維而教，幫助學生學會數學地思維.要搭建思維的臺階，讓學生能夠摘到桃子，其中通過設置具有思維含量的問題是一種比較好的方法.先設計七八個關鍵主問題，在關鍵問題處再根據學生的具體情況設計（追問）幾個小問題，讓學生能夠學會、學好不同的數學.如本節(jié)課的起始部分可設計如下的主問題.

問題1(a+b)2,(a+b)3是怎樣得到其展開式的？

【設計意圖】讓學生自主思考，給予學生較大思考空間，引導學生思考組合數是怎么來的，讓學生對特殊情況進行觀察和比較，利用歸納推理的辦法去發(fā)現一般規(guī)律，讓學生尋找解決問題的辦法，同時，提高學生的歸納推理能力.

問題2展開式中的項是如何確定的？

【設計意圖】讓學生明白多項式乘法法則是推導二項式定理的本源之一.

問題3你能根據以上兩個式子寫出(a+b)4的展開式嗎？

【設計意圖】在這個過程中，引導學生依據多項式乘法探求展開式每一項的構成及項數，強調運算規(guī)則的運用與算法過程的分析，直指“數學運算”“邏輯推理”等核心素養(yǎng)的培育.

問題4你能用組合數表示上述展開式中的系數嗎？

問題5二項式系數的實質是什么？系數呢？

【設計意圖】問題4、5雖然是“小”問題，卻是為學生解決關鍵問題搭建的臺階，起到了鋪墊的作用，為解決問題6、7架橋鋪路.

問題6根據多項式概念，你認為應從哪些角度觀察以上三個公式的共同特征？

【設計意圖】引導學生從項數、次數、項及系數等方面來探求其規(guī)律.

問題7你能根據以上兩個式子猜出(a+b)n的展開式嗎？

【設計意圖】至此一切水到渠成，下面讓學生體驗“觀察—歸納—猜想—論證”的數學學習模式，學生通過參與數學活動過程，讓學生感悟數學的基本思想，積累數學思維和實踐的基本經驗，進而促進學生形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng).

問題8二項式定理有哪些重要特征？

【設計意圖】培養(yǎng)學生用數學的語言描述定理，理解定理，把握定理的本質特征.

在自組織階段，學生是學習的主體.利用自組織轉換理論，讓學生再發(fā)現、再交流和再反思，通過教師的詰問補充，幫助學生完善思維過程，真正實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何以知其所以然”的跨越，讓學生真正成為課堂的主角，讓學習真正發(fā)生，使得課堂探究精彩紛呈，意猶未盡.

當然對一些難以理解的關鍵問題，也可以搭建一些“臺階”，比如在展開(a+b)3時，標記字母b，展開(a+b)3=(a+b1)(a+b2)(a+b3)=a3+a2b3+a2b2+ab2b3+b1a2+b1b3a+b1b2a+b1b2b3.

其中b1，b2，b3是同一個b.如此設計，就可以讓學生有一個從具體到抽象的思維漸進過程，從組合數的角度觀察各項系數的生成特點，再從特殊推廣到一般情況，得到(a+b)n的展開式，并總結展開式的基本特點.

巧妙搭建臺階，真誠關心學生，激勵學生信心，等待傾聽，讓學生在教師的耐心等待和真誠希望中增強學習的勇氣、信心和力量，讓課堂煥發(fā)出生命色彩和人性光輝.

（三）注重分析梳理，建構體系

梳理是幫助學生知識內化的過程.創(chuàng)設條件讓學生對所學知識進行“自組織”——識別、賦意；教師要做的是通過教學材料和教學活動實現學生的自適應、自改造、自批判、自教育、自創(chuàng)生和自完善.

1.對定理、公式的推導過程以及思想方法進行梳理

如本節(jié)課可以對二項式定理從展開式的結構——項數、指數、系數、二項式系數等方面進行梳理，通過提煉，實現知識的進一步精確化，建立對二項式定理的完整認識；對所用到的“從特殊到一般，從具體到抽象”等的思維方法進行梳理，并嘗試用數學符號或數學術語進行表征.

2.對關鍵思路和關鍵步子進行梳理

對關鍵環(huán)節(jié)的細致分析、解讀，能讓我們領略授課者的匠心獨運和教學智慧，讓我們久久回味和深深思考，這就是課堂的魅力和價值.如對問題5可以按照如下的推理線索進行梳理：各項的系數←確立項的方法種數←得到an-rbr的方法是什么←在n個因式（a+b）中選擇哪r個因式中選取b字母.如此索因，使學生掌握問題分析的方法.

3.對例題、習題解法的回顧與反思

解題完畢，并不意味著一次學習任務的完成，回顧與反思恰恰是教學過程中最重要、最概括化也是最容易忽視的環(huán)節(jié)，如按照波利亞的解題表，梳理一下“能否檢驗答案？”“能否用別的方法推理這個結果？”“能否把這個結果或方法用于其他問題？”，這樣的反復提問能夠使學生作不同方面的推廣，使知識系統(tǒng)化.

4.對本節(jié)課的學習過程進行呼應和梳理

在小結階段，回應課堂開始創(chuàng)設的情境，如本節(jié)課的最后讓學生估計(1+0.01)365、(1-0.01)365的數值（前者約為37.8，后者僅為0.03），此時學生一定會在驚訝的同時，為自己的學習成就自豪，頓悟“每天進步一點點”的數學和哲學意蘊，“無聲勝有聲”的教學效果頓顯.正如史寧中先生所言：學生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導下，學生通過自己的獨立思考或者與他人交流，最終是自己“悟”出來的[4]，由此實現他組織到自組織.通過梳理同時也讓學生厘清思路，形成思維體系，讓新學的知識納入原有的認知結構，實現同化或順應.要想真正取得好的效果，一定要用規(guī)范的數學語言進行表征，至于形式，可以是學生在黑板上板書，也可以是學生講、教師板書，數學的思維是受到約束的思維，所以板書一定要清晰而規(guī)范.

三、思考與結語

“情境創(chuàng)設、問題引導、分析梳理”的三個“注重”不應只是形式.家常課的教學，首先要實現教學理念的轉變.以生為本，培養(yǎng)學生的責任感，學習、生活的能力，科學精神，創(chuàng)新、創(chuàng)造的能力，已成為國際上追求的共同教育理念.當下我國新課程改革的教學理念主要有：（1）生活性——生活化教學，讓課程內容從生活中來到生活中去；（2）發(fā)展性——發(fā)展性教學，讓每一個學生都能得到適宜的充分發(fā)展；（3）整體性——整體化教學，強調的是關聯而不是孤立，建構而不是復制，是“化學反應”而不是“物理反應”；（4）自主性——自主化教學，強調的是要由教轉為學，由依賴走向獨立；（5）有意義——意義化教學，教學的終極目標是引導學生理解知識、能力對“我”的素養(yǎng)立意，從而不斷充盈自己的內心世界，提升自己生命的意義.這是在核心素養(yǎng)背景下數學家常課教學的五個主要理念，或者是家常課教學中倡導的五個主要策略.

觀念指導行動.在家常課的教學中踐行先進的教學理念，可以幫助我們反思以下問題.

我們的教學是否真正發(fā)生？關鍵是四看：一看學生的學習任務是否清晰具體，并且具有適切性和挑戰(zhàn)性；二看學生是否具有清晰的責任意識和目標意識；三看學生有沒有形成探究的思維活動和經歷；四看學生能否借助學習成果進行實際的比較和判斷，在變化的情境下產生遷移.

學生的學習是否真正發(fā)生？關鍵看是否實現四個“轉變”：（1）學習態(tài)度的轉變：學生由“要我學”轉變?yōu)樽杂X自主的學習；（2）學習角色的轉變：由個體的接受學習，轉變?yōu)閷W習共同體的共同學習；（3）學習目的的轉變：由學會知識與應付考試轉變?yōu)閷W會學習，學會運用與創(chuàng)新；（4）教與學方式的轉變：教師由單一的教學變?yōu)閹熒⑸餐膶W習探究.

核心素養(yǎng)是在特定的情境中表現出來的知識、能力和態(tài)度，要實現核心素養(yǎng)真正落地生根，必須重視情境的創(chuàng)設和問題的引導，并通過臺階搭建、分析梳理實現學生的知識體系建構.設計情境和提出問題，其目的是啟發(fā)學生思考，其基礎是教學內容的本質.只有通過合適的情境才利于學生感悟.情境和問題是多樣的、多層次的，一個情境是否合適并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問題是否能夠揭示數學的本質.這些都是我們在家常課教學中需要注意的問題.

在我們平時的家常課教學中，自覺運用自組織系統(tǒng)理論，改進我們教的方式，從僅強調運用外部力量改造學生以達成學習目標的他組織教學方式，通過對教學材料的組織，貼合和順應學生的思維，走向培養(yǎng)學生自主地求取知識、組織知識，實現教學目的的自組織成長方式，讓學生在自組織的經歷中自我地“設計、改造、批判、完善”，逐步提高自我組織能力，形成自我教育，實現學生的可持續(xù)發(fā)展.這是一種多么美好的前景！讓我們?yōu)閷W生的自組織而教，為學生的可持續(xù)成長而教！