汪開云

【摘要】本文主要比較拓?fù)淇臻g中的聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)以及外點(diǎn)，從孤立點(diǎn)的角度深入分析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.針對實(shí)際教學(xué)過程中學(xué)生容易出現(xiàn)的三個(gè)誤區(qū)，建議在一般拓?fù)鋵W(xué)的教學(xué)過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生厘清這五類特殊點(diǎn)的定義，還需要加強(qiáng)對孤立點(diǎn)的講解，從而加深學(xué)生對孤立點(diǎn)的理解.

【關(guān)鍵詞】拓?fù)淇臻g;聚點(diǎn);孤立點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)

【基金項(xiàng)目】陜西師范大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目（19GGKJG04）.

一、引 言

在一般拓?fù)鋵W(xué)的教學(xué)內(nèi)容里，聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)以及外點(diǎn)是拓?fù)淇臻g中五類特殊的點(diǎn).這五類點(diǎn)在數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)課程里也經(jīng)常會遇到.在作者的實(shí)際教學(xué)過程中，有不少同學(xué)在學(xué)習(xí)一般拓?fù)鋵W(xué)時(shí)，搞不清楚這五類點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而造成理解誤區(qū)，尤其是關(guān)于孤立點(diǎn)的理解.由于一般拓?fù)鋵W(xué)本科生的教材涉及孤立點(diǎn)的內(nèi)容較少，學(xué)生容易忽視這類點(diǎn)，因此，本文主要從孤立點(diǎn)的角度深入分析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

二、拓?fù)淇臻g中的聚點(diǎn)與孤立點(diǎn)

設(shè)X是集合，AX.我們用（X）記X的冪集，即（X）表示X的所有子集構(gòu)成的集族.用A′記A的補(bǔ)集.

定義1 設(shè)X是一個(gè)集合，τ（X）.若τ滿足：

（1），X∈τ，

（2）若A，B∈τ，則A∩B∈τ，

（3）若τ1τ，則∪A∈τ1A∈τ，

則稱τ是X的一個(gè)拓?fù)洌Q偶對（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.

定義2 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，稱τ中的元素為拓?fù)淇臻g（X，τ）中的開集;一個(gè)

開集的補(bǔ)集稱為拓?fù)淇臻g（X，τ）中的閉集.

例1 設(shè)X是一個(gè)集合，令τ=（X），則τ是X的一個(gè)拓?fù)?，稱為X的離散拓?fù)?，稱拓?fù)淇臻g（X，τ）為離散空間.

定義3 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X，UX.若存在一個(gè)開集V使得x∈VU，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.

定義4 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.若點(diǎn)x∈X的每一個(gè)鄰域U，有U∩（A-{x}）≠，則稱點(diǎn)x是A的一個(gè)聚點(diǎn).集合A的所有聚點(diǎn)之集稱為A的導(dǎo)集，記作d（A）.A與d（A）的并A∪d（A）稱為集合A的閉包，記作A-.若x∈A且x不是A的聚點(diǎn)，則稱x為A的一個(gè)孤立點(diǎn).集合A的所有孤立點(diǎn)之集記為i（A）.

注1 從定義4可以看出d（A）∩i（A）=且Ad（A）∪i（A），即A中的點(diǎn)要么是A的聚點(diǎn)，要么是A的孤立點(diǎn).

命題1 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX，則A-=A∪d（A）=d（A）∪i（A）.

下面我們用聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)之間的關(guān)系來證明一般拓?fù)鋵W(xué)中閉包的一個(gè)常用的等價(jià)刻畫.

命題2 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX，則x∈A-當(dāng)且僅當(dāng)對于x的任何一個(gè)鄰域U，U∩A≠.

證明 必要性：由x∈A-，則x∈d（A）或者x∈i（A），所以對于x的任何一個(gè)鄰域U，U∩A≠.

充分性：如果存在x的一個(gè)鄰域U，U∩A={x}，則U∩（A-{x}）=，所以x∈i（A）.若對于x的任何一個(gè)鄰域U，U∩A≠{x}，則U∩（A-{x}）≠，所以x∈d（A）.綜上兩種情形，則x∈d（A）∪i（A）=A-.

三、拓?fù)淇臻g中的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)以及外點(diǎn)

定義5 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.若A是點(diǎn)x∈X中的一個(gè)鄰域，則稱點(diǎn)x是A的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).集合A的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的內(nèi)部，記作AO.

誤區(qū)1 在實(shí)際教學(xué)過程中，不少同學(xué)有內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，不是孤立點(diǎn)的誤區(qū).下面的例子說明了在一般情形下，內(nèi)點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)，可能是孤立點(diǎn).

例2 設(shè)X是至少含有兩個(gè)元素的集合.考慮離散空間（X，（X）），則對任意的x∈X，x是x的內(nèi)點(diǎn)，但是xd（{x}），從而x∈i（{x}）.

注2 （1）從定義5和命題1可以得到AOAA-=d（A）∪i（A），即A的內(nèi)點(diǎn)要么是A的聚點(diǎn)，要么是A的孤立點(diǎn).

（2）從定義5和命題2容易驗(yàn)證AO=A′-′.

定義6 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.若點(diǎn)x∈X的每一個(gè)鄰域U，有U∩A≠且U∩A′≠，則稱點(diǎn)x是A的一個(gè)邊界點(diǎn).集合A的所有邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的邊界，記作（A）.

注3 從定義6和命題2可以得到AO∩（A）=且AO∪（A）=A-=d（A）∪i（A），即A的邊界點(diǎn)要么是A的聚點(diǎn)，要么是A的孤立點(diǎn).

誤區(qū)2 在實(shí)際教學(xué)過程中，不少同學(xué)也有邊界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，不是孤立點(diǎn)的誤區(qū).下面的例子說明了邊界點(diǎn)可能是孤立點(diǎn).

例3 設(shè)是實(shí)直線，令A(yù)=（-∞，-2）∪{0}，則0∈（A）.但是存在含0的開鄰域（-1，1），使得（-1，1）∩（A-{0}）=，從而0∈i（A）.進(jìn)一步，我們可以計(jì)算出d（A）=（-∞，-2]，i（A）={0}，AO=（-∞，-2）以及（A）={-2，0}.

定義7 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.若點(diǎn)x∈X是A′的內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)x是A的一個(gè)外點(diǎn).集合A的所有外點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的外部，記作e（A）.

命題3 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX，則e（A）∩A-=.

證明 假設(shè)e（A）∩A-≠，則存在x∈e（A）∩A-，所以x是A′的內(nèi)點(diǎn)，即A′是x的鄰域.由命題2，則A′∩A≠，矛盾，所以e（A）∩A-=.

定理 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX，則

X=e（A）∪A-=e（A）∪d（A）∪i（A）=e（A）∪AO∪（A）.

證明 我們只需證明X=e（A）∪A-即可.顯然e（A）∪A-X.由命題3知e（A）∩A-=.對任意的x∈X，若xA-，則存在x的一個(gè)鄰域U，使得U∩A=.于是UA′，從而A′是x的鄰域，即x∈e（A），所以X=e（A）∪A-.

注4 上面的定理說明拓?fù)淇臻g（X，τ）中所有的點(diǎn)，對A來說可分為聚點(diǎn)，孤立點(diǎn)以及外點(diǎn)三種，還可分為內(nèi)點(diǎn)，邊界點(diǎn)以及外點(diǎn)三種.故可表示如下：

X中的點(diǎn)（對A來說）聚點(diǎn)，孤立點(diǎn)，外點(diǎn)，或內(nèi)點(diǎn)，邊界點(diǎn)，外點(diǎn).

事實(shí)上，在一般拓?fù)鋵W(xué)中，一個(gè)有趣的結(jié)果就是十四集定理，即對于任何拓?fù)淇臻g中的任意一個(gè)子集，經(jīng)過取補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部三種運(yùn)算至多只能產(chǎn)生14個(gè)不同的集合，而上面的集合A在實(shí)直線中經(jīng)過取補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部三種運(yùn)算恰能產(chǎn)生14個(gè)不同的集合.由于AO=A′-′，所以對集合A，我們僅考慮取補(bǔ)集與閉包產(chǎn)生的14個(gè)不同的集合，它們分別如下：

四、子空間

定義8 設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，YX.Y的拓?fù)洇觸Y={U∩Y|U∈τ}稱為相對于拓?fù)洇佣缘南鄬ν負(fù)?拓?fù)淇臻g（Y，τ|Y）稱為拓?fù)淇臻g（X，τ）的一個(gè)子空間.

為方便起見，從現(xiàn)在開始，我們設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，τ）的一個(gè)子空間，AY.另外，在表示A在不同拓?fù)淇臻g的孤立點(diǎn)之集（閉包、導(dǎo)集、內(nèi)部、邊界）時(shí)，我們會在相應(yīng)符號的下角標(biāo)處標(biāo)上拓?fù)淇臻g加以區(qū)別，例如，我們用iX（A），iY（A）分別表示A在X與Y中的孤立點(diǎn)之集.

注5 易見，iY（A）=iX（A），進(jìn)而我們有dY（A）=dX（A）∩Y與A-Y=A-X∩Y.

誤區(qū)3 在實(shí)際教學(xué)過程中，一些同學(xué)有AOY=AOX的誤區(qū).下面的例子說明了在一般情形下，AOY≠AOX.

五、結(jié) 語

從學(xué)生容易出現(xiàn)的三個(gè)誤區(qū)可以看出，厘清拓?fù)淇臻g中這五類特殊點(diǎn)的定義至關(guān)重要，尤其孤立點(diǎn)是容易造成理解誤區(qū)的關(guān)鍵.實(shí)際上，在一些數(shù)學(xué)研究方向中，如分析、數(shù)理邏輯、集論拓?fù)湟约癛amsey理論等，孤立點(diǎn)都扮演著至關(guān)重要的角色.例如，Cantor集是實(shí)直線R的完備集，即沒有孤立點(diǎn)的閉集.在Ramsey理論中，對于實(shí)直線R的完備集，Blass證明的劃分定理，解決了Galvin提出的著名猜想.因此，建議教師在一般拓?fù)鋵W(xué)的教學(xué)過程中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生厘清這五類特殊點(diǎn)的定義，還需要加強(qiáng)對孤立點(diǎn)的講解，從而加深學(xué)生對孤立點(diǎn)的理解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]程其襄，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]程吉樹，陳水利.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2008.