姚廷富, 李順利

(貴陽學院數(shù)學與信息科學學院, 貴陽 550005)

Cahn-Hilliard方程在流體力學中具有重要應(yīng)用，并被許多學者廣泛研究. 如：應(yīng)用Cahn-Hilliard理論建立非局部反應(yīng)擴散模型并采用其漸進展開式與多時間尺度去分析該模型[1]；應(yīng)用Cahn-Hilliard方程表示拓撲相變，并分析如何模擬3個不能混合的流在陡峭界面的運動[2]；應(yīng)用Cahn-Hilliard方程描述不可壓縮的流體擴散界面以及相位場[3-4]；分析Allen-Cahn方程ut=Δu+ε-2(f(u)-ε(t))在含無流邊界條件的有界閉域上的質(zhì)量守恒性，其中，ε(t)是f(u(·,t))的平均值，-f是雙等位勢函數(shù)的導(dǎo)子[5]；討論容器帶有密度的相位場用平均曲率流近似[6]；給出容器V的自由能量表達式：

其中，V表示非均勻結(jié)構(gòu)或非均勻密度的各向同性的空間幾何體，NV表示每單位體積的分子數(shù)，c表示結(jié)構(gòu)梯度或密度梯度，F(xiàn)0表示對應(yīng)均勻系(齊次系統(tǒng))的每分子的自由能，k是一個參數(shù)[7]；基于二階平均向量場方法和擬譜方法，構(gòu)造了具有多辛結(jié)構(gòu)的復(fù)修正KdV方程新的數(shù)值格式,證明了該格式能保方程離散的整體能量守恒特性[8]；采用能量不變二次化法來解決一些微分方程的數(shù)值近似[9-11].

YANG等[12]利用能量不變二次化方法，設(shè)計了一階和二階的時間離散格式,以求解三組分Cahn-Hilliard方程，但沒有考慮時間方向的誤差估計. 因此，本文基于能量不變二次化方法，對一類非三組分的具有能量泛函

的Cahn-Hilliard方程φt=-Δ2φ+ΔF′(φ)構(gòu)造線性數(shù)值格式，并討論該數(shù)值格式在時間方向的誤差估計.

為了便于構(gòu)造線性數(shù)值格式，將Cahn-Hilliard方程φt=-Δ2φ+ΔF′(φ)變形為方程組

(1)

其中，F(xiàn)′(φ)=f(φ)=φ3-φ，F(xiàn)(φ)是非線性的光滑的位勢函數(shù),Ω是R2的閉集；φ(x,t) (xΩ,t(0,T])是混合物中某種物質(zhì)的濃度，ω是化學勢.

1 能量不變二次化法

于是，方程組(1)可以寫成：

(2)

滿足初始條件：

并滿足以下其中一個邊界條件：

(i)在邊界?Ω上，φ和ω都是周期性的；

(ii)無流邊界，即

?nφ|?Ω=?nω|?Ω=0,

(3)

其中，n為邊界上的向外法向量.

方程組(2)的3個方程分別與ω、φt、2q作L2內(nèi)積，整理得

2 梯度流的穩(wěn)定性

針對方程組(2)，構(gòu)造如下時間離散格式：

(4)

該格式有如下的能量穩(wěn)定性，且該格式的解是惟一的.

定理1(能量穩(wěn)定性)方程組(4)的解是具有能量穩(wěn)定的，即

其中，

E(φn,qn)=

證明把方程組(4)的第1個方程與2δt(ωn+2+ωn)作L2內(nèi)積，并使用分部積分法，整理得

(φn+2-φn,ωn+1+ωn)=-δt‖ωn+2+ωn‖2.

(5)

方程組(4)的第2個方程與2(φn+2-φn)作L2內(nèi)積，整理得

(ωn+2+ωn,φn+2-φn)=‖φn+2‖2-‖φn‖2+(gn+1(qn+2+qn),φn+2-φn).

(6)

方程組(4)的第3個方程與4δt(qn+2+qn)作L2內(nèi)積，整理得

2‖qn+2‖2-2‖qn‖2=(gn+1(φn+2-φn)，qn+2+qn).

(7)

結(jié)合式(5)～(7)，有

‖φn+2‖2-‖φn‖2+2‖qn+2‖2-2‖qn‖2=

-δt‖ωn+2+ωn‖2,

從而可以導(dǎo)出結(jié)果. 證畢.

定理2(解的唯一性)方程組(4)的解是唯一的.

證明由方程組(4)的第3個方程可得

(8)

則方程組(4)可寫成

(9)

于是，由方程組(9)直接推導(dǎo)得(φn+2,ωn+2). 從而由式(8)推導(dǎo)得qn+2. 進一步地，當任意的φ滿足邊界條件(i)或條件(ii)時，有

(P(φ),φ)=(φ,φ)

則線性算子P(φ)是正定的.

通過方程組(4)的第1個方程與1作L2內(nèi)積，可推導(dǎo)出

n+2=φn+2-vφ,n+2=ωn+2-vω.

(10)

記逆算子u=Δ-1ρ如下:

其中,u滿足邊界條件(i)或條件(ii). 將-Δ-1作用到方程組(10)的第1個方程，整理得到

-Δ-1φ+δtP(φ)-δtvω=-Δ-1f1+δtf2.

(11)

(Γφ，φ)=(-Δ-1φ+δtP(φ)-δtvω，φ)=(φ，-Δ-1φ+δtP(φ)-δtvω)=(φ，Γφ).

而

(Γφ，φ)=(-Δ-1φ+δtP(φ)-δtvω，φ)=

則Γ是對稱的，也是正定的，從而由Lax-Milgram定理[13]可知方程組(9)存在唯一解. 證畢.

3 誤差估計

應(yīng)用泰勒展式，有

引理1設(shè)函數(shù)F(x)及φ滿足以下條件：

(a)F(x)>-A,A

(b)F(x)C2(-,+);

(c)存在一個正的常數(shù)C0，使得

則有

(12)

其中，χn+1=εφ(tn+1)+(1-ε)φn+1,ε[0,1]. 進而有‖g(φ(tn+1))-gn+1‖≤C2‖φ(tn+1)-φn+1‖,

其中，C2是依賴于C0、C1、A、B的常數(shù).

證明由條件(c)可知χn+1是一致有界的，再結(jié)合條件(b)，可以得到式(12). 應(yīng)用拉格朗日中值定理，有

C2‖φ(tn+1)-φn+1‖.

引理2設(shè)函數(shù)F(x)及φ滿足以下條件：

(a)F(x)>-A,A

(b)F(x)C3(-,+);

(c)存在一個正的常數(shù)C3，使得

則有

其中，χn+1=εφ(tn+1)+(1-ε)φn+1,ε[0,1]. 進而有

‖g(φ(tn+1))-gn+1‖≤C5‖φ(tn+1)-φn+1‖,

這里的C5是依賴于C3、C4、A、B的常數(shù).

引理2的證明過程與引理1 的類似，在此略.

證明使用數(shù)學歸納法證明. 當n=0時，易證得

‖u2‖≤‖u2+u0‖+‖u0‖.

假設(shè)n=k-1時，有

則n=k時，有

‖uk+2‖-‖u0‖=‖uk+2‖-‖uk+1‖+‖uk+1‖-‖u0‖≤

則引理3得證.

為了更好地證明方程組(2)的數(shù)值近似的誤差估計，定義v為:

引理4設(shè)F(x)>-A,A

‖φn‖L≤v(n=0,1,2,…;K=T/(δt)).

證明使用數(shù)學歸納法證明. 當n=0時，易知‖φ0‖L≤v. 現(xiàn)假設(shè)‖φk+1‖L≤v成立，下面將要證明‖φk+2‖L≤v. 先不考慮方程組(4)，而把方程組(2)在tn+1處重新表述，將方程組(2)的3個方程分別與φ、θ、ψ作L2內(nèi)積，整理得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

組合式(16)～(20)，并整理得

(21)

注意到

q(φ(tn+1))(g(φ(tn+1))-gn+1)+

q(φ(tn+1))(g(φ(tn+1))-gn+1)+

與

應(yīng)用Gronwall和Young不等式，式(21)等號的右端可以放縮如下:

(22)

(23)

(24)

(25)

應(yīng)用引理1,式(21)的右端非線性項估計如下:

(26)

(27)

將式(22)～(27)代入式(21)，整理得

(28)

在式(28)中，令n=0,1,2…,k，并求和，整理得

容易證得

(29)

由方程組(2)、(4)知

由引理3可知

進而有

定理3設(shè)F(x)>-A,A

‖φ(tk+2)-φk+2‖1+‖q(φ(tk+2))-q(φk+2)‖+

證明因為‖φn‖L≤v,?0≤n≤T/δt,采用相同的方法，可以證得式(29),從而定理3得證.

4 數(shù)值例子

下面采用數(shù)值例子驗證理論分析的準確性. 實驗中，為了測試Cahn-Hilliard 方程數(shù)值解的時間精度，選取如下初始值：

由基于能量不變二次化法的Cahn-Hilliard 方程的數(shù)值解在L2范數(shù)下的誤差和時間精度(表1)可知：Cahn-Hilliard 方程數(shù)值解在時間方向上基本達到二階精度，從而驗證了定理3的準確性.

表1 能量不變二次化法的Cahn-Hilliard 方程的數(shù)值結(jié)果

為了清楚看到相位變化過程，取T=1,計算區(qū)域為Ω=[0,1]×[0,1],初始條件為φ(x,t=0)=10-3rand(-1,1). 由基于能量不變二次化法的Cahn-Hilliard 方程的數(shù)值解在t=1與t=2時刻的相位圖(圖1)可知：所構(gòu)造的數(shù)值格式能夠有效地模擬Cahn-Hilliard方程的相位變化過程.

圖1 數(shù)值解在t=1與t=2時刻的相位圖

5 結(jié)束語

基于能量不變二次化法，本文對Cahn-Hilliard 方程構(gòu)造有效的時間離散數(shù)值格式. 對該數(shù)值格式的時間誤差進行的分析結(jié)果表明：該數(shù)值格式在時間方向上是二階精度的. 數(shù)值例子也驗證了該分析結(jié)果的準確性. 本文所構(gòu)造的時間離散數(shù)值格式能夠使得非線性項離散化且在時間水平上保持能量穩(wěn)定，能夠解決Cahn-Hilliard 方程數(shù)值近似中遇到的主要難題，為進一步考慮Cahn-Hilliard 方程在時間和空間方向上同時離散數(shù)值逼近奠定一定的基礎(chǔ).