旋轉曲面關于積分第一中值定理中ξ 的變化趨勢

方紹威,喻曉

(上饒師范學院 數(shù)學與計算機科學院,江西 上饒334001)

1 引言及主要結論

眾所周知,積分中值定理在分析數(shù)學中扮演著重要角色,具體敘述如下：

定理A[1](積分第一中值定理)：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點ξ,使下式成立：

定理B[1](推廣的積分第一中值定理)：如果函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積,且g(x)在[a,b]上不變號,f(x)連續(xù),則在積分區(qū)間上至少存在一個點ξ,使下式成立：關于中值定理漸近性的研究,在一元函數(shù)的情況下,文獻[2]已經對其做了充分的討論,其主要結論如下：

定理C[2]設η 是區(qū)間[a,b]中某點,存在實數(shù)a ＞0,β ≥0,A,B≠0,I,如果：

本文主要研究對象為xoz平面上的函數(shù)z(x)－f(x)g(x)繞z軸旋轉一周后形成旋轉曲面z(x,y)＝

設上述旋轉曲面在定義域x2＋y2≤r2上的積分為V1,接下來對V1作近似估計。

對上式化簡并使用定理B有：

本文即是對(3)式中ξ點漸近規(guī)律的一個探討?，F(xiàn)主要結論如下：

定理1設函數(shù)f(x)、g(x)滿足：

2 本文主要引理

引理1[3]曲線為平面光滑曲線,繞直線l：Ax＋By＋C＝0一周所成旋轉體的體積的積分公式為：

3 定理1的證明

設xoz平面上的函數(shù)z(x)＝f(x)g(x)繞z軸旋轉一周后的旋轉體體積為V2,根據(jù)引理1得：

由于(3)式的V1計算的是旋轉曲面對xoy平面所求積分的體積,以及(4)式的V2所計算的是旋轉曲面上方旋轉體的體積,于是有：V1＋V2＝πr2f(η)g(η)。

易得：

下面開始計算H1(r)：

使用洛必達法則可化簡為：