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      一種求解非線性互補(bǔ)問題的三項(xiàng)共軛梯度算法

      2021-01-04 08:05:24胡雅伶曾玉華
      高師理科學(xué)刊 2020年11期
      關(guān)鍵詞:線性方程組共軛收斂性

      胡雅伶,曾玉華

      一種求解非線性互補(bǔ)問題的三項(xiàng)共軛梯度算法

      胡雅伶1,曾玉華2

      (1. 福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 福州 350108;2. 湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙 410205)

      采用Modulus-based變換將非線性互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非光滑方程組,提出一種三項(xiàng)非線性共軛梯度法,結(jié)合某種不用函數(shù)值的線搜索技術(shù)求解所得的非光滑方程組,從而得到原問題的解.在適當(dāng)條件下,證明了算法的全局收斂性,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的算法是有效的.

      非線性互補(bǔ)問題;Modulus-based變換;非線性共軛梯度算法

      1 引言及預(yù)備知識(shí)

      常見的用于求解非線性互補(bǔ)問題(1)的方法是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性方程組,通過求解所得的非線性方程組來得到原問題的解.本文考慮采用Modulus-based變換,將非線性互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非光滑方程組,然后提出一種三項(xiàng)非線性共軛梯度算法求解所得的非光滑方程組,從而得到原問題的解.

      得到非光滑方程組

      為了求解非光滑方程組(3),本文提出了一種三項(xiàng)非線性共軛梯度法,并在一定條件下證明了算法的全局收斂性,數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明了本文所提出算法是有效可行的.

      式(5)中相關(guān)符號(hào)含義見文獻(xiàn)[2-3].

      將線搜索(5)與文獻(xiàn)[1]提出的三項(xiàng)共軛梯度算法相結(jié)合,本文提出了一種求解非光滑非線性方程組(3)的三項(xiàng)非線性共軛梯度算法.

      2 算法描述

      其中:

      本文所給出的三項(xiàng)非線性共軛梯度算法(Nonlinear three-term conjugate gradient method,NTTCGM)的基本步驟為:

      3 收斂性分析

      (3)函數(shù)值具有充分下降性,即

      (3)證明函數(shù)值具有充分下降性.由引理1可知

      證明由引理2可知

      利用柯西不等式,可得

      將式(22)與式(12)相結(jié)合,得到

      4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

      表1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

      由表1可以看出,對于非線性互補(bǔ)問題1~5,本文所給出的三項(xiàng)非線性共軛梯度算法是有效可行的.

      5 結(jié)語

      本文對一類非線性互補(bǔ)問題提出了一種Modulus-based變換法,這種方法將互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非光滑非線性方程組,并提出了一種三項(xiàng)非線性共軛梯度算法,結(jié)合不用函數(shù)值的線搜索技術(shù)求解所得的方程組,從而得到原問題的解.證明了所提出算法的全局收斂性,對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文所給算法的有效性.

      [1] Rahpeymaii F,Amini K,Allahviranloo T,et al.A new class of conjugate gradient methods for unconstrained smooth optimization and absolute value equations[J].Calcolo,2019,56(1):1-28

      [2] Dong Y D.New step lengths in conjugate gradient methods[J].Computers and Mathematics with Applications,2010,60(3):563-571

      [3] Dong Y D.A practical PR+ conjugate gradient method only using gradient[J].Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(4):2041-2052

      [4] Xu Y,He B S,Yuan X M.A hybrid inexact logarithmic-quadratic proximal method for nonlinear complementarity problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,322(1):276-287

      [5] Zhou W J,Li D H.A globally convergent BFGS method for nonlinear monotone equations without any merit functions[J].Mathe-matics of Computation,2008,77(264):2231-2240

      [6] Cruz W L.A spectral algorithm for large-scale systems of nonlinear monotone equations[J].Numerical Algorithms,2017,76(4):1109-1130

      [7] Ou Y G,Li J Y.A new derivative-free SCG-type projection method for nonlinear monotone equations with convex constraints[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2016,56(1):1-22

      [8] Zhang L,Zhou W J.Spectral gradient projection method for solving nonlinear monotone equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,196(2):478-484

      [9] Cruz W L,Raydan M.Nonmonotone Spectral Methods for Large-Scale Nonlinear Systems[J].Optimization Methods and Software, 2003,18(5):583-599

      A three-term nonlinear conjugate gradient method for nonlinear complementarity problem

      HU Yaling1,ZENG Yuhua2

      (1. School of Mathematics and Computer Science,F(xiàn)uzhou University,F(xiàn)uzhou 350108,China;2. School of Mathematics and Computational Science,Hunan First Normal University,Changsha 410205,China)

      The Modulus-based manipulation is used to transform the nonlinear complementarity problem into non-smooth equations,a three-term nonlinear conjugate gradient method is proposed. Through the three-term nonlinear conjugate gradient method,the solution of the original problem is obtained by solving the non-smooth equations by using a line search technique without function values. Under suitable conditions,the global convergence of the algorithm is proved.The numerical results show that the proposed algorithm is effective.

      nonlinear complementarity problem;Modulus-based manipulation;nonlinear conjugate method

      O224

      A

      10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.001

      1007-9831(2020)11-0001-06

      2020-01-10

      國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(11571074,11671125);湖南省教育廳科研重點(diǎn)項(xiàng)目(20A097)

      胡雅伶(1994-),女,重慶人,在讀碩士研究生,從事非線性規(guī)劃研究.E-mail:863825011@qq.com

      曾玉華(1973-),男,湖南永州人,副教授,博士,從事優(yōu)化理論與方法研究.E-mail:dysfzyh@126.com

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