李冬冬， 張成俊,2， 左小艷,2， 張 弛,2， 李紅軍， 周向陽

(1. 武漢紡織大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院， 湖北 武漢 430073；2. 武漢紡織大學(xué) 湖北省數(shù)字化紡織裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430073)

織針驅(qū)動是橫機(jī)中重要的組成部分，在傳統(tǒng)凸輪式織針驅(qū)動方法上，提出陣列式混合磁懸浮織針電磁驅(qū)動方法[1]，消除機(jī)械傳動所致的震動、發(fā)熱和噪聲等問題。目前，混合磁懸浮驅(qū)動方法已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，如直線電動機(jī)[2]、懸浮列車[3]、懸浮軸承[4]、同步電動機(jī)[5]、懸浮球[6]、織針懸浮驅(qū)動[7]等，隨著該驅(qū)動方法應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，混合磁懸浮驅(qū)動磁場相關(guān)計(jì)算也越來越被學(xué)者所重視。

Muzhitskii等[8]基于等效磁網(wǎng)絡(luò)法，推導(dǎo)出磁極尺寸、磁芯長度和極間距離的數(shù)學(xué)公式，確定了用于無損磁測試磁化的多邊形磁體的最佳尺寸； Huang等[9]運(yùn)用等效荷電法，提出了一種新型的電磁章動齒輪傳動方法，設(shè)計(jì)了新型結(jié)構(gòu)來獲得傳動裝置的嚙合特性；王海峰等[10]利用直接耦數(shù)值計(jì)算法，分析了永磁操動機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性，表明瞬態(tài)電磁場可滿足工程設(shè)計(jì)要求；Salons等[11]運(yùn)用有限元和邊界元法，分析了在求解電磁場時軸對稱幾何模型的邊界條件，闡述了電磁計(jì)算時二者相結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)。雖然,國內(nèi)外學(xué)者對混合磁懸浮理論進(jìn)行了大量的研究，也取得了豐碩的成果，但在橫機(jī)織針電磁耦合驅(qū)動的復(fù)雜工況下，永磁場空間分布規(guī)律的研究還處于起步階段。

本文通過3個方面對橫機(jī)混合磁懸浮永磁織針空間磁場分布進(jìn)行研究。首先，建立永磁織針等效磁路模型，推導(dǎo)空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式；其次，利用數(shù)學(xué)分析軟件對解析式進(jìn)行數(shù)值求解，并通過磁場有限元軟件對2種不同形狀的永磁織針進(jìn)行靜磁場仿真；最后，搭建實(shí)驗(yàn)平臺，對其空間磁場進(jìn)行測量，通過對比分析數(shù)值結(jié)果和測量數(shù)值，獲得永磁織針在空間的磁場分布規(guī)律。

1 混合磁懸浮織針驅(qū)動結(jié)構(gòu)

混合磁懸浮是由永磁體與電磁鐵共同作用，對被懸浮物體施加懸浮力?；旌洗艖腋】椺橋?qū)動由兩部分構(gòu)成：上部分是永磁織針(永磁體與織針為一體式結(jié)構(gòu))，下部分是通電線圈。通過給線圈通入給定的電流，線圈產(chǎn)生空間磁場，磁極性與永磁織針的極性相反。根據(jù)同性相斥原理，永磁織針被磁懸浮在磁場中。在單一式混合磁懸浮的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了陣列式懸浮結(jié)構(gòu)，如圖1所示。通過改變混合懸浮結(jié)構(gòu)中電磁永磁正對面積及磁積面積，從而改變永磁織針的Z向位移，實(shí)現(xiàn)編制三位功[1](集圈、浮線、成圈)。

圖1 織針磁驅(qū)動結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of magnetic driving structure for knitting needles

2 永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型

2.1 圓柱形永磁織針等效模型

不同的鐵磁材料沿特定方向上充磁所表現(xiàn)的磁性及磁場分布往往不同。圖2示出橫機(jī)的混合電磁懸浮驅(qū)動織針幾何和等效環(huán)流模型。

圖2 圓柱形永磁織針幾何和等效環(huán)流模型Fig.2 Geometric model (a) and equivalent circulation model (b) of permanent magnet

由圖2可知，橫機(jī)的單一式混合電磁懸浮模型，主要由永磁織針、支撐級片、電磁鐵組成；由于織針對數(shù)學(xué)建模和有限元仿真分析沒有影響，依據(jù)永磁織針的簡化模型，顯示當(dāng)永磁體沿著Z軸正向充磁，磁感線從N極出發(fā)指向S極。在永磁材料選定情況下，永磁體外部磁感線的疏密主要與永磁體的幾何尺寸有關(guān)。

2.2 圓柱形永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型

根據(jù)安培環(huán)路定理，可把磁場等效成電場，磁路等效成電流，利用磁路中的安培定律，把永磁體等效為Z方向上有n圈電流環(huán)，半徑方向上也有n圈電流環(huán)[12]，電流密度為J。永磁體在空間上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度解析模型如圖3所示。

注：a表示P在XY平面的投影點(diǎn)。圖3 空間中一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等效模型Fig.3 Equivalent model of magnetic induction of point in space

總電流密度為

Jz=∑∑Jm

(1)

式中：Jz為永磁電流環(huán)總電流密度，A/m3；Jm為單圈永磁電流環(huán)電流密度，A/m3。

則永磁體空間外點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度是由永磁體半徑和高度方向上產(chǎn)生的磁場疊加，如式(2)所示。根據(jù)電磁場安培環(huán)路定律和磁場疊加原理，P點(diǎn)在空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

dB=BX+BY+BZ

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：B、BX、BY、BZ分別表示空間磁感應(yīng)強(qiáng)度和在X、Y、Z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，T；I為永磁體面等效電流，A；HC為永磁體的矯頑力，A/m；h為永磁體的高度，mm；z為永磁體Z軸高度值，mm；d為永磁體的直徑，mm；l為電流元的長度，mm；μr永磁體的相對磁導(dǎo)率，H/m；μ0為真空磁導(dǎo)率，H/m。

設(shè)定P點(diǎn)的Z坐標(biāo)隨永磁體高度方向遞增，則公式(4)中的z等于零，將參數(shù)代入公式(4)得到：

BZ=1.19h/(h+1.065d+1.065h)

(6)

從式(5)可看出永磁體空間磁感應(yīng)強(qiáng)度和永磁體的高度與直徑有關(guān)，且不是線性關(guān)系。主要與永磁體的磁化曲線有關(guān)。銣磁體的退磁曲線如圖4所示。

圖4 銣磁體的退磁曲線Fig.4 Demagnetization curve of neodymium magnet

由圖4可知，在a～b段，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化超前于磁場強(qiáng)度，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化較快；在b～c段，磁感應(yīng)強(qiáng)度還在增加，但增加的幅度明顯比a～b段?。辉赾～d段，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化最慢，基本接近磁飽和。

2.3 長方形永磁織針等效模型

從圓柱形永磁體空間磁場分布模型，類推到長方形永磁體空間磁場分布模型。長方形永磁體的長寬高分別是L、W、H，沿著Z向充磁，假設(shè)永磁體達(dá)到磁飽和，內(nèi)部磁場均勻，內(nèi)部磁感線基本平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的絕對值為一定值，如圖5(a)所示。根據(jù)等效安培環(huán)路定律，長方形永磁磁場等效為Z方向上n圈電流環(huán)面產(chǎn)出的磁場累加，每個環(huán)面的電流密度為J，所以永磁鐵在宏觀上表現(xiàn)為只有面電流而無體電流。如圖5(b)所示，理論情況下，磁勢均勻落在磁鐵表面，兩級的磁感線兩兩平行。

圖5 長方體永磁等效模型Fig.5 Cuboid permanent magnet equivalent model. (a) Ampere stack model;(b) Ideal magnetic field distribution model

(7)

(8)

式中：C()表示P點(diǎn)在空間中收到電流激勵元各個方向的激勵合值；φ(x,y,z)表示空間中P點(diǎn)在X，Y，Z方向的函數(shù)；φ(x),φ(y),φ(z)為φ(x，y，z)在X,Y,Z方向的分量。

(9)

(10)

(11)

式中：I為源電流，A；a、b、c為點(diǎn)P的三維坐標(biāo)值，mm；r為電流環(huán)半徑，mm；H表示永磁的厚度，mm。

從式(6)可看出在計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度時，要提前確定磁鐵的電流密度，對設(shè)計(jì)永磁鐵帶來了不便。為了提高理論計(jì)算效率，利用計(jì)算圓柱形永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度，引入X與Y方向的磁阻，為研究方便，現(xiàn)只對Z向磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行推導(dǎo)得：

(12)

(13)

式中：x,y,z分別表示電流激勵元空間坐標(biāo)。設(shè)定P點(diǎn)在永磁鐵內(nèi)部沿Z方向往永磁外部移動，將P點(diǎn)Z向坐標(biāo)值，代入公式得：

(14)

將已知參數(shù)代入式(12)得到：

(15)

3 永磁織針磁場空間分布規(guī)律

3.1 有限元仿真分析

首先建立永磁織針的三維仿真模型，由于織針對空間磁場影響不大，所以只需建立永磁體仿真模型，然后對模型添加材料，將被分析對象分解為多個單元，設(shè)定邊界條件，通過磁場求解器進(jìn)行后處理，得到永磁體磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矢走向。永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

織針模型建模后劃分單元，選擇On Selection-Length Based Refinement剖分設(shè)置，在軟件中網(wǎng)格的大小影響最后的求解，所以選擇大小為3 mm的三角形單元網(wǎng)格。由于圓柱形永磁沒有銳角，三角形單元網(wǎng)格分布比較均勻，而長方體的網(wǎng)格呈現(xiàn)兩頭

表1 2種永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of two ermanent magnets

密集中間稀疏，符合長方體永磁兩邊的磁力線分散中間磁力線集中的特性。

通過對2種形狀的永磁體進(jìn)行有限元仿真，得到不同尺寸下，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律，給定永磁體的材料是ND35，充磁方向沿著Z軸正向，空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值分布如圖6所示。

圖6 磁感應(yīng)強(qiáng)度仿真結(jié)果Fig.6 Magnetic induction simulation results. (a) Cylindrical permanent magnets with different aspect ratios; (b) Cuboidal permanent magnets with different aspect ratios

由圖6可知，厚徑比越大磁感應(yīng)強(qiáng)度也就越大；當(dāng)直徑不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨厚度的增加而增大，織針的驅(qū)動加速度增加；其中直徑為4 mm的圓柱形永磁體在厚度為3～4 mm的區(qū)間磁感應(yīng)強(qiáng)度變化較慢，加速度變化較小，在2～2.5和4～5 mm的厚度變化趨勢基本一致，加速度變化率相同；當(dāng)直徑為6 mm時，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速度變化率先增加后減少。在厚度一定長方形永磁的長寬比系數(shù)k越小磁感應(yīng)強(qiáng)度就越大；當(dāng)k不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨厚度的增加而增大，但厚度為3～4 mm時，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨k值增大而減??；在4～5 mm的厚度變化趨勢基本與k等于2，3一致。

3.2 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)式(5)、(13)，利用MatLab中的surf函數(shù)，可得到圓柱形和長方形永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨尺寸變化的數(shù)值結(jié)果分布圖，如圖7所示。

圖7 磁感應(yīng)強(qiáng)度變化三維云圖Fig.7 Three-dimensional cloud image of magnetic induction intensity change. (a) Cylindrical; (b) Cuboidal

由圖7可知，永磁體在厚度不變的條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨直徑的增大而減小，反之，隨厚度的增加而變大；長方體永磁體在厚度不變的條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨長度的增大而減少，反之，隨厚度的增加而變大。

圖8示出不同厚徑比的圓柱形永磁織針和不同長寬比的長方形永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值結(jié)果?？芍?，磁感應(yīng)強(qiáng)度與永磁體的厚度成線性關(guān)系，當(dāng)厚度一定，永磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨直徑的增大而增大；磁感應(yīng)強(qiáng)度與永磁的長寬比系數(shù)k成線性關(guān)系，當(dāng)厚度一定，永磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨長寬比系數(shù)的增大而減少。

圖8 磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值結(jié)果Fig.8 Magnetic induction numerical results. (a) Cylindricalpermanent magnets with different aspect ratios; (b) Cuboidal permanent magnets with different aspect ratios

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證永磁織針數(shù)學(xué)模型的正確性，分別對32組永磁織針進(jìn)行測量，織針空間磁場采用三軸試驗(yàn)臺，CH3600型高精度高斯計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

圖9 磁感應(yīng)強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Magnetic induction test results. (a) Cylindrical; (b) Cuboidal

由圖9可知，圓柱體永磁的厚徑比越大，磁感應(yīng)強(qiáng)度也就越大，織針的驅(qū)動力增加，驅(qū)動速度增大，與理論結(jié)果相符。在厚度為4～5 mm時，直徑為8 mm的永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度發(fā)生了一點(diǎn)誤差，主要是由于生產(chǎn)的永磁結(jié)構(gòu)缺陷和充磁不均所致;在長寬比k一定的條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨著厚度的增加而變大；在長寬比為4、厚度為2 mm和長寬比為3、厚度為5 mm的點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化與理論結(jié)果不同，原因和圓柱體永磁效果相同。

由圖8、9可知，長方體永磁織針的實(shí)驗(yàn)值和理論值相差明顯，數(shù)值結(jié)果最大值為0.15 T左右，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果最大值在0.25 T上下，增長趨勢基本相同，只有個別實(shí)驗(yàn)值出現(xiàn)反增長，這主要和測量的設(shè)備移動位置不準(zhǔn)，永磁缺陷等因素造成的；由于上述原因，需要對長方體永磁體空間磁感應(yīng)強(qiáng)度解析公式進(jìn)行修正，這里給出修正系數(shù)c等于100。修正后的數(shù)值理論結(jié)果與仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差比較如圖10所示。

圖10 誤差值分布Fig.10 Error value distribution. (a) Cylindrical permanent magnet needle;(b) Rectangular permanent magnet needle

由圖10可知，在永磁厚度一定時，磁感應(yīng)強(qiáng)度的理論值和仿真值誤差較大，但理論值與實(shí)驗(yàn)值誤差在25%之內(nèi)，相差不大。個別永磁由于加工、充磁不均勻和微小破損等原因，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測量不均，誤差較大，但大多數(shù)的永磁的誤差范圍比較小，符合計(jì)算精度要求。

5 結(jié)束語

在安培環(huán)流定理和磁場疊加原理的基礎(chǔ)上，本文推導(dǎo)出織針橫機(jī)混合磁懸浮驅(qū)動中永磁體在外部空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值表達(dá)式。為驗(yàn)證解析式的正確性，通過建立永磁仿真模型進(jìn)行有限元分析，獲得了具體尺寸下永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律；為了驗(yàn)證磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律，通過對實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量。結(jié)果表明，厚徑比越大圓柱形永磁織針的空間磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，長方體永磁在等厚的條件下，長寬比越大磁感應(yīng)強(qiáng)度越小。永磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度的理論值和實(shí)驗(yàn)值的誤差范圍都在25%之內(nèi)，證明了磁感應(yīng)強(qiáng)度解析公式對于計(jì)算不同形狀尺寸的永磁的計(jì)算比較符合，為陣列式橫機(jī)混合磁懸浮驅(qū)動理論中永磁體空間磁場理論研究提供參考。