蘇國(guó)東

[摘? 要] 教材“正方形”的內(nèi)容不到兩頁篇幅，教學(xué)中對(duì)內(nèi)容的處理直接影響正方形在本章的地位及作用. 筆者從拓展教材、重組整合、重設(shè)題目、技術(shù)融合的角度，設(shè)計(jì)了一節(jié)別出心裁的新授課，凸顯學(xué)生的主體地位，取得較顯著效果.

[關(guān)鍵詞] 別出心裁;正方形;新授課

引言

人教版八年級(jí)教材[1]“正方形”一課的內(nèi)容不到兩頁篇幅，教學(xué)中對(duì)內(nèi)容是照本宣科，還是改造重組，直接影響著正方形在本章所處的知識(shí)地位和發(fā)揮作用. 筆者經(jīng)過研究，設(shè)計(jì)了一節(jié)別出心裁的“正方形”新授課，經(jīng)教學(xué)實(shí)踐，效果顯著.

教學(xué)案例

1. 創(chuàng)設(shè)情境，講授新知

（1）知識(shí)回顧. ？搖

教師在幾何畫板中制作兩個(gè)平行四邊形，邀請(qǐng)兩位學(xué)生上臺(tái)操作，經(jīng)歷矩形和菱形的生成過程. 一位把平行四邊形的一個(gè)角拖動(dòng)成直角得到矩形，一位把一組鄰邊拖動(dòng)至相等得到菱形. 教師點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕一步步呈現(xiàn)矩形和菱形的定義，如圖1.

教學(xué)分析? 對(duì)舊知不能三言兩語帶過，而是重現(xiàn)其生成過程，利用幾何畫板搭建學(xué)生展示的平臺(tái)，有效激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣.

（2）正方形的定義.

教師設(shè)問：“如果把平行四邊形的角特殊化后再把邊特殊化，或把邊特殊化后再把角特殊化，會(huì)變成什么圖形？”學(xué)生充滿了好奇心. 教師邀請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)嘗試操作，均得到了正方形. 仿照上述定義，師生共同得出正方形的定義，如圖2.？搖

教學(xué)分析? 有了矩形、菱形的鋪墊，進(jìn)一步把邊和角特殊化就顯得合情合理了. 兩種方式殊途同歸，學(xué)生對(duì)正方形的產(chǎn)生過程有了深刻理解，定義也就水到渠成了. 實(shí)際上，在這個(gè)過程中已經(jīng)把正方形的判定教給了學(xué)生，只欠規(guī)范表述.

（3）正方形的判定.

“能否用一幅圖簡(jiǎn)潔表示整個(gè)變化過程？”教師引導(dǎo)學(xué)生一步步畫出圖3，借助圖中各種四邊形的符號(hào)在黑板上寫出三個(gè)“等式”，即正方形的判定方法：

判定1：+一個(gè)直角+一組鄰邊相等=□（定義）;

而+一個(gè)直角=□，所以“判定2：□+一組鄰邊相等=□”;

同理，+一組鄰邊相等=◇，所以“判定3：◇+一個(gè)直角=□”;

把判定2和判定3結(jié)合起來，有“判定4：□+◇=□”.

教學(xué)分析? 基于前面環(huán)節(jié)的巧妙設(shè)計(jì)，學(xué)生已能夠把親歷的變化過程表示成關(guān)系圖，得出判定方法，本環(huán)節(jié)也是對(duì)本章各種圖形判定的一次有效回顧. 用簡(jiǎn)潔的式子更能體現(xiàn)各種聯(lián)系，有助于記憶.

（4）正方形的性質(zhì).

教師用集合形式表示出幾種四邊形的包含關(guān)系，讓學(xué)生填寫正方形的位置（圖4），由此得出：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.

因此正方形具有它們所有的性質(zhì)，教師請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)探索正方形的性質(zhì)，在表1的相應(yīng)空格打“√”.

學(xué)生在填表中更發(fā)現(xiàn)了技巧：先勾選平行四邊形的性質(zhì)，由于后三種都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形的性質(zhì)都勾選;再勾選矩形特有的性質(zhì)，正方形是特殊的矩形，所以矩形的性質(zhì)也都勾選，菱形也一樣處理.

最后把正方形所有的性質(zhì)分類匯總（結(jié)合圖5），板書如下：

邊： ________________________角： ________________________對(duì)角線__________________________________________？搖 軸對(duì)稱性： ___________________

教學(xué)分析? 正方形的性質(zhì)不是孤立存在的，本環(huán)節(jié)借助表1把各種四邊形的性質(zhì)再次聯(lián)系起來，讓學(xué)生更能理解它們的聯(lián)系和區(qū)別，也對(duì)本章各種圖形的性質(zhì)進(jìn)行了全面梳理. 從探究填表到括號(hào)歸類，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

2. 鞏固新知，學(xué)以致用

1. 矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（? ? ? ）

A. 四邊相等

B. 四個(gè)角都為直角

C. 對(duì)角線互相垂直

D.對(duì)角線互相平分

2. 正方形添加一條對(duì)角線后，圖形中共有________個(gè)________三角形，若添加兩條對(duì)角線，則圖形中共有____個(gè)________三角形.

3. （2014蘇州改編）如圖6，正方形ABCD中，∠ADB=______°，若AC=2，則BC=______，正方形的周長(zhǎng)為______，面積為______.

4.（2014?？谄谀┤鐖D7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，則CFDE______正方形（“是”或“不是”）.

5. （2005天津改編）四邊形ABCD中，O是對(duì)角線交點(diǎn)，能判定它是正方形的條件是（? ? ? ）

A. AB∥CD，AB=CD，AC=BD

B. AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

C. AO=BO=CO=DO，∠ABC=90°

D. AB=BC=CD=DA，∠A=∠B

6. 如圖8，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD四邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AH=BE=CF=DG. 求證：四邊形EFGH是正方形.

第1題、第2題、第4題全體學(xué)生基本達(dá)標(biāo). 第3題求BC的長(zhǎng)時(shí)學(xué)生提出了三種解法，教師利用希沃白板的克隆功能克隆出了兩幅圖供三人（三種解法）上臺(tái)講解：一位借助△ABC從斜邊算出直角邊;一位聯(lián)系第2題利用△BOC從直角邊算出斜邊;一位聯(lián)想到等面積法，利用正方形的面積S=BC2=AC·BD求出BC.

第5題各選項(xiàng)均有較多條件，教師以A項(xiàng)作示范：由“AB∥CD，AB=CD”可得平行四邊形（在上方畫？荀），添加AC=BD得出矩形（寫成：？荀+“AC=BD”=□）. 學(xué)生仿照此法完成其他選項(xiàng)的講解.

第6題需要綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定. 作為解答題，教師先作前半部分的板書示范，讓學(xué)生規(guī)范書寫余下過程. 教師使用希沃授課助手把學(xué)生的解答拍照上傳到希沃白板中，再請(qǐng)?jiān)搶W(xué)生上臺(tái)講解，教師點(diǎn)評(píng). 為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)該題的內(nèi)涵，教師利用幾何畫板拖動(dòng)EFGH的頂點(diǎn)，在變化過程中驗(yàn)證它始終是正方形，并讓學(xué)生思考：EFGH的面積是否存在最大值和最小值？

教學(xué)分析? 題目質(zhì)量直接影響學(xué)習(xí)效果，本環(huán)節(jié)題目經(jīng)設(shè)計(jì)改編，由淺入深，又深入淺出. 把題目條件轉(zhuǎn)化為帶符號(hào)的式子，提煉出高效解法，培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問題的能力，進(jìn)一步提升知識(shí)應(yīng)用能力.

3. 拓展運(yùn)用，探究提升

（1）方法拓展.

第5題的A項(xiàng)、B項(xiàng)、C項(xiàng)都利用了對(duì)角線來判定四邊形的形狀，教師引導(dǎo)學(xué)生把對(duì)角線的方法添加到圖3中. 結(jié)合判定4——“□+◇=□”——學(xué)生認(rèn)識(shí)到判定正方形還可以走對(duì)角線這條路，逐步完善關(guān)系圖（圖9）.

通過齊答和個(gè)別提問的形式完成第7題，鞏固新學(xué)的判定方法：

7. 滿足下列條件的四邊形是不是正方形？

（1）對(duì)角線互相垂直的矩形. （? ? ? ）

（2）對(duì)角線相等的菱形. （? ? ? ）

（3）對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形. （? ? ? ）

（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形. （？搖？搖? ? ）

教學(xué)分析? 教學(xué)設(shè)計(jì)注重層次性和邏輯性：前面環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)和鞏固了邊和角的判定方法，本環(huán)節(jié)再進(jìn)一步學(xué)習(xí)對(duì)角線的方法，學(xué)生不易混淆. 第5題又為對(duì)角線做了鋪墊，使本環(huán)節(jié)更加順暢.

（2）探究提升？搖.

8. （2012呼倫貝爾改編）如圖10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC.添加一個(gè)條件使四邊形EDFA是正方形，請(qǐng)至少寫出兩種添加方法. （不需要證明，可添輔助線）

教師引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行組內(nèi)交流，利用希沃白板的計(jì)時(shí)器計(jì)時(shí). 學(xué)生積極性高，思路開闊，找到了多種方法. 教師提前制作幾何畫板課件，邀請(qǐng)幾位學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行“添加輔助線”“拖動(dòng)A點(diǎn)”等操作并講解.

生1：添加∠A=90°. 由三個(gè)直角得到矩形，連接AD，“三線合一”得AD是角平分線，DE=DF，所以EDFA是正方形，跟第4題一樣.

生2：添加DE∥AC. 通過同旁內(nèi)角也能得到∠A=90°.

生3：基于生1的做法，還可證出△AED≌△AFD，AE=AF，所以AEDF的四邊相等是菱形，加上直角就是正方形.

生4：添加E是AB的中點(diǎn). 這時(shí)DE是△ABC的中位線，也能得到DE∥AC.

師：添加E是AB的中點(diǎn)后還有其他證法嗎？利用生1連接的AD？

生5：“三線合一”得出△ABD是直角三角形，DE是斜邊的一半，可得AE=ED，后面跟生3一樣.

師：很好，生1、生2、生4都用到了“□+一組鄰邊相等=□”，生3、生5都用到了“？荀+一個(gè)直角=□”（教師在板書）. 還有同學(xué)挑戰(zhàn)嗎？

生6：連接AD，前面的同學(xué)已證出AE=AF，DE=DF，故AD垂直平分EF. 我添加EF平分AD（圖11）. 這時(shí)AEDF是平行四邊形，然后對(duì)角線垂直就是菱形，加上直角就是正方形.

師：他從平行四邊形入手，還用上了剛學(xué)的對(duì)角線的判定方法. 非常精彩?。ㄅ_(tái)下陣陣掌聲）

教學(xué)分析? 通過一道添?xiàng)l件的開放性問題，貫通了從矩形、菱形到正方形轉(zhuǎn)化的知識(shí)脈絡(luò)，學(xué)生思如泉涌，創(chuàng)新意識(shí)強(qiáng)，通過交流展示、一題多解，將整堂課的氛圍推向了最高潮.

4. 課堂小結(jié)，深化理解

通過教師引導(dǎo)，學(xué)生自主分享的方式進(jìn)行小結(jié)，根據(jù)分享的內(nèi)容，用希沃白板的思維導(dǎo)圖工具逐一呈現(xiàn)，如圖12.

教學(xué)分析? 梳理本課知識(shí)框架，總結(jié)解題方法. 思維導(dǎo)圖工具能幫助師生將思考過程變得可視化，提升環(huán)節(jié)參與度.

設(shè)計(jì)與反思

1. 明確要求，拓展教材

教材內(nèi)容不足兩頁（P58～59），指出了正方形各邊、各角相等，具有矩形、菱形的性質(zhì)，要求學(xué)生表示出各種四邊形的關(guān)系，沒有具體表述各種性質(zhì)判定. 《標(biāo)準(zhǔn)》[2]的內(nèi)容定位是探索并證明正方形的性質(zhì)判定，正方形具有矩形、菱形的一切性質(zhì)，層次較高但內(nèi)容不夠具體. 《考綱》[3]的考查內(nèi)容則比較詳細(xì)，對(duì)本課的各種性質(zhì)判定基本都做了明確表述. 《標(biāo)準(zhǔn)》《考綱》對(duì)矩形、菱形的要求和表述則基本一致.

可能考慮到正方形在小學(xué)已有接觸，相關(guān)性質(zhì)判定在前三種圖形中已給出證明和應(yīng)用，所以教材在這一課花的筆墨較少，但教學(xué)和考核標(biāo)準(zhǔn)與前三種圖形是一致的，這決定了本課需要拓展教材，定出詳細(xì)具體的教學(xué)內(nèi)容.

2. 重組整合，一線串通

結(jié)合前三種圖形對(duì)應(yīng)的教材內(nèi)容和《標(biāo)準(zhǔn)》《考綱》的要求，確定了本課各種性質(zhì)和判定的具體內(nèi)容. 若按傳統(tǒng)順序“給出定義、總結(jié)性質(zhì)、證明判定”來教，一是不具備連貫性，二是相當(dāng)于照搬矩形、菱形的教學(xué)，花費(fèi)的時(shí)間更多. 另外，考慮到教材對(duì)各種四邊形的關(guān)系也作了要求，故需重組內(nèi)容.

經(jīng)研究，正方形的定義及推導(dǎo)過程就是它的各種判定，按“定義、判定、性質(zhì)”的順序更連貫. 正方形作為最特殊的四邊形，定義推導(dǎo)應(yīng)從平行四邊形開始，要涵蓋前三種圖形并總結(jié)各種四邊形的關(guān)系，因此本課必須整合本章內(nèi)容. 最終確定為“從平行四邊形變成菱形、矩形再變成正方形”，通過這一過程，把各種四邊形的定義、判定、性質(zhì)及關(guān)系一線串通.

3. 切合目標(biāo)，重設(shè)題目

本課的教學(xué)目標(biāo)是掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定，了解各種四邊形之間的關(guān)系，能正確運(yùn)用性質(zhì)判定解決相關(guān)問題. 教材包括的一道例題、六道練習(xí)題，對(duì)圖形性質(zhì)和判定的運(yùn)用考查力度、范圍不足，不可照搬，部分需重新設(shè)計(jì).

擇優(yōu)選用教材題目，如第2題、第6題、第7題源于P59例5、P62習(xí)題14、P60練習(xí)3;第5題原創(chuàng)，一題考查多種圖形判定;其余選自或改編中考題和經(jīng)典考題. 以達(dá)到內(nèi)容全面覆蓋教學(xué)，難度有層次提升，解法能發(fā)展能力、體現(xiàn)思維素養(yǎng)的目的.

4. 技術(shù)融合，凸顯主體

《標(biāo)準(zhǔn)》指出“應(yīng)重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位”. 本課結(jié)合幾何畫板、希沃白板、希沃授課助手等新媒體新技術(shù)搭建平臺(tái)，設(shè)計(jì)了多項(xiàng)以學(xué)生為主體的教學(xué)活動(dòng)：在新知環(huán)節(jié)讓學(xué)生參與探究圖形變化、填表歸納;在練習(xí)環(huán)節(jié)拍照展示，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流、一題多解.

學(xué)生在學(xué)習(xí)中增強(qiáng)了表達(dá)能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)了勇于探索質(zhì)疑的寶貴精神，提升了核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力. 新媒體新技術(shù)創(chuàng)設(shè)出了新的課堂教學(xué)模式，讓課堂具有更強(qiáng)生成性，煥發(fā)出生命活力.

參考文獻(xiàn)：

[1]李龍才等. 義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]廣州市教育研究院. 2019年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試指導(dǎo)書·數(shù)學(xué)[M]. 廣州：廣東教育出版社，2019.