黃信永 施賢誼

[摘? 要] 文章以“等邊三角形”為載體，借助變式題組驅(qū)動教學(xué)活動的開展，憑借課時整合促進知識體系的構(gòu)建，并針對教學(xué)實錄從“教學(xué)目標(biāo)引領(lǐng)”“教學(xué)知識整合”和“變式題組設(shè)計”三個角度進行教學(xué)有效性的探討.

[關(guān)鍵詞] 變式題組;教材課時整合;初中數(shù)學(xué)

變式題組教學(xué)是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的特征之一，顧明遠教授在其主編的《教育大辭典》中給出了變式的定義：在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征[1]. 教材課時整合教學(xué)是一種針對教材進行深度再開發(fā)的教學(xué)行為，它立足于教材，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的學(xué)情，靈活地“用教材教”，而不是“教教材”，進一步“創(chuàng)造性地使用教材”. 憑借教材課時整合教學(xué)對同類問題進行探究，通過變式題組促進知識的正遷移，在給予學(xué)生充分探究時間的同時，有利于學(xué)生從整體上把握知識之間的內(nèi)涵和外延，化知為智，達到融會貫通的教學(xué)效果.

教材是編寫者根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編制的承載知識的重要載體，凝聚著編者們的智慧和心血，具有典型性、科學(xué)性和示范性，但對于不同師生群體來說教材往往有其局限性，這對教師科學(xué)地使用教材提出了更高的要求，也為教師進行教材整合提供了廣闊的空間. “記問之學(xué)，不足以為人師”，教師應(yīng)不斷地更新教育理念，以現(xiàn)有版本教材為改造范本，注重不同版本教材和相關(guān)資料的研究. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教材內(nèi)容的呈現(xiàn)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的整體性，教材的編寫要有利于調(diào)動教師的主動性和積極性，有利于教師進行創(chuàng)造性教學(xué). ”[2]基于此，筆者不揣淺陋，以人教版教科書“等邊三角形”為例，談?wù)劵谧兪筋}組理念的初中數(shù)學(xué)教材課時整合教學(xué)的實踐和思考.

基本情況

1. 教材分析

本節(jié)課選自人教版教材八年級上冊第十三章. “等邊三角形”內(nèi)容安排有兩個課時，第一課時是等邊三角形的概念，等邊三角形的性質(zhì)、判定方法及其軸對稱性;第二課時是探究和應(yīng)用含30°角的直角三角形的性質(zhì). 本節(jié)課試圖將兩個課時的內(nèi)容整合在一起進行授課，力求壓縮課時成本，提高課堂效率.

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對象是玉環(huán)縣城關(guān)一中的八年級學(xué)生. 對于等邊三角形的知識，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，但是只停留在感性的認(rèn)識層面，系統(tǒng)性的知識在小學(xué)階段缺乏足夠的滲透. 在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)和判定方法等內(nèi)容，且他們思維活躍、情感豐富，具備了比較強的觀察、分析、歸納和總結(jié)的能力，這為教材課時整合教學(xué)的順利開展提供了有力的保障.

3. 重難點分析

授課對象是基礎(chǔ)知識扎實、學(xué)習(xí)經(jīng)驗豐富的八年級學(xué)生，所以本節(jié)課的教學(xué)重點定位于探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì)和判定方法的綜合應(yīng)用是本節(jié)課的難點.

4. 教學(xué)目標(biāo)

基于授課學(xué)生的實際情況，從學(xué)生的長遠發(fā)展考慮，筆者制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）以題串知，通過“簡而不減”的以等邊三角形為背景的變式題組構(gòu)建知識有機整體，驅(qū)動學(xué)生將“無限”變式問題轉(zhuǎn)化為“有限”本原問題.

（2）因題提能，引導(dǎo)學(xué)生在變式問題中了解等邊三角形的概念，探索并掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

（3）借題示法，經(jīng)歷“觀察—實驗—猜想—驗證—概括”的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生感受類比思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想和方法的重要性.

教學(xué)實錄與分析

1. 巧借變式題組，整合教材內(nèi)容

師：（教師拿著一個等邊三角形學(xué)具模型）同學(xué)們，這是什么圖形呢？

生：等邊三角形. （學(xué)生異口同聲地回答）

師：是的，這是大家分別熟悉的等邊三角形，我們今天一起來學(xué)習(xí)等邊三角形的相關(guān)知識，那么等邊三角形ABC（圖1）具有怎樣的性質(zhì)呢？（開放性問題1）

生1：AB=BC=AC.

師：對，我們知道等邊三角形是三邊都相等的等腰三角形. 反過來，若一個三角形三邊相等，那么這個三角形就是等邊三角形. 還能得到什么嗎？

生2：三個角相等.

師：為什么呢？

生2：因為AB=AC，由“等邊對等角”可得∠B=∠C;同理，∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，且都等于60°.

師：很好，還有沒有？

生3：等邊三角形是特殊的三角形，因此它是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸.

師：好，現(xiàn)在增加一個條件，大家又能夠得到哪些結(jié)論呢？

開放性問題2：如圖2，在等邊三角形ABC中，作AD⊥BC，能夠得到哪些結(jié)論呢？

生4：由“三線合一”可以得到∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=BC=AB=AC.

師：非常好，我們由此得到一個很重要的結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的邊等于斜邊的一半.

師：假如再增加一個條件呢？

開放性問題3：如圖3，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，作DE∥AC交AB于點E，能夠得到哪些結(jié)論呢？

生5：由△ABC是等邊三角形，可得∠BAC=∠B=∠C=60°. 由DE∥AC，可得∠BED=∠EDB=60°，故BE=BD=ED，所以△DEB是等邊三角形.

師：是的，這是等邊三角形的另一個判定方法——三個角都相等的三角形是等邊三角形. 大家還能找到等邊三角形的其他判定方法嗎？

生6：如果等腰三角形的一個頂角等于60°，那么這個三角形是等邊三角形. 因為頂角等于60°，所以底角也等于60°，從而三個內(nèi)角相等.

師：好，那假如把頂角改成底角呢？

生6：也可以，由底角等于60°，同樣可以推理出三個內(nèi)角都相等.

師：由此我們找出了等邊三角形的第二個判定方法：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

（生7高高地舉起了手）

生7：有兩個角等于60°的三角形也是等邊三角形.

師：是的，我們?nèi)菀字肋@是真命題，但這不是定理，這一點大家要注意.

教學(xué)說明? 在教學(xué)目標(biāo)的引領(lǐng)下，開門見山式地拋出開放性問題1，回歸學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生對等邊三角形進行探究. 借助問題1的驅(qū)動，教師通過增加條件呈現(xiàn)開放性問題2，具有層次性但又不失內(nèi)容與方法的熟悉與深刻，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，為開放性問題3的引出奠定了基礎(chǔ).

2. 再借變式題組，強化問題本原

師：我們接下來看這么一個問題.

問題4：如圖4，點D，E分別在等邊三角形ABC的兩邊上，且BD=CE=2. 若∠EDC=30°，求AE的長.

生8：因為∠C=60°，∠EDC=30°，所以∠CED=90°. 根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，由CE=2，可得DC=4，CA=BC=BD+CD=6，從而AE=AC-CE=4.

師：好，我們現(xiàn)在增加條件.

問題5：如圖5，點D，E，F(xiàn)分別在等邊三角形ABC的三邊上，且AF=BD=CE. 求證：△DEF是等邊三角形.

生9：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C. 由AF=BD=CE，可得BF=CD=AE. 由“SAS”可得，△AEF≌△BFD≌△CDE，從而DE=EF=FD，故△DEF是等邊三角形.

生10：我有第二種證明方法. 由△AEF≌△CDE，可得∠AEF=∠CDE. 由∠AED=∠C+∠CDE=∠AEF+∠FED，得到∠FED=∠C=60°;同理，∠EFD=∠EDF=60°. 所以△DEF是等邊三角形.

師：很好，同學(xué)們用兩種方法進行了證明，現(xiàn)在改變一下問題的條件.

問題6：如圖6，點D，E，F(xiàn)分別在等邊三角形ABC的三邊上，且AF=BD=CE. AD，BE相交于點G，BE，CF相交于點H，AD，CF相交于點I. 求證：△GHI是等邊三角形.

生11：因為AF=BD=CE，AB=AC=BC，∠FAC=∠BCE=∠ABD，由“SAS”可得，△ABD≌△BCE≌△CAF，故∠BAD=∠ACF=∠CBE，∠BDA=∠AFC=∠BEC，由此可得∠AIF=∠BGD=∠CHE，即∠GIH=∠IGH=∠GHI，故△GHI是等邊三角形.

生12：類似于問題5，利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得∠IGH=∠GBA+GAB=∠GBA+GBC=60°;同理，∠GIH=∠GHI=60°. 所以△GHI是等邊三角形.

教學(xué)說明? 基于教材知識的關(guān)聯(lián)性，在問題4的基礎(chǔ)之上，通過增加題目條件自然過渡到變式問題5，學(xué)生會有似曾相識的感覺，同時為變式問題6的引入埋下伏筆. 本環(huán)節(jié)通過架構(gòu)知識與知識之間的橋梁，有利于鞏固等邊三角形的性質(zhì)和判定方法以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，在自主構(gòu)建知識體系的同時，提升教學(xué)目標(biāo)的達成度，做到綱舉目張.

教學(xué)思考

本教學(xué)案例始于本原，源于問題，基于變式，以題領(lǐng)題，構(gòu)建命題之間的聯(lián)系，促使教學(xué)內(nèi)容變難為易、化繁為簡，對課堂教學(xué)起到引領(lǐng)作用. 在這個過程中，學(xué)生體會變式題組的本質(zhì)構(gòu)成要素——等邊三角形，真正掌握模塊知識的核心. 筆者認(rèn)為，用課程標(biāo)準(zhǔn)領(lǐng)航教學(xué)方向，用教學(xué)目標(biāo)定位教學(xué)內(nèi)容，用教材整合盤活教學(xué)體系，用變式題組創(chuàng)設(shè)靈動課堂值得一線教師倡導(dǎo)并踐行.

1. 教學(xué)目標(biāo)引領(lǐng)，前赴后繼

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的導(dǎo)向下，教學(xué)目標(biāo)自始至終統(tǒng)領(lǐng)著教學(xué)程序的設(shè)定、教學(xué)活動的組織、教學(xué)過程的優(yōu)化和教學(xué)質(zhì)量的評價. 本教學(xué)案例以幾何核心知識“等邊三角形”為載體，從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識的內(nèi)部聯(lián)系出發(fā)，圍繞教學(xué)目標(biāo)拾級而上. 因此，教學(xué)目標(biāo)的核心地位不容動搖，由教學(xué)目標(biāo)生成靈動的變式題組，可以杜絕課堂的盲目和低效，幫助學(xué)生快速正確地識別模式. 因此，教學(xué)必須遵循目的性原則，由此解決“為什么要變”“變什么”“怎么變”和“變到什么程度”等一系列問題，使課堂教學(xué)有章可循、有規(guī)可依.

2. 教學(xué)知識整合，上下聯(lián)系

教材課時整合教學(xué)并不是簡單地將兩節(jié)或兩節(jié)以上的課時合并為一個課時進行授課，也不僅僅是教學(xué)內(nèi)容的簡單替換、刪減或補充，而是教師根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、不同的校情和學(xué)情，對教學(xué)資源進行整合再開發(fā)的過程. 因此，教材課時整合不具有普遍性，需要教師因地制宜地進行二次甚至二次以上的整合. 本教學(xué)案例基于知識的關(guān)聯(lián)性，通過“提綱挈領(lǐng)”式的授課方式，利用兩個主要教學(xué)環(huán)節(jié)、六個主要問題將等邊三角形兩個課時的內(nèi)容進行整合，建立知識與知識之間的橋梁，促進點狀知識聯(lián)結(jié)成網(wǎng)狀知識.

3. 變式題組設(shè)計，左右開弓

變式題組教學(xué)通過不同問題情境加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和思想方法的理解，體會問題生成的自然性，在“變”中感受“不變”的本質(zhì)，在“不變”中體會“變”的規(guī)律，將學(xué)生思維推向縱深. 有效的變式題組教學(xué)并非機械重復(fù)式學(xué)習(xí)，亦非無序探究式學(xué)習(xí)，而是改變傳統(tǒng)的強制灌輸式學(xué)習(xí)，促進知識條理化、系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生形成合適的問題解決表征.

問題是數(shù)學(xué)的心臟和思維的起點. 根據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，考慮學(xué)生已經(jīng)達到的水平，并要走在學(xué)生發(fā)展的前面，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段水平. 因此，變式題組設(shè)計應(yīng)具有層次性，立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)（可接受性），發(fā)展學(xué)生的高階思維. 本案例通過問題1到問題3和問題4，再到問題6的變式動態(tài)生成問題組，逐步給學(xué)生帶來了認(rèn)知的矛盾沖突（挑戰(zhàn)性），從而既能給基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生展示自我的機會，又能給基礎(chǔ)扎實的學(xué)生深度探究的空間，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[3]. 除此之外，變式教學(xué)題組要追求問題的開放性. “有開放才會有聚焦”，闡明了問題開放性的價值所在. 本教學(xué)案例的開放性問題1到問題3緊緊圍繞著教學(xué)目標(biāo)，為學(xué)生提供了自主探究的舞臺和思維馳騁的空間. 開放性問題在激發(fā)學(xué)生問題意識和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的同時，有利于教師及時捕捉學(xué)生的思維動態(tài)，實現(xiàn)“低起點多層次”的個性化教學(xué)，對教學(xué)的有效性起到了畫龍點睛的作用.

參考文獻：

[1]顧明遠. 教育大辭典[M]. 上海：上海教育出版社，1998.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]劉乃志. 初中數(shù)學(xué)教材整合的思考和實施路徑[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（Z2）.