不可約多項式的一個應用

劉合國，廖軍

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院， 湖北 武漢 430062)

0 前言

《高等代數(shù)》是大學里最基礎(chǔ)的課程之一，對于剛剛進入大學的新生而言，它包含了許多新內(nèi)容、思想和方法，解題的技巧性也很強，這嚴重影響了一般新生學習這門課程的熱情和努力．不可否認的是，《高等代數(shù)》里充滿了令人眼花繚亂、令人嘆為觀止的解題方法，學生們或望而卻步、自嘆不如，或沉迷于此、沾沾自喜．其實，《高等代數(shù)》里包含了許多基本概念，深入地理解概念，自覺地運用概念進行思考和解題是學習中非常重要的一個環(huán)節(jié). 運用概念進行推理是質(zhì)樸而有效的學習和訓練方法，但它常常被我們在《高等代數(shù)》教學時忽視了．本研究擬從一個有名問題及其幾種常見解法入手，通過把這個問題進行一般化來檢驗這些解法的適用范圍，由此說明在解題時，理解基本概念是非常必要的，運用基本概念進行推理有助于理解問題的本質(zhì)．

文獻[1]是被廣泛采用的經(jīng)典教材，其第一章處理域上的多項式，涉及一個非?；镜母拍睿翰豢杉s多項式．在某種意義上，不可約多項式是這一章的基石，這個事實可以從下面的重要結(jié)論體現(xiàn)出來．

定理1([1，因式分解及唯一性定理])數(shù)域F上每一個次數(shù)≥1的多項式f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域F上一些不可約多項式的乘積，所謂唯一性是說，如果有兩個分解式

f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)，

那么必有s=t，并且適當排列因式的次序后有

pi(x)=ciqi(x),i=1,2,…,s,

其中ci(i=1,2,…,s)是一些非零常數(shù)．

這是代數(shù)學里的一個基本定理．在大學代數(shù)類課程里，能與它相匹敵的大概是數(shù)論里所謂的算術(shù)基本定理．

定理2([2，算術(shù)基本定理])任一大于1的整數(shù)能表成素數(shù)的乘積，即任一大于1的整數(shù)

a=p1p2…pn,p1≤p2≤…≤pn，

其中p1,p2,…,pn是素數(shù)，并且若

a=q1q2…qm,q1≤q2≤…≤qm，

其中q1,q2,…,qm是素數(shù)，則m=n,qi=pi,i=1,2,…,n．

代數(shù)學里的一些基本思想可以溯源于這兩個定理．我們知道，在通常的運算下，域上所有多項式的集合和所有整數(shù)的集合都構(gòu)成歐幾里得整環(huán)，由文獻[3,第4章定理1]，歐幾里得整環(huán)都是主理想整環(huán)，當然他們都是唯一因子分解整環(huán)，在這類整環(huán)里，每個不可約元都是素元．下面的結(jié)果是前面兩個定理的一般化．

定理3([3,第4章定理2])整環(huán)R是唯一因子分解整環(huán)當且僅當R滿足：

1) 因子鏈條件；

2) 每個不可約元都是素元．

在多項式代數(shù)里，下面的結(jié)果是基礎(chǔ)性的，其證明的根本出發(fā)點就是上面的定理．

定理4([3,第4章定理5])唯一因子分解整環(huán)R上的一元多項式環(huán)R[x]仍為唯一因子分解整環(huán)．

從上面這些闡述的結(jié)果，就存在性而言，我們可以體會到不可約多項式在多項式理論里的重要性．一般域上的多項式f(x)，判斷f(x)是否是不可約多項式不是一件容易的事，對有理數(shù)域來說，下面的判別準則是有用的．

定理5([1,定理13艾森斯坦(Eisenstein)判別法])設(shè)

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

是一個整系數(shù)多項式．如果有一個素數(shù)p，使得

1)p?an;

2)p|an-1,an-2,…,a0;

3)p2?a0.

那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的．

不可約多項式和Eisenstein準則能夠幫助我們理解一些問題．

1 不可約多項式的一個應用

我們從一個有名的問題即例1開始，即文獻[4，例10]，其第一種證法取材于文獻[4]．

當例1對整數(shù)a,b,c成立時，由上式即可導出

prn=mrq=mps=0．

這意味著n=q=s=0，即a=b=c=0．這樣在下面的證法一和證法二里，我們不妨假設(shè)在a,b,c都是整數(shù)的情況下進行推理．

例1的證法一當a,b,c不全為0時，我們假設(shè)(a,b,c)=1．當x+y+z=0時，考慮到

a3+2b3+4c3-6abc=0，

由此得到a3是偶數(shù)，進而a是偶數(shù)，記a=2a1，把它代入上式得到

b3+2c3+4a13-6bca1=0．

于是b3是偶數(shù)，b也是偶數(shù)，記b=2b1，把它代入上式得到

c3+2a13+4b13-6ca1b1=0，

因此c3是偶數(shù)，c也是偶數(shù)．與假設(shè)(a,b,c)=1．矛盾．所以a,b,c全為0，得證．

于是，

則有

a3+2b3+4c3-6abc=0，

接下來同證法一的推理，得2|a，2|b，2|c．矛盾．

接下來，我們要從多項式的角度來重新證明例1．熟知，對域上的不可約多項式p(x)和任意一個多項式f(x)，或者p(x)|f(x)，或者(p(x),f(x))=1．由此，我們?nèi)菀椎玫揭粋€常識性結(jié)論．

例2設(shè)p(x)是域F上的一個不可約多項式，f(x)是域F上的一個多項式，若p(x)和f(x)在F的某一個擴域上有一個公共根，則p(x)|f(x)．

例2的證明假設(shè)p(x)?f(x)，因為p(x)是域F上的一個不可約多項式，則(p(x),f(x))=1．因此存在多項式u(x),v(x)使得

u(x)p(x)+v(x)f(x)=1，

由于p(x)和f(x)在F的某一個擴域上有一個公共根，設(shè)為α．則u(α)p(α)+v(α)f(α)=1，即有0=1矛盾，所以p(x)|f(x)．

比較例1的3種證明，我們似乎無法判斷其優(yōu)劣，因為他們各有特點．相對于證法一和證法二，證法三還顯得不太自然．為了理解得更深一些，我們把例1推廣到一般的情形．

例3設(shè)a0,a1,a2,…,an-1都是有理數(shù)，滿足

例3的證明a0=a1=a2=…=an-1=0．

當x+y+z=0時，x3+y3+z3-3xyz=0．這個簡潔明快的結(jié)論無法推廣到一般情況，因為當x1+x2+…+xn=0時,

但這個n階行列式的展開式非常復雜，我們無法從上面的等式得到所需的有用工具．這樣例1的證法一無法適用于例3．

例1的證法二和證法三對例3還是有用的．

例3的證法一我們不妨設(shè)a0,a1,a2,…,an-1都是整數(shù)，當a0,a1,a2,…,an-1不全為0時，設(shè)(a0,a1,a2,…,an-1)=1．根據(jù)

可得

于是

設(shè)a0=2a0′，將a0=2a0′代入上述行列式，并將第n行乘以1/2；再將行列式的第n行與第n-1行互換，第n-1行與第n-2行互換，…，第2行與第1行互換，得到

同樣的辦法可證2|a1．繼續(xù)這個過程，歸納地可以證明2|ai，i=0,1,…,n-1．矛盾．所以，a0=a1=a2=…=an-1=0．

值得注意的是例3對一般的素數(shù)p也成立．即

設(shè)p是素數(shù)，設(shè)a0,a1,a2,…,an-1是有理數(shù)，滿足

則a0=a1=a2=…=an-1=0．

為了比較例3的證法一和證法二的功效，我們再來看一個下面的例子．

a0+a1ω+a2ω2+…+ap-2ωp-2=0，

證明a0=a1=a2=…=ap-2=0.

我們從線性方程組的角度證明了例1和例3．但無法照搬該方法證明例4．

進一步，我們有下面的結(jié)論．

例5設(shè)p(x)是數(shù)域F上n次不可約多項式．設(shè)α是p(x)在復數(shù)域C上的一個根，若a0,a1,a2,…,an-1∈F滿足

a0+a1α+…+an-1αn-1=0，

則a0=a1=a2=…=an-1=0．

例5的證明設(shè)f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1，則α是p(x)和f(x)在復數(shù)域C上的一個公共根，又p(x)在數(shù)域F上不可約，根據(jù)例2，p(x)|f(x)，又p(x)的次數(shù)大于f(x)的次數(shù)，所以f(x)=0，于是a0=a1=a2=…=an-1=0.

這種推理對我們理解多項式的根是有幫助的．

例6設(shè)p(x)是數(shù)域F上的n次不可約多項式，f(x)∈F[x]，E是p(x)的分裂域，p(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)，若αi是f(x)的一個根，則α1,…,αi-1,αi+1,αn也是f(x)的根．

例6的證明由已知條件和例2得p(x)|f(x)，因此α1,…,αi-1,αi+1,αn也是f(x)的根．

設(shè)p(x)是數(shù)域F上的一個n次不可約多項式，E=F(α1,α2,…,αn)是p(x)的分裂域．則由文獻[3,第8章定理5]知多項式p(x)的伽羅瓦群Gp?Gal(E/F)在p(x)的根集合{α1,α2,…,αn}上的作用是傳遞的．例6說明，f(x)任一根αi在其極小多項式的伽羅瓦群作用下的像仍然是f(x)的根．

通過上面的論述，我們看到運用基本概念、基本知識解題的重要性，沿著這個思路，我們更能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)．1900年大數(shù)學家David Hilbert在巴黎國際數(shù)學家代表大會上作了《數(shù)學問題》的著名演講，在結(jié)尾處擲地有聲地說：

數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論，并把陳舊的、復雜的東西拋在一邊，數(shù)學科學發(fā)展的這種特點是根深蒂固的．

Hilbert的這種真知灼見對每個數(shù)學教育工作者都具有警醒作用．