劉 霞

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級上冊第87～89頁。

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入，引發(fā)猜想

師：王大叔用4 根圍欄圍了一個長方形花圃（如圖①）。已知這個長方形的長是6 米，寬是4米，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生1：這個花圃的周長是多少米？

生2：它的面積是多少平方米？

師：是的，研究平面圖形我們一般既要研究它的周長，也要研究它的面積。它的周長是多少？

生：（6＋4）×2＝20（米），它的周長是20 米。

師：面積呢？

生:6×4＝24（平方米），面積是24 平方米。

師：后來因為修路，王大叔把這個花圃的形狀改變了一下（課件演示把長方形拉成一個平行四邊形，如下圖②）。變成了什么？

圖①

圖②

圖③

圖④

生：（齊）平行四邊形。

師：從剛才的變化中，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：它的周長沒變，是20米。因為平行四邊形的四條邊就是長方形的四條邊。

生2：它的面積好像變小了。

師：是嗎？我們不妨再變一變。（將圖②繼續(xù)拉成圖③）你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：它的周長沒有變，都是20 米。但是，這時的面積變得更小了。

（教師繼續(xù)操作，將圖③變成圖④，進(jìn)一步增強學(xué)生對“周長不變，面積變小”的直覺感受）

師：連貫起來看，后面三個平行四邊形的面積變得越來越小了。那每個平行四邊形的面積到底是多少？平行四邊形的面積計算到底與什么有關(guān)？這就是我們今天要研究的問題。

【說明：課堂教學(xué)的素材要簡約、經(jīng)濟(jì)、精煉。課始創(chuàng)設(shè)了4 根圍欄圍長方形花圃的生活情境，在復(fù)習(xí)周長和面積等知識基礎(chǔ)上，通過三次情境變化——將長方形不斷拉“矮”，從而形成認(rèn)知沖突，產(chǎn)生進(jìn)一步探究的需要。】

二、實踐操作，歸納推理

1.動手操作，初步感知轉(zhuǎn)化。

師：為了便于研究，我給大家提供了一份方格圖，每個方格的邊長是1 米。你能通過數(shù)一數(shù)、畫一畫或者剪一剪的方法得出圖②的面積嗎？

（學(xué)生動手操作、探究，小組討論、交流）

生：我是先數(shù)出圖形中不滿一格的一共是10 個，10÷2=5（格），正好能拼成5 格，然后用13＋5=18（格），面積就是18 平方米。

師：不滿一格算半格，是我們計算不規(guī)則圖形的面積的一種很好的方法。

生：我是將這些不完整的方格拼成了完整的方格。然后數(shù)一數(shù)，一共有18 格，每格1 平方米，一共是18 平方米。（如圖⑤）

圖⑤

圖⑥

生：我是沿這條線將平行四邊形剪出了一個直角三角形，然后將它向左平移，拼成一個長方形。這個長方形的長是6 米，寬是3 米。然后用6×3，就得出它的面積是18 平方米。（如圖⑥）

師：同學(xué)們，我們一起來觀察一下，同樣是割補的方法，有什么不同之處，哪種方法更簡便？

生：第一個同學(xué)是一個一個割補的，而第二個同學(xué)是整體割補的，所以第二種方法更簡便。

生：我的方法是沿這條線將平行四邊形分成了兩個直角梯形；然后把左邊的梯形向右平移，也拼成了一個長方形。長是6 米，寬是3 米，面積是18 平方米。（如圖⑦）

圖⑦

師：仔細(xì)觀察這兩種方法，他們都是沿著平行四邊形的什么剪的？

生：高。

師：如果不沿著高剪可以嗎？為什么？

生：不行，因為只有沿著高剪開，才能將它拼成一個長方形，根據(jù)長方形的面積我們才能得到平行四邊形的面積。

師：是啊，沿著高剪開就可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個面積相等的長方形，化未知為——（已知），化陌生為——（熟悉），從而解決了問題。轉(zhuǎn)化是一種很重要的數(shù)學(xué)思想。

【說明：為學(xué)生提供帶有方格的平行四邊形，放手讓他們根據(jù)自己的實際經(jīng)驗選擇不同的方法，并把自己思考的過程展現(xiàn)在《作業(yè)紙》上，符合學(xué)生的實際水平，也能讓所有學(xué)生都參與其中。然后根據(jù)學(xué)生幾何思維的發(fā)展水平逐次呈現(xiàn)典型作品，學(xué)生在分享、 對比中經(jīng)歷了從單位面積的轉(zhuǎn)化到整體割補轉(zhuǎn)化的過程，并在多樣化中尋找到統(tǒng)一性（沿著“高”切拼）這一核心和關(guān)鍵?！?/p>

2.深入感知，歸納推導(dǎo)公式。

師：現(xiàn)在你能用轉(zhuǎn)化的方法求出圖③這個平行四邊形的面積嗎？

（學(xué)生操作、展示、交流）

師：看來啊，不管是什么樣的平行四邊形，只要沿著它的高剪開，都能轉(zhuǎn)化成一個長方形。求平行四邊形的面積，就變成了求什么呢？

生：（齊）長方形的面積。

師：每個平行四邊形的背后都隱藏著一個與它面積相等的長方形。長方形的面積＝長×寬，那平行四邊形的面積等于什么呢？

生：平行四邊形的面積＝底×高。

師：為什么？

生：因為長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高，長方形的面積＝長×寬，所以平行四邊形的面積＝底×高。

師：聽明白他的意思了嗎？把你們的推導(dǎo)過程在小組里再說一說。

（學(xué)生交流）

師：誰再來說一說？

根據(jù)學(xué)生的回答形成板書：

師：現(xiàn)在能看出平行四邊形的面積計算到底與什么有關(guān)嗎？

生：平行四邊形的底和高。

師：如果用S 表示平行四邊形的面積，用a 和h 分別表示它的底和高，平行四邊形的面積公式用字母就以表示成什么？

生：（齊）S＝a×h。

師：誰能直接計算出圖④這個平行四邊形的面積？

生：6×1＝6（平方米）。

師：你能解釋一下，為什么可以這樣計算嗎？

生：把平行四邊形沿著這條高剪開，就能拼成一個長方形，這個長方形的長是6 米，也就是原來平行四邊形的底，寬是1 米，也就是原來平行四邊形的高，所以用6×1 就能算出它的面積了。

師：看來每一個平行四邊形的背后都隱藏著一個面積相等的長方形。

【說明：教師通過后兩個平行四邊形的面積計算，由淺入深地幫助學(xué)生深化對平行四邊形面積計算的理解，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“其實每一個平行四邊形的背后都隱藏著一個長方形”，影響平行四邊形面積的是底和高這兩個條件?！?/p>

三、鞏固練習(xí)，深化理解

1.基礎(chǔ)性練習(xí)。

師：你能找出下面平行四邊形背后隱藏的長方形，并計算出它的面積嗎？

分別出示：

（學(xué)生練習(xí)，匯報）

師：（指第二個平行四邊形）它的面積是多少？

生1：我沿著這條高（12 厘米）剪開，把它轉(zhuǎn)化成了一個長20 厘米、寬12 厘米的長方形，所以它的面積是12×20＝240（平方厘米）。

生2：我沿著這條高（16 厘米）剪開，把它轉(zhuǎn)化成了一個長是15 厘米、寬是16 厘米的長方形，面積是15×16=240（平方厘米）。

師：你們聽明白了嗎？為什么會出現(xiàn)兩種思路呢？

生：平行四邊形有兩組對邊，每組對邊都有各自的高。

師：把平行四邊形沿著不同的高剪開，就可以轉(zhuǎn)化成形狀不同的長方形。原來，每個平行四邊形后面隱藏著什么？

生：兩個不一樣的長方形。

師：（指第三個圖形）這是平行四邊形嗎？

生：是的，它是特殊的平行四邊形。

師：平行四邊形的底是多少？高是多少？

生：它的底就是長方形的長，7 分米；高就是長方形的寬，4 分米。

師：那面積就是多少？

生：7×4=28（平方分米）。

師：同學(xué)們，長方形是一種特殊的平行四邊形，其實，我們以前學(xué)習(xí)的長方形的面積等于長乘寬，就是平行四邊形面積計算的一種特殊應(yīng)用。而這種特殊應(yīng)用又幫助我們今天推導(dǎo)出了平行四邊形的面積計算。真是“數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要”！

【說明：課堂練習(xí)是學(xué)生深層次理解知識、 完成知識建構(gòu)的過程。本環(huán)節(jié)遵循“從一般到特殊”精心設(shè)計了三道題目，前兩道題著重基礎(chǔ)，尤其是第二題通過兩種不同的計算方法，強調(diào)平行四邊形的底和高的對應(yīng)關(guān)系。第三題立足于“長方形就是特殊的平行四邊形”，感知兩者間的聯(lián)系。將長方形的面積計算納入平行四邊形的面積計算，既突出了本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點，又幫助學(xué)生實現(xiàn)了知識的整體建構(gòu)，彰顯了數(shù)學(xué)的簡潔和邏輯。】

2.例題回顧。

師：現(xiàn)在你能解釋為什么王大伯圍花圃時，周長不變，面積卻為什么越來越小了嗎？

生：因為它的高越來越矮了。

師：誰能說得具體一些？

生：原來它的高是4 米，后來變成了3 米、2 米、1 米，而它的底沒有變，所以它的面積變小了。

師：（指著最后一個平行四邊形）如果把它再往下拉，它的面積會怎么樣？

生：越來越小，最后變成了一條線段。

師：那如果把它拉高呢？

生：面積就會越來越大。

師：什么時候面積最大呢？

生：當(dāng)它被拉成一個長方形時，它的面積最大。

生：當(dāng)它的高變成長方形的寬時，它的面積最大。

師：也就是當(dāng)它的高越來越大，越來越大，最后與這條邊線重合時，它就變成了長方形，這時它的面積就最大了。瞧，圖形的變化讓我們又有了新的發(fā)現(xiàn)。

【說明：例題的回顧是對學(xué)習(xí)內(nèi)容的總結(jié)和再認(rèn)識。學(xué)生通過對比、反思，深切地感悟到平行四邊形的“高”在面積計算中的特殊意義，從而幫助他們打破長方形、正方形面積計算時建立起來的根據(jù)圖形的邊線長度計算面積的思維定勢?！?/p>

3.變式練習(xí)。

師：這兒還有一個長方形，睜大眼睛看一看，它有了什么變化呢？

（將長方形變成等底等高的平行四邊形）

生：我覺得它的形狀變了，但它們的面積沒有變。

師：為什么呢？

生：因為平行四邊形的高就是長方形的寬，它的底就是長方形的長，所以它的面積沒有變。

4.再次對比。

師：（出示例題圖和剛才的練習(xí)圖）對比一下這兩組圖形的周長和面積的變化，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)第一組圖形的周長不變，面積變了。而第二組圖形的面積不變，周長變了。

生：第一組圖形周長不變，是因為圖形的四條邊長度沒變，但是面積變了，是因為底雖然相等，但是高變得越來越小，面積也就越來越小。而第二組圖形正好反過來了，底和高都沒變，面積就不變，但是因為四條邊的長度在變，周長自然就跟著變化了。

師：你總結(jié)得真好！看來，圖形的變化中真的大有玄妙。

【說明：圖形的等積變形和長方形框架的拉升是教材中分開編排的。本節(jié)課將它們?nèi)诤显谝黄穑m然變化得到的都是平行四邊形，但是不同的變化形式，所得到的結(jié)果卻大相徑庭，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變化之中有玄妙”，既強化了新知學(xué)習(xí)，又突出了面積和周長計算的本質(zhì)要素，達(dá)到了整體建構(gòu)的目的?！?/p>

四、全課總結(jié)，拓展延伸（略）