馬曉丹

一、引言

在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上,許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題都源于生活。我國(guó)古代就有著從社會(huì)實(shí)際中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決的優(yōu)秀傳統(tǒng)。這些問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與探索無(wú)不彰顯出我國(guó)古代學(xué)者的智慧,為我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展作出巨大貢獻(xiàn)的同時(shí),奠定了我國(guó)在世界數(shù)學(xué)史上的輝煌地位?？梢?jiàn),數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)發(fā)展的源動(dòng)力,也是一個(gè)國(guó)家創(chuàng)新發(fā)展的源泉。我們?cè)谧院烙诠糯鷶?shù)學(xué)成就的同時(shí),反思我國(guó)現(xiàn)當(dāng)代問(wèn)題解決的發(fā)展是保持?jǐn)?shù)學(xué)教育生命力、激發(fā)創(chuàng)造潛能的有力保障。

新時(shí)期,我國(guó)提出了“立足和結(jié)合中國(guó)國(guó)情”“繼承我國(guó)傳統(tǒng)教育優(yōu)勢(shì)”“構(gòu)建有中國(guó)特色的學(xué)生核心素養(yǎng)體系”等要求。鑒于此,基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教育研究還需理清以下問(wèn)題:在我國(guó)已有的有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教育經(jīng)驗(yàn)中,有哪些做法是值得保留的?有哪些趨勢(shì)是值得延續(xù)的? 有哪些不足是需要完善的? 為此,從時(shí)間邏輯和內(nèi)容邏輯梳理和反思70年來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展歷程與研究趨勢(shì),對(duì)彌補(bǔ)研究不足和明確未來(lái)方向具有重要意義。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的價(jià)值嬗變

在過(guò)去的70年里,問(wèn)題解決一直是我國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),其研究成果不僅影響著學(xué)生高層次思維的發(fā)展,還促進(jìn)了積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。不同時(shí)期,數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的名稱略有差異——從應(yīng)用題到解決問(wèn)題,再到問(wèn)題解決,不同名稱的背后,反映了不同時(shí)期的價(jià)值追求。

(一)初興階段:指向?qū)嵱弥髁x的“應(yīng)用問(wèn)題”(1949年—1978年)

新中國(guó)成立初期(1952年),教育部根據(jù)蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱編譯了《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》,并在大綱的“教養(yǎng)目的”部分從教師視角對(duì)“解決問(wèn)題”提出了要求,即“培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題所必需的技能和熟練的技巧”[1]。這一大綱在1954年和1956年先后經(jīng)歷了兩次修訂,有關(guān)“解決問(wèn)題”的部分延續(xù)了原有的闡述。這一時(shí)期解決的“問(wèn)題”指的是應(yīng)用問(wèn)題,也常被稱作應(yīng)用題,本質(zhì)上是對(duì)書(shū)本上靜態(tài)知識(shí)的直接應(yīng)用,所形成的步驟或方法呈現(xiàn)出程序化、可重復(fù)的特點(diǎn),如“用所獲得的算術(shù)知識(shí)去解決應(yīng)用題并完成具有實(shí)際性的簡(jiǎn)單計(jì)算;應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決有關(guān)物理、化學(xué)、天文學(xué)、技術(shù)方面、農(nóng)業(yè)方面的簡(jiǎn)單問(wèn)題;運(yùn)用所學(xué)幾何知識(shí)進(jìn)行實(shí)地測(cè)量,測(cè)定各種建筑物的表面積和容積等;在幾何、物理、技術(shù)等問(wèn)題上實(shí)際應(yīng)用三角知識(shí)”[2]。這一時(shí)期解決的問(wèn)題與當(dāng)時(shí)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)下的生產(chǎn)生活密切相關(guān),如計(jì)劃經(jīng)濟(jì)背景下的工程問(wèn)題、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)背景下的農(nóng)藥配比問(wèn)題(濃度問(wèn)題)等都反映了這一時(shí)代背景下的需求。

總的來(lái)說(shuō),對(duì)解決應(yīng)用問(wèn)題的提倡對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義。特別是在1958年的“大躍進(jìn)”運(yùn)動(dòng)中,其教育意義又得到進(jìn)一步發(fā)展。這一時(shí)期編纂的應(yīng)用題相當(dāng)一部分來(lái)自新近的報(bào)刊,反映了社會(huì)主義建設(shè)飛速大躍進(jìn)的形勢(shì)下,振奮人心、前所未有的新事跡和新成就,“大單位”的學(xué)習(xí)與運(yùn)用是這一時(shí)期應(yīng)用題的主要特點(diǎn)之一。[3]遺憾的是,“大躍進(jìn)”運(yùn)動(dòng)使得“實(shí)用主義”走向了極端,直到1963年5月《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》的頒布,才對(duì)這一極端現(xiàn)象進(jìn)行了糾正,但是刪除“用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題”的做法又矯枉過(guò)正了。[4]

(二)發(fā)展階段:適應(yīng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的“解決問(wèn)題”(1978年—2000年)

“文化大革命”結(jié)束后,教育戰(zhàn)線撥亂反正的急迫任務(wù)之一就是制訂新的大綱。1978年2月,教育部正式頒布《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試行草案)》,有關(guān)“解決問(wèn)題”的教育目的被重新提及,大綱將“逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”作為三大能力(運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力)的歸宿。[5]20世紀(jì)80年代初,我國(guó)開(kāi)始探索“打破單一計(jì)劃經(jīng)濟(jì),與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)相結(jié)合”的道路,到了90年代初,更是作出要實(shí)現(xiàn)計(jì)劃經(jīng)濟(jì)向社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)軌的重要決策。這一新的形勢(shì)下,我國(guó)教育教學(xué)工作者逐漸意識(shí)到,當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教材所涉及的應(yīng)用題未能反映當(dāng)時(shí)如火如荼的經(jīng)濟(jì)大潮,為了加深學(xué)生對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的了解,在初中數(shù)學(xué)教材中補(bǔ)充了復(fù)利、單利、成本、利潤(rùn)計(jì)算等問(wèn)題,為學(xué)生順利地解決市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的基本問(wèn)題奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。[6]1992年,教育部頒布《九年制義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》,這是《義務(wù)教育法》實(shí)施后頒布的首個(gè)大綱,這一版本大綱更加重視解決實(shí)際問(wèn)題,并且提高了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的要求。大綱明確指出:“在解決實(shí)際問(wèn)題中,要使學(xué)生受到把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練,逐步培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。”[7]與此同時(shí),未納入義務(wù)教育的高中學(xué)段開(kāi)始著手將應(yīng)用題納入考試評(píng)價(jià)。1993年6月,嚴(yán)士健、張奠宙、蘇式東在《數(shù)學(xué)通報(bào)》上發(fā)表聯(lián)名文章《數(shù)學(xué)高考能否出點(diǎn)應(yīng)用題》就是對(duì)這一問(wèn)題的呼吁,同年,《中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題集》問(wèn)世。[8]隨后的幾年,從高考對(duì)應(yīng)用題的重視程度可以看出,這一呼吁得到了教育研究和教育教學(xué)一線的積極響應(yīng)。

(三)深化階段:素養(yǎng)導(dǎo)向的“問(wèn)題解決”(2000年至今)

20世紀(jì)末,國(guó)家提出素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的方針,在教學(xué)中更加注重“思維訓(xùn)練”“應(yīng)用能力”和“動(dòng)手能力”的培養(yǎng)。[9]隨后,國(guó)家啟動(dòng)了92版教學(xué)大綱的修訂工作,并于2000年正式頒布。大綱首次將“創(chuàng)新意識(shí)”列入培養(yǎng)目標(biāo),再次提高了對(duì)解決問(wèn)題的要求。這是一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn),從應(yīng)用意識(shí)到創(chuàng)新意識(shí)的轉(zhuǎn)變,標(biāo)志著“解決問(wèn)題”在認(rèn)知行為導(dǎo)向上邁向了更高的層次。與此同時(shí),解決真實(shí)情境中的問(wèn)題也越來(lái)越受到重視。2001年教育部發(fā)布《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》,規(guī)定“從小學(xué)至高中設(shè)置綜合實(shí)踐活動(dòng),并作為必修課程”[10]。這一規(guī)定傳遞了立足學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、回歸學(xué)生生活世界開(kāi)展教育教學(xué)的信息,提倡貼近學(xué)生生活、符合現(xiàn)實(shí)意義的真問(wèn)題。這期間,“創(chuàng)新”“實(shí)踐”與“解決問(wèn)題”共生。但是,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力這雙重目標(biāo)的達(dá)成,任重而道遠(yuǎn)。2010年我國(guó)頒布了《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》(以下簡(jiǎn)稱《綱要》),鞏固了“解決問(wèn)題”在教育教學(xué)中的重要地位。《綱要》要求“著力提高學(xué)生勇于探索的創(chuàng)新精神和善于解決問(wèn)題的實(shí)踐能力”,更是將解決問(wèn)題納入改革與發(fā)展的戰(zhàn)略主題之一。

2011年教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》首次將“解決問(wèn)題”替換為“問(wèn)題解決”。[11]這一變化,不單是將慣用名稱與國(guó)際通用名稱(ProblemSolving)進(jìn)行了統(tǒng)一,更是賦予了它新的教育使命。新使命旨在發(fā)展學(xué)生“分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”能力的同時(shí),培養(yǎng)其“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題”的能力,并且認(rèn)識(shí)到后者才是一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題解決過(guò)程的出發(fā)點(diǎn)。2014年,教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》,提出要構(gòu)建學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系。這一體系的構(gòu)建順應(yīng)了國(guó)際范圍內(nèi)以“知識(shí)社會(huì)”為背景的“關(guān)鍵能力”研究以及“21世紀(jì)型能力”研究?jī)纱蟪绷?[12]要求學(xué)生“善于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,有解決問(wèn)題的興趣和熱情;能依據(jù)特定情境和具體條件,選擇制定合理的解決方案;具有在復(fù)雜環(huán)境中行動(dòng)的能力等”[13]。立足核心素養(yǎng)的背景下,問(wèn)題解決應(yīng)當(dāng)回歸到“人的全面發(fā)展”上來(lái)回答學(xué)與教的問(wèn)題。

三、基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教育研究變遷

新中國(guó)成立后,一線教育工作者對(duì)應(yīng)用題的教學(xué)研究抱有較高的熱情。這些研究以案例的形式,總結(jié)概括了應(yīng)用題的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),諸如《我是如何講解某某應(yīng)用題的》《我對(duì)講解某某應(yīng)用題的一點(diǎn)體會(huì)》《講解某某應(yīng)用題的方法探析》等文章提供的教學(xué)方法或組織形式有著很強(qiáng)的針對(duì)性和可操作性,對(duì)當(dāng)時(shí)的教育教學(xué)實(shí)踐起到了積極的促進(jìn)作用。值得一提的是,已有研究關(guān)注到了“自編題”的教學(xué)。如王厚馀(1955)認(rèn)為,自編應(yīng)用題是創(chuàng)造性的作業(yè),教學(xué)時(shí)不僅要堅(jiān)持深入淺出、由具體到抽象的原則,還要注意題目是否符合實(shí)際;[14]寶應(yīng)實(shí)驗(yàn)小學(xué)算術(shù)教研組(1960)針對(duì)低年級(jí)兒童生活經(jīng)驗(yàn)少的特點(diǎn),提出要運(yùn)用實(shí)物、看圖及生活中常接觸的事物來(lái)指導(dǎo)自編應(yīng)用題。[15]這是我國(guó)早期的“提出問(wèn)題”,雖不成氣候,且略顯生硬,但其進(jìn)步意義是可圈可點(diǎn)的,從現(xiàn)在的視角來(lái)看,當(dāng)時(shí)對(duì)“自編題”的關(guān)注具有一定的前瞻性。與此同時(shí),心理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用題教學(xué)研究有序展開(kāi)。朱曼殊等(1961)[16]、鄭祖心(1964)[17]、茅于燕等(1965)[18]、肖前瑛(1965)[19]、甘遠(yuǎn)英(1966)[20]、陳沛霖等(1965)[21]、陜西師范大學(xué)教育系心理學(xué)教研室(1979)[22]等以學(xué)生視角開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究,并在《心理學(xué)報(bào)》上發(fā)表了相關(guān)成果,其研究結(jié)論通過(guò)剖析學(xué)生思維特點(diǎn)給出教學(xué)建議,邁出了學(xué)習(xí)視角下開(kāi)展教學(xué)研究的重要一步。這些實(shí)驗(yàn)研究大都集中在低學(xué)段的算術(shù)教學(xué)。

20世紀(jì)80年代開(kāi)始,基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教育研究規(guī)模不斷發(fā)展壯大,從分散式的研究轉(zhuǎn)向課題研究,研究層次不斷深入。問(wèn)題解決已由一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的專門論題演變成了整體性數(shù)學(xué)教育的有機(jī)組成成分。[23]從用心理學(xué)的方法設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn),到用心理學(xué)的理論指導(dǎo)教學(xué),數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育與心理學(xué)的深入整合。認(rèn)知結(jié)構(gòu)研究、過(guò)程模型研究、策略研究以及元認(rèn)知研究是基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教育研究重點(diǎn)關(guān)注的四個(gè)方面,每一方面都呈現(xiàn)出較為鮮明的特點(diǎn)。

(一)認(rèn)知結(jié)構(gòu)研究:從具體化到抽象化

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)(曹才翰等,1989)是“學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度,結(jié)合著自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn),組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)”[24],其發(fā)展呈現(xiàn)出從具體到抽象的變化趨勢(shì)。如李士锜(2001)將數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形式表示為由節(jié)點(diǎn)和聯(lián)線組成的網(wǎng)絡(luò),節(jié)點(diǎn)表示數(shù)學(xué)元素或?qū)ο?聯(lián)線表示元素之間存在的穩(wěn)定關(guān)系。[25]喻平、單遵(2003)基于圖式提出的CPFS結(jié)構(gòu)理論,用概念域(ConceptField)、概念系(ConceptSystem)、命題域(PropositionField)以及命題系(PropositionSystem)來(lái)描述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。[26]隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)不斷深入,數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系逐步發(fā)展為以圖式為基礎(chǔ)的不同層次的抽象關(guān)系,這樣的變化不僅表現(xiàn)為認(rèn)知結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的增加與豐富,還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)在不同水平上的抽象概括。認(rèn)知結(jié)構(gòu)抽象化呈現(xiàn)出的不同水平為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究提供了更為具體的研究工具。數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象概括水平越高,越有利于學(xué)生已有知識(shí)的遷移,越有利于迅速解決那些需要結(jié)合實(shí)際情境作出分析和調(diào)整的新問(wèn)題。

(二)過(guò)程模型研究:從單一化到多元化

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決模型的建構(gòu)呈現(xiàn)出從單一到多元演化的特點(diǎn)。我國(guó)早期較為經(jīng)典的模型結(jié)構(gòu)主要反映的是以認(rèn)知因素為基礎(chǔ)的信息加工方式。如張春莉(1998)提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的信息加工模式,[27]單遵、喻平(2000)提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模式。[28]隨著對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決影響因素研究的不斷深入,一些外部的、非認(rèn)知的因素被納入數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的模型中。如李明振等(2006)構(gòu)建的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模式,[29]龐麗娟等(2008)構(gòu)建的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的生態(tài)模式。[30]這些研究在信息加工學(xué)的基礎(chǔ)之上得到進(jìn)一步豐富,既考慮到了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法與元認(rèn)知等認(rèn)知要素,還考慮到動(dòng)機(jī)、興趣、態(tài)度、情緒、意志品質(zhì)等情感態(tài)度要素,以及不同學(xué)校環(huán)境、家庭環(huán)境、社會(huì)環(huán)境下學(xué)生形成的不同活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、不同文化背景等外部要素。同時(shí),內(nèi)部要素之間、內(nèi)部要素與外部要素之間存在的循環(huán)結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步詮釋。過(guò)程模型研究的多元化為改進(jìn)用于教學(xué)和評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了借鑒。越是真實(shí)的問(wèn)題越容易受到幾個(gè)相互疊加的情境的限制,越需要學(xué)生挖掘自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),越需要學(xué)生重新整合問(wèn)題中的信息條件,這些條件可能隱含在背景信息中,可能受到一些信息干擾,還可能隨著時(shí)間的變化而改變,需要分情況討論。優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)充分調(diào)動(dòng)影響問(wèn)題解決的內(nèi)、外部要素之間的相互作用。這一變化趨勢(shì)與當(dāng)前國(guó)際教育對(duì)復(fù)雜大環(huán)境中的行動(dòng)能力的提倡是一致的。

(三)策略研究:從分散到分類,再到高度概括

關(guān)于策略研究,由于出發(fā)點(diǎn)及分類的不同,因而其提法也有所差異。[31]數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略研究經(jīng)歷了從分散到分類再到高度概括的過(guò)程。羅增儒(1997)提出的數(shù)學(xué)解題的十大策略,[32]以及朱成杰(2001)提出的十種數(shù)學(xué)思想方法[33]都是相對(duì)具體的。進(jìn)一步的研究關(guān)注了“策略”和“方法”的區(qū)別與聯(lián)系,將“方法”從“策略”內(nèi)涵中剝離出來(lái)。喻平(2002)將“策略”界定為“方法”的上位概念,提出解題策略處于解題方法之上,在解題中起指導(dǎo)作用,解題策略融于解題方法之中,兩者相互依存。[34]如歸納思想是上位于猜想法、枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計(jì)推斷、因果分析、觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類的解題策略,又如演繹思想是上位于綜合法、分析法、反證法、同一法的解題策略。這既是對(duì)具體方法的分類,又是對(duì)解題策略的再認(rèn)識(shí)。史寧中(2011)對(duì)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了高度概括,并指出3種數(shù)學(xué)基本思想(抽象、推理和模型)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用,即通過(guò)抽象,把外部世界與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部,形成數(shù)學(xué)研究的對(duì)象;通過(guò)推理,得到數(shù)學(xué)的命題和計(jì)算方法,促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展;通過(guò)模型,創(chuàng)造出具有表現(xiàn)力的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。[35]數(shù)學(xué)基本思想作為統(tǒng)整整個(gè)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的思想,它所呼吁的“抽象地、一般性地看問(wèn)題,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、有邏輯地思考?wèn)題,簡(jiǎn)捷地、符號(hào)化地表達(dá)問(wèn)題”是學(xué)生應(yīng)對(duì)未來(lái)社會(huì)發(fā)展與挑戰(zhàn)的關(guān)鍵能力,是直接作用于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的上位指導(dǎo)思想。立足數(shù)學(xué)基本思想探討數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué),為學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)提供了更強(qiáng)勁的引領(lǐng)作用,也間接回應(yīng)了“數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)什么人”的問(wèn)題。

(四)元認(rèn)知研究:從內(nèi)隱到外顯

元認(rèn)知不同于一般的能力傾向,是一種獨(dú)立的認(rèn)知過(guò)程。[36]元認(rèn)知的內(nèi)隱性是早期研究達(dá)成的普遍共識(shí)。相應(yīng)地,其教學(xué)只能借助一定的載體,以滲透的方式給予學(xué)生潛移默化的影響。解題的元認(rèn)知由主體的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)和元認(rèn)知監(jiān)控組成,其中元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的成分包括元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)。[37]在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中,數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)包括主體性知識(shí)、客體性知識(shí)和策略性知識(shí);數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗(yàn)包括修正目標(biāo)、改組元認(rèn)知知識(shí)、激活策略等;數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控包括監(jiān)控解題方向、監(jiān)控解題過(guò)程和監(jiān)控認(rèn)知策略。[38]一些研究者對(duì)元認(rèn)知在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的作用進(jìn)行了研究,如李建才(1998)指出“數(shù)學(xué)元認(rèn)知在目標(biāo)認(rèn)定與計(jì)劃擬定、解題進(jìn)程的監(jiān)控和解題后的反思三個(gè)方面發(fā)揮了重要的作用”[39];朱德全(1997)認(rèn)為“元認(rèn)知能夠修正數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的目標(biāo),能夠激活和改組數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略,能夠強(qiáng)化解題者在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的主體意識(shí)”[40]等。隨著數(shù)學(xué)元認(rèn)知的結(jié)構(gòu)研究走向成熟,研究者嘗試建立元認(rèn)知與學(xué)習(xí)行為之間的關(guān)系。如章建躍(1999)編制的“數(shù)學(xué)解題自我監(jiān)控能力問(wèn)卷”,涉及計(jì)劃、調(diào)節(jié)、檢驗(yàn)、管理、評(píng)價(jià)五個(gè)因素,該問(wèn)卷具有較高的信度。[41]元認(rèn)知研究的外顯化受到新的評(píng)價(jià)范式的影響。由于評(píng)價(jià)的目的不再是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行審查,而是試圖影響學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程,解題元認(rèn)知的評(píng)價(jià)結(jié)果就應(yīng)當(dāng)服務(wù)于學(xué)生元認(rèn)知水平的提高,服務(wù)于學(xué)生問(wèn)題解決能力的發(fā)展。更為具體的做法是探明與元認(rèn)知成分對(duì)應(yīng)的可干預(yù)的外顯行為,以可觀察、可測(cè)量的行為為出發(fā)點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑的精神,提高學(xué)生問(wèn)題解決的成就感,從而提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力,提高數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的品質(zhì)。

四、基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教育研究展望

已有研究大都是以成功地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)者為研究對(duì)象,或是以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的專家和新手之間的比較研究為切入點(diǎn)。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的解題過(guò)程模式能夠給問(wèn)題解決的新手或者多次嘗試后仍不能尋求突破的學(xué)生提供一個(gè)相對(duì)規(guī)律性的解題“流程”,顯然這一“流程”也是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的重要參考。但是,數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程模式對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的作用是間接的,它尚不能指導(dǎo)教師如何將復(fù)雜的或陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題一步步分解為接近學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知圖式、符合學(xué)生已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。于教師而言,他們需要一個(gè)更為直接的路徑來(lái)指導(dǎo)自己分階段地開(kāi)展教學(xué),學(xué)生將在這一過(guò)程中實(shí)現(xiàn)多次認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。

(一)關(guān)注同一情境中的不同結(jié)構(gòu),以及同一結(jié)構(gòu)在不同情境間的遷移

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究通常具體到不同的類型。行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、銷售問(wèn)題等是根據(jù)問(wèn)題的表面特征進(jìn)行分類的,這種傳統(tǒng)的分類形式本質(zhì)上是同一層次的橫向區(qū)分,不能反映問(wèn)題結(jié)構(gòu)的梯度,忽視了不同類型數(shù)學(xué)問(wèn)題解決在結(jié)構(gòu)上的共性與差異,更不能清楚地呈現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是如何進(jìn)行重組、拓展和完善的。隨著心理學(xué)理論越來(lái)越多地介入數(shù)學(xué)教育研究,問(wèn)題類型的劃分依據(jù)逐漸從表面特征轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)特征。在上述幾類問(wèn)題仍廣泛存在于中小學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)素材的情況下,關(guān)注同一情境中的不同結(jié)構(gòu)以及同一結(jié)構(gòu)在不同情境中的遷移,能夠讓這些傳統(tǒng)素材發(fā)揮更大的作用。

遷移理論傾向于用問(wèn)題的相似性來(lái)描述問(wèn)題與問(wèn)題之間復(fù)雜的關(guān)系系統(tǒng)。問(wèn)題的表面特征與結(jié)構(gòu)特征是影響問(wèn)題相似性的兩個(gè)重要方面。問(wèn)題的相似具有連續(xù)性,當(dāng)表面特征相近時(shí),問(wèn)題的相似性存在兩個(gè)極端:“在一個(gè)極端上,兩個(gè)問(wèn)題可能相似到完全相同;在另一個(gè)極端上,兩個(gè)問(wèn)題可能僅僅看作是相似,因?yàn)樗鼈兪遣煌膯?wèn)題?！盵42]舉例來(lái)說(shuō),需要一次軸對(duì)稱變換解決的最短路徑問(wèn)題,與需要一次平移變換解決的最短路徑問(wèn)題,即使情境相近,其結(jié)構(gòu)也是不同的。再如,相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、往返運(yùn)動(dòng)問(wèn)題雖然都?xì)w于行程問(wèn)題,但解決它們所需要的圖式水平是不同的,能夠解決相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題的學(xué)生,卻不一定能解決往返運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,其原因在于學(xué)生從低圖式水平向較高圖式水平進(jìn)階的過(guò)程中存在障礙。同樣,表面特征存在差異的問(wèn)題,其結(jié)構(gòu)特征也有可能是相同或相近的。例如,打電話模型與細(xì)胞分裂問(wèn)題有著相近的結(jié)構(gòu),“接到通知的學(xué)生可以繼續(xù)傳遞通知”相當(dāng)于“分裂出的細(xì)胞還會(huì)繼續(xù)分裂”。類似的,這一結(jié)構(gòu)還可以遷移到浮萍生長(zhǎng)和某些傳染病傳播的問(wèn)題中。又如,蓄水池問(wèn)題與人口模型有著相近的結(jié)構(gòu),蓄水池的進(jìn)水速度和排水速度相當(dāng)于人口的出生率和死亡率。類似的,這一結(jié)構(gòu)還可以遷移到機(jī)場(chǎng)和碼頭的調(diào)度問(wèn)題中。有學(xué)者指出:“問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的意義在于,不僅要學(xué)會(huì)解決與樣例問(wèn)題表面特征相同的問(wèn)題,還要學(xué)會(huì)解決與樣例表面特征不完全相同的問(wèn)題,更要學(xué)會(huì)解決與樣例問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征有很大差別的問(wèn)題?！盵43]而達(dá)到這一要求的前提是對(duì)教學(xué)素材的表面特征和結(jié)構(gòu)特征有著清晰且深入的認(rèn)識(shí)。

(二)為知識(shí)、技能向問(wèn)題解決能力的轉(zhuǎn)化匹配學(xué)習(xí)條件

新世紀(jì)我國(guó)參與了多次國(guó)際教育評(píng)估項(xiàng)目,并取得了優(yōu)異的成績(jī)。在最新公布的PISA2018測(cè)試中,我國(guó)四省市(北京、上海、江蘇、浙江)學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)三個(gè)領(lǐng)域的平均成績(jī)?cè)趨y(cè)國(guó)家(地區(qū))中均排第一。令人欣慰的是,這一測(cè)評(píng)結(jié)果并沒(méi)有讓我們盲目地陷入自我崇拜?！癙ISA 重在考查學(xué)生生活中運(yùn)用知識(shí)和技能解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力”,參與測(cè)評(píng)的四省市在這一方面表現(xiàn)突出,卻不能反映我國(guó)教育改革與發(fā)展的平均水平,“校際均衡”與“城鄉(xiāng)均衡”等問(wèn)題仍需要特別關(guān)注。[44]因此,在今后相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里,促進(jìn)知識(shí)、技能向問(wèn)題解決能力的轉(zhuǎn)化對(duì)我國(guó)絕大部分地區(qū)來(lái)說(shuō)仍然是教育改革亟須突破的難點(diǎn)。從我國(guó)教育發(fā)達(dá)地區(qū)汲取經(jīng)驗(yàn)的同時(shí),需要特別關(guān)注作為轉(zhuǎn)化條件的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、問(wèn)題圖式、數(shù)學(xué)思想方法、情感態(tài)度、教學(xué)策略等,基于這些條件探索行之有效的轉(zhuǎn)化途徑于縮小區(qū)域差異而言無(wú)疑是有益的。當(dāng)然,數(shù)學(xué)問(wèn)題解決在不同階段所需要的學(xué)習(xí)條件不應(yīng)一概而論。這里的“階段”不應(yīng)再局限于“方法”“步驟”,而是要與圖式的發(fā)展和進(jìn)階相匹配。例如,在較低的圖式發(fā)展階段,題目信息的篩選、計(jì)算準(zhǔn)確性的監(jiān)控更為重要,教學(xué)上可以樣例教學(xué)為主;而在較高的圖式發(fā)展階段,數(shù)量關(guān)系的分解與整合、模式的識(shí)別、錯(cuò)誤的歸因更為重要,教學(xué)上可以由變式練習(xí)向自主探究過(guò)渡,引導(dǎo)學(xué)生在更為復(fù)雜的情境提出解決方案、建立數(shù)學(xué)模型、驗(yàn)證調(diào)整模型、得出結(jié)論。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決涉及數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用,相對(duì)于數(shù)學(xué)概念與規(guī)則的學(xué)習(xí)而言,是更為復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程。明確數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)在不同階段所需要的內(nèi)、外部條件,有利于為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)有效的外部環(huán)境。

(三)加強(qiáng)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)研究

認(rèn)知結(jié)構(gòu)與認(rèn)知行為是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的兩個(gè)重要方面。于學(xué)生而言,圖式反映的是學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),是內(nèi)部的;認(rèn)知過(guò)程通過(guò)外顯行為來(lái)表現(xiàn),是外部的。唯物辯證法認(rèn)為,外因往往通過(guò)內(nèi)因發(fā)揮作用。這就意味著,認(rèn)知結(jié)構(gòu)與認(rèn)知行為之間存在著某種關(guān)聯(lián)。然而,基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)問(wèn)題解決進(jìn)行評(píng)價(jià)是不易操作的,打通內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)與認(rèn)知行為的關(guān)系是建立可觀察的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決評(píng)價(jià)機(jī)制的前提。因此,后續(xù)的研究迫切需要解決的是,處于不同圖式水平的學(xué)生的認(rèn)知行為是怎樣的? 其認(rèn)知行為表現(xiàn)出怎樣的共性與差異? 從低水平圖式到高水平圖式的發(fā)展過(guò)程,學(xué)生的認(rèn)知行為呈現(xiàn)出怎樣的趨勢(shì)? 要想回答這些問(wèn)題,需要進(jìn)一步的實(shí)證研究結(jié)果來(lái)解釋。

隨著影響數(shù)學(xué)問(wèn)題的因素從學(xué)生內(nèi)部的一些認(rèn)知的與非認(rèn)知的因素拓展到一些外部環(huán)境因素,數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的評(píng)價(jià)也逐步走出數(shù)學(xué)內(nèi)部,不僅要對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部的推理與運(yùn)算進(jìn)行評(píng)價(jià),還要對(duì)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力進(jìn)行評(píng)價(jià)。實(shí)際情境中,能夠解決數(shù)學(xué)問(wèn)題卻不能解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)生不在少數(shù)。例如,能夠解決一筆畫(huà)問(wèn)題,卻不能解決七橋問(wèn)題。可見(jiàn),具備相同知識(shí)、技能、思想方法、情感態(tài)度的學(xué)生,面對(duì)不同情境時(shí)仍有可能作出不同的表現(xiàn)。一方面是由于學(xué)生對(duì)條件信息的分析能力存在差異,如“能否區(qū)分有用信息與無(wú)用信息,能否用圖、表、符號(hào)組織和表征題目中的信息,能否意識(shí)到條件變化對(duì)數(shù)量關(guān)系的影響”等;另一方面是由于學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象概括能力存在差異,如“能否用數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系表示生活中的情境,已經(jīng)概括出的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系能否保證對(duì)所有的條件都成立”等。所以,在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)與評(píng)價(jià)中強(qiáng)調(diào)情境化是十分必要的。情境化的問(wèn)題可以是面向?qū)W生個(gè)人的,也可以是面向?qū)W生所處的群體的、甚至是社會(huì)的。諸如生活經(jīng)驗(yàn)、文化背景等外部因素都會(huì)影響到學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決評(píng)價(jià)的難點(diǎn)一方面在于表現(xiàn)性任務(wù)的設(shè)計(jì),另一方面在于問(wèn)題的編碼,認(rèn)知結(jié)構(gòu)與學(xué)生行為的對(duì)應(yīng)關(guān)系能夠?yàn)樵u(píng)價(jià)編碼提供依據(jù)。

總的來(lái)說(shuō),基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教育研究已取得多方面的進(jìn)展,但仍有待進(jìn)一步深入。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)研究應(yīng)當(dāng)成為輔助學(xué)生問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的“支架”,而不是束縛學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造力的障礙。因此,基于學(xué)生圖式發(fā)展的不同水平劃分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)階段,為不同階段匹配相應(yīng)的教學(xué)條件,根據(jù)問(wèn)題的表面特征和結(jié)構(gòu)特征重新審視傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,以表現(xiàn)性評(píng)價(jià)為導(dǎo)向開(kāi)發(fā)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題是今后數(shù)學(xué)教育研究的主要方向。