王霞

【摘要】本文論述基于錯題資源改進小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐，提出基于錯題反饋，促使新知建立;基于錯題分析，促進知識理解;基于錯題積累，改進教學(xué)方式等策略。

【關(guān)鍵詞】錯題資源 題目分析 教學(xué)實踐 改進策略

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）33-0144-05

錯題是各學(xué)科教學(xué)的重要資源，尤其對更強調(diào)練習(xí)操作的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，教師需要在教學(xué)實踐中不斷收集各種典型錯題，形成錯題資源庫，并在課堂中開展錯題評講、訂正，深入分析錯題、變式錯題，讓學(xué)生基于錯題的資源以及對錯題的合理利用，有效地建立新知、加深對知識的理解與養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

一、基于錯題反饋，促使新知建立

教師在新授課之前，可以總結(jié)學(xué)生在課后練習(xí)中出現(xiàn)的錯題，并基于這種反饋，調(diào)整原有教學(xué)方法和策略，促進學(xué)生更好地建立新知系統(tǒng)。在新課教學(xué)中利用錯題資源改進教學(xué)，主要從新知教學(xué)和新知練習(xí)兩個方面著手。

（一）基于學(xué)情及時調(diào)整方法

課堂教學(xué)前，一部分家長在家和孩子一起學(xué)習(xí)教材，一部分家長把孩子送去各種課外輔導(dǎo)班，這在一定程度上提高了學(xué)生的知識起點，但他們沒有積累相關(guān)的生活經(jīng)驗、操作經(jīng)驗，這導(dǎo)致他們在學(xué)習(xí)新課時容易出現(xiàn)“夾生飯”現(xiàn)象?；谶@樣的學(xué)情，教師要提高新知教學(xué)的質(zhì)量，可以通過“引”和“導(dǎo)”兩個步驟實現(xiàn)。

1.以辯引教

在每一節(jié)新課中，學(xué)生的學(xué)習(xí)都是有基礎(chǔ)的，即具有一定的認(rèn)知起點。因此，教師在進行教學(xué)預(yù)設(shè)時，應(yīng)該了解學(xué)情，把握學(xué)生的認(rèn)知起點;在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)過于偏離學(xué)生認(rèn)知起點，出現(xiàn)學(xué)生對知識的錯誤理解，需即時調(diào)整方法，以符合學(xué)生的認(rèn)知水平與學(xué)習(xí)特點。

例如，在人教版數(shù)學(xué)二年級上冊《乘法的初步認(rèn)識》第一課時中，有這樣一道題目（見圖1），筆者讓學(xué)生想一想如何解。在答題環(huán)節(jié)，一名基礎(chǔ)相對較好的學(xué)生說算式是“6×10”，但大部分學(xué)生說不對，因為乘法口訣里最多到“六九五十四”，沒有“六乘十是多少”這句口訣，所以他們認(rèn)為這個算式是錯誤的，并提出“9×6+6”才是正確的算式。從學(xué)生的這個錯題中，不難看出學(xué)生對乘法意義的理解有所缺失，他們知道乘法是求幾個相同加數(shù)和的簡便計算，但受口訣影響，認(rèn)為乘數(shù)大小不可以超過9。

了解了學(xué)生的實際認(rèn)知情況后，筆者立即修改教學(xué)策略，通過以辯引教的方式幫助學(xué)生建立新知。

板書：10×6? ?9×6+6

師：剛才同學(xué)們各自闡述了自己的想法，現(xiàn)在請大家想一想，到底誰說的有道理，誰列的算式才是正確的呢。

生1：我覺得第一個更好一些，第二個有點復(fù)雜。

生2：其實兩個算式的計算結(jié)果都是一樣的啊，第二個算式中9個6加上1個6也是10個6。

……

教師及時調(diào)整教學(xué)方法，利用學(xué)生的認(rèn)知差異，引導(dǎo)他們在辯一辯的過程中從加法出發(fā)，逐步走向乘法，進一步厘清乃至明確加法與乘法之間的關(guān)系，進而理解乘法的本質(zhì)意義。

2.以范導(dǎo)學(xué)

解決數(shù)學(xué)問題，不僅需要知識基礎(chǔ)，還需要生活經(jīng)驗的支撐。但小學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗是現(xiàn)狀，也是問題。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師常出現(xiàn)高估學(xué)生經(jīng)驗起點的情況，即學(xué)生會算，但不清楚算式的意義，不會聯(lián)系具體生活經(jīng)驗解決問題。

例如，在人教版數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)乘法》一課中，筆者進行小數(shù)乘小數(shù)例題教學(xué)后，出示一道題目：有15個小朋友去公園玩旋轉(zhuǎn)木馬，每人的門票2.5元，一共需要多少錢？

師：右邊豎式中的“75“表示什么意思？

生1：表示75個0.5元。

生2：表示75個1元。

生3：表示75個0.1元。

從學(xué)生的回答可以發(fā)現(xiàn)，雖然他們能列豎式解答，但對豎式中每一個步驟所指的意思并不清晰。對此，筆者修改策略，主要采取以范導(dǎo)學(xué)的方式，讓學(xué)生在實際的例子中理解數(shù)學(xué)的意義。

師：你（指生3）說表示75個0.1元，能具體說一說為什么嗎？

生3：因為75是用十分位上的數(shù)去乘15得出的結(jié)果，所以得到的數(shù)就是表示幾個0.1。

經(jīng)過師生交流后，學(xué)生明白了“75”的意義，即表示7.5元。以此類推，筆者讓學(xué)生理解豎式中“30”表示什么時，學(xué)生很快回答出是表示30個1元，同時理解了將兩個步驟的錢數(shù)相加，就是最后需要的木馬門票錢37.5元?？梢?，在學(xué)生不能理解某個步驟的計算含義時，教師給出范例可以幫助他們迅速理解算式的算理和意義。

（二）基于反饋改變練習(xí)梯度

艾賓浩斯的遺忘曲線揭示一個規(guī)律：知識的習(xí)得要通過一定的練習(xí)來鞏固。尤其是數(shù)學(xué)不同于語文、英語等學(xué)科，知識需要學(xué)生在課堂內(nèi)外通過大量的練習(xí)來鞏固、提升。教師在布置練習(xí)作業(yè)時，可以基于學(xué)生的出錯點，分層設(shè)計題目，使得練習(xí)有梯度、學(xué)習(xí)有溫度。

1.調(diào)整練習(xí)難度

知識的學(xué)習(xí)應(yīng)該是循序漸進的，練習(xí)也是如此。如果教師不能依據(jù)學(xué)生的實際水平布置練習(xí)任務(wù)，那么難度過高則與學(xué)生的能力脫節(jié)，有拔苗助長之嫌，影響新知鞏固;難度過低則令學(xué)生只在低水平徘徊，影響后繼學(xué)習(xí)。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級上冊《倍的認(rèn)識》一課時，筆者展示以下題目（見圖2），第（1）問比較簡單，學(xué)生較快計算出答案;雖然有第（1）問作為鋪墊，但學(xué)生在解答第（2）問時還是沒有思路，遲遲不能下筆。總結(jié)原因，是該小問的難度較第（1）問大很多，偏離了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，不利于學(xué)生新知的建立、鞏固。

于是，筆者在教學(xué)中設(shè)置以下練習(xí)（見圖3），幫助學(xué)生積累一些基本經(jīng)驗，讓他們借助這個梯度，逐步提升習(xí)題的難度。在圖3中，筆者把與黑圓相等數(shù)量的白圓圈起來，這樣學(xué)生能清楚地看到白圓是黑圓的幾倍，有利于加深學(xué)生對倍的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生思考第（2）問，學(xué)生更易解出答案。

2.變化練習(xí)方式

單一的練習(xí)形式會禁錮學(xué)生對知識的理解，教師要基于錯題反饋，不斷變化練習(xí)題的題型，讓學(xué)生接觸更多題目變式，增加多樣化的解題經(jīng)驗。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義》后，學(xué)生能清楚地說明1[13]的意義。但是在下面的練習(xí)中（如圖4），筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生找不到1[13]的位置。顯然學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解停留在表面，當(dāng)換一種形式考查就直接暴露了他們認(rèn)識上的不足。究其原因，筆者總結(jié)了兩點：第一，教學(xué)時教師關(guān)注的是把單位“1”平均分成了幾份，而缺少對單位“1”本身的關(guān)注。第二，教材、習(xí)題中單位“1”都是已知的，不需要自行定義。針對這一情況，教師要在習(xí)題設(shè)計中做出變化，以從不同角度檢測學(xué)生的掌握情況。在實際教學(xué)中，筆者依照這道錯題，設(shè)計了以下練習(xí)（如圖5）。

在這道錯題變式中，沒有限定單位“1”，學(xué)生可以先確定“1”，然后平均分4份，再標(biāo)出[14];或者先標(biāo)出[14]，再增加3個[14]，就可以確定“1”。這樣的練習(xí)有助于強化學(xué)生對單位“1”的認(rèn)識，回頭再解錯題時，更容易鎖定準(zhǔn)確答案。

二、基于錯題分析，促進知識理解

在教學(xué)新課后，教師要及時收集和分析學(xué)生的錯題，以改進后續(xù)教學(xué)與相關(guān)練習(xí)題的教學(xué)策略，促進、鞏固學(xué)生對知識的理解。

（一）改進連續(xù)課教學(xué)

一個數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)，通常需要分幾個課時進行。這些課之間有連續(xù)性，所以稱為“連續(xù)課”。在連續(xù)課的教學(xué)中，分析錯題并依其結(jié)果進行下一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，會顯得更有針對性。聯(lián)、補、整是教師改進連續(xù)課教學(xué)的三大策略，其能促進課堂教學(xué)效率顯著提升。

1.整體關(guān)聯(lián)

尋找課之間的整體聯(lián)系，即要求教師在新授課時能夠整理前后知識之間的聯(lián)系，減少教學(xué)中錯誤的產(chǎn)生。

例如，筆者在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級上冊《多邊形面積計算》一課時，出示了一道練習(xí)題（見圖6）。讀題后，學(xué)生一下子找不到解決問題的關(guān)鍵，只想到了陰影部分的面積可以用大面積減去小面積。是題目太難了嗎？其實不然，只是學(xué)生沒有形成動態(tài)的解題思路，而教師在新課教學(xué)中忽視了這方面的引導(dǎo)。

其實，在圖形的教學(xué)過程中，教師不僅要關(guān)注計算的方法，而且要關(guān)注不同圖形之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從整體上去比較、反思圖形，感受它們之間的聯(lián)系，體會其中的“轉(zhuǎn)化”思想。多邊形面積計算教學(xué)中，不管是平行四邊形、三角形還是梯形的面積計算公式推導(dǎo)，進行圖形轉(zhuǎn)化的方法雖不同，分別有平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等（如圖7），但背后的本質(zhì)是相同的，都是把未知轉(zhuǎn)化成已知?？梢?，找到知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用動態(tài)的眼光去看待問題，積極培養(yǎng)動態(tài)思維，有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，避免出現(xiàn)錯題。

2.補充例題

每節(jié)課之間都是遞進關(guān)系，又有各自清晰的教學(xué)任務(wù)。上一節(jié)課的知識沒有掌握扎實，自然會影響下一節(jié)課的學(xué)習(xí)。這里提及的“補”的策略，是指對上一節(jié)課的不扎實之處進行補充教學(xué)，即據(jù)相關(guān)錯題補充例題，彌補學(xué)生的短板。例如，人教版數(shù)學(xué)三年級上冊《萬以內(nèi)加減法二》這一單元，第一節(jié)課內(nèi)容是萬以內(nèi)加減法的不連續(xù)進位加法，學(xué)生在做練習(xí)題時易錯點是忘記進位（見圖8），因此筆者在教學(xué)第二節(jié)課《連續(xù)進位加法》時，適當(dāng)修改例題（見圖9）。

修改后的習(xí)題增加了更多信息，如“245+127”“245+298”“127+298”等。這樣設(shè)計題目不僅增加了練習(xí)的量，并且能讓學(xué)生在練習(xí)中理解有些計算是只進位1次，有些連續(xù)進位，有些是不連續(xù)進位等知識點，如“245+127”只進位1次，“245+298”“127+298”連續(xù)進位2次。針對學(xué)生的錯題補充這道練習(xí)題，能有效地突破教學(xué)難點，促進學(xué)生筆算技能提升。

3.整合習(xí)題

出現(xiàn)錯題，除了學(xué)生自己的原因，還有教師教學(xué)設(shè)計，甚至教材編排等原因。教師要對錯題追根問底，找到具體的原因，再根據(jù)原因改進教學(xué)，把相關(guān)的錯題整合在連續(xù)課的鞏固或拓展練習(xí)中，幫助學(xué)生進一步厘清知識的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系，提升課堂教學(xué)效率。

例如，人教版數(shù)學(xué)二年級下冊《有余數(shù)除法》一課的練習(xí)題中，有一道是：一共有28盆花，每5盆擺成一組，最多可以擺幾組？還剩幾盆？學(xué)生解這類題存在的困難是不知道什么時候用“進一法”，什么時候用“去尾法”。分析錯因，主要是教材編排的例題比較單一，都是采用“進一法”。課中教師對例題講解相對詳細，使得學(xué)生對其印象更為深刻。雖然鞏固練習(xí)中有“去尾法”的應(yīng)用，但教材沒有把兩種方法進行整合，也沒有相應(yīng)的補充練習(xí)，學(xué)生無法將這兩種方法很好地整合應(yīng)用。對此，筆者認(rèn)為可以在連續(xù)課的鞏固練習(xí)中增加整合的習(xí)題（見圖10）。

這道整合習(xí)題中包含著兩個問題，其解題思路迥然不同，如第一個問題：如果都坐大車，至少需要租幾輛大車？計算時用37除6，等于6余1，要滿足所有人都要坐車，則要采用“進一法”，即在6的基礎(chǔ)上加1，答案為至少需要租7輛大車;第二個問題：可以坐滿幾輛小車？還剩幾人？意思是沒有坐滿就不用算，因此計算時用37除4，等9余1，采用“去尾法”將1去掉即可得到最終答案。在一道習(xí)題中整合兩種方法，引導(dǎo)學(xué)生展開對比、分析，進一步理解“進一法”和“去尾法”的內(nèi)涵。

（二）改進練習(xí)課教學(xué)

以學(xué)生的錯題為資源，通過對比、分析、修改等方式不斷變式錯題，可以幫助學(xué)生更好地鞏固舊知，提升學(xué)習(xí)能力。

1.反思引入

在練習(xí)課中，教師需要選擇典型、有價值的錯題，引導(dǎo)學(xué)生進行討論、對比與交流，讓學(xué)生明確錯因，找到解決問題的辦法，從而更好地掌握知識。例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)四年級上冊《多位數(shù)除以一位數(shù)》一課后，筆者給出一道商中間有“0”的除法習(xí)題，許多學(xué)生沒有答對。結(jié)合這道錯例，筆者先剖析錯因：在列豎式計算時，學(xué)生忘記用0來占位，所以導(dǎo)致結(jié)果出錯。在教師的提示下，學(xué)生重新計算，獲得正確的商（見圖11）?？梢姡ㄟ^呈現(xiàn)錯題，讓學(xué)生交流、反思錯誤，可促進知識理解。

2.多樣結(jié)合

錯題往往是學(xué)生較難理解的內(nèi)容。教師在講解錯題時，如果發(fā)現(xiàn)效果不好，那么可以在練習(xí)課中改變教學(xué)形式，把錯題與情境、圖形、表格等內(nèi)容結(jié)合起來，幫助學(xué)生更好地理解題意，然后準(zhǔn)確解題。例如，人教版數(shù)學(xué)四年級上冊《多位數(shù)除以一位數(shù)》一課的習(xí)題420÷4，其商中間有“0”，學(xué)生列豎式計算時容易出錯。對此，筆者利用小棒圖示幫助學(xué)生構(gòu)建直觀的畫面（見圖12），使其理解中間的2捆小棒不能直接分，要按照20根小棒來分，這樣每份得到5根，而5要寫在個位上，十位沒有數(shù)字則用“0”占位。

3.變式鞏固

對學(xué)生而言，聽過的、看過的習(xí)題，都不如做過的習(xí)題印象深刻。因此，教師僅僅講解錯題和讓學(xué)生討論錯題是不夠的，還需要設(shè)計相應(yīng)的變式練習(xí)題。例如，人教版數(shù)學(xué)四年級下冊《小數(shù)的近似數(shù)》中一道錯題（見圖13），筆者將其進行兩種變式（見圖14和圖15）。變式一是把近似數(shù)的數(shù)位進行簡單改變，是針對典型錯題的簡單鞏固;變式二則是對錯題的正向鞏固，會涉及0的處理。通過這樣的變式練習(xí)，學(xué)生不斷調(diào)整找近似數(shù)的策略，從而加深對近似數(shù)的理解。

三、基于錯題積累，改進教學(xué)方式

（一）海量積累資源

教師大量收集與整理錯題，并進行相應(yīng)的分析與處理，尋找到錯題之間的聯(lián)系，可以有效改進教學(xué)。

1.分類錯題，關(guān)注本質(zhì)

教師把同一單元或相類似的錯題進行分類整理，并對分類的結(jié)果進行深入的分析，從中歸納總結(jié)學(xué)生在某一類題出錯的根本原因，直達問題的本質(zhì)，提煉解題策略。

例如，人教版數(shù)學(xué)四年級下冊《運算定律的復(fù)習(xí)》一課中，筆者總結(jié)發(fā)現(xiàn)乘法分配律的變式最多，學(xué)生錯題也較多，主要出錯點有公式混淆、運算定律之間張冠李戴、沒有簡算意識、不能靈活簡算、容易受特殊數(shù)據(jù)的影響等（見圖16）。筆者在復(fù)習(xí)課中觀察、修改錯題，幫助學(xué)生從運算定律中找到錯誤原因，然后提供一定量的練習(xí)題，使學(xué)生在練習(xí)中不斷鞏固算法。

2.精選錯題，拓展思維

在不斷練習(xí)的過程中，學(xué)生出現(xiàn)的錯題逐漸增加，錯題涉及方方面面的知識，教師在課堂中難以做到對每一道錯題都講解分析，只能精選典型錯題，通過分析典型錯題引導(dǎo)學(xué)生觸類旁通，使其在不斷解決同質(zhì)問題的過程中，體味方法，自主建構(gòu)模型。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)六年級上冊《分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》一課，筆者發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，學(xué)生對題目中的“率”和“量”容易混淆和出錯。借助這樣的錯題，教師可以不斷變式題目，使學(xué)生接觸更多的學(xué)習(xí)資源。如根據(jù)圖17中的題目，變化出三種類型的題目（見圖18、圖19、圖20）。

通過對比變式一與原題，可以讓學(xué)生明確“量”和“率”可以通過最直觀的單位名稱來區(qū)分;通過對比變式二與原題，可以讓學(xué)生理解比較“量”與“率”的大小，取決于單位“1”的量是多少;通過觀察變式三，比較題中“用去的”和“剩下的”的大小，可以讓學(xué)生明白“量”和“率”在比較部分和整體的關(guān)系時起不同作用。這幾道變式題，進一步強化學(xué)生對“量”和“率”之間的區(qū)別、聯(lián)系、作用等方面的理解，進而幫助他們拓寬思路，積累解決類似問題的經(jīng)驗。

（二）重視多樣積累

錯題是一種教學(xué)資源，教師與學(xué)生均要重視其多樣化積累，對教學(xué)中、作業(yè)中、考試中或者課外補習(xí)中遇到的錯題，要及時記錄下來，并在后期進行整理與分析，找到錯誤原因與準(zhǔn)確解題方法，由此不斷改進教學(xué)。

首先，教師在平時的教學(xué)中，挑選學(xué)生易錯題、典型錯題，分年級、分單元進行整理與記錄，建成電子錯題庫。在這個錯題庫中，教師可以根據(jù)教學(xué)需求補充相應(yīng)的內(nèi)容，如錯題原型、錯題變式、變式題正確率、變式題錯誤原因、教學(xué)對策等。這樣的錯題資源庫不僅對當(dāng)前的教學(xué)具有較大價值，并且可以不斷沿用、繼續(xù)補充，對教師今后的教學(xué)也有相當(dāng)重大的借鑒作用。其次，教師收集與整理的錯題量、錯題型是有限的，需要學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，在日常的學(xué)習(xí)中注意收集錯題，自主建成錯題記載本，積累更多的錯題資源，以起到引以為戒的作用，促進學(xué)習(xí)效率提升。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，收集錯題、研究錯題，不僅可以改進當(dāng)下的教學(xué)，對未來的教學(xué)也有很大的價值。因此，教師要重視數(shù)學(xué)錯題資源的應(yīng)用與研究，并且不斷堅持下去，以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

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【作者簡介】王 霞（1980— ），浙江杭州人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，浙江省杭州市長河小學(xué)教導(dǎo)副主任，研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 黃健清）