丁同禹，王孟于

（集美大學(xué) 信息工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

引言

隨著電子與遠(yuǎn)程通信技術(shù)的飛速發(fā)展，電子電氣設(shè)備與系統(tǒng)的集成度不斷提高，其在制程及使用過(guò)程中受工藝或外界電磁干擾影響而產(chǎn)生參數(shù)不確定性（parameter uncertainty）的現(xiàn)象日益嚴(yán)重[1-3]，比如，設(shè)備、元件及線路在長(zhǎng)期使用后發(fā)生老化；各種外界因素（溫度，空氣濕度，靜電放電等）對(duì)元件、線束造成性能改變或損壞等。一旦這些內(nèi)部或外界的干擾因素造成了設(shè)備或元件電參數(shù)（如微帶線的介電常數(shù)）的變化，將會(huì)直接影響整個(gè)系統(tǒng)的性能，造成電路或系統(tǒng)可靠性的下降和安全系數(shù)的大幅降低。

不僅如此，不確定參數(shù)問(wèn)題還會(huì)對(duì)電磁信號(hào)傳播特性的研究造成危害，尤其是室內(nèi)環(huán)境的無(wú)線信道建模。在利用射線追蹤（ray-tracing）、時(shí)域有限差分（FDTD）等方法建立指定室內(nèi)場(chǎng)景無(wú)線信道模型時(shí)，目標(biāo)環(huán)境中的不確定參數(shù)（如空氣濕度導(dǎo)致的建筑物墻體電導(dǎo)率及介電常數(shù)變化，施工過(guò)程產(chǎn)生的建筑物幾何尺寸誤差等），會(huì)在信道模型中引入大量的隨機(jī)變量，導(dǎo)致該模型的輸出（如路徑損耗等）變成不確定的范圍區(qū)間，從而降低模型可信度，嚴(yán)重影響其在無(wú)線系統(tǒng)布局及優(yōu)化中的應(yīng)用價(jià)值。

因此，當(dāng)電路、元件或電磁環(huán)境中某一媒質(zhì)的電磁參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，亟需對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)特性進(jìn)行預(yù)測(cè)和評(píng)估，有效地降低不確定參數(shù)對(duì)電路與系統(tǒng)可靠性造成的危害；在信道建模研究等領(lǐng)域則可獲取更為完整的電波傳播特性數(shù)據(jù)和信息，提高無(wú)線信道模型的可信度。

1 最壞分析算法

最壞分析算法作為一種高效的數(shù)值仿真技術(shù)能夠準(zhǔn)確分析不確定參數(shù)系統(tǒng)的隨機(jī)特性并預(yù)測(cè)其響應(yīng)（輸出）的變化范圍，不僅可為電路系統(tǒng)的可靠性評(píng)估提供依據(jù)，還能縮短研發(fā)周期，提高設(shè)備與系統(tǒng)的安全系數(shù)[4]。用于不確定參數(shù)系統(tǒng)分析的傳統(tǒng)數(shù)值技術(shù)大都以概率類算法為基礎(chǔ)，如以Monte Carlo算法為代表的基于抽樣理論的系列方法，通過(guò)大量的隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)覆蓋不確定參數(shù)可能出現(xiàn)的所有取值，從而不斷接近所要預(yù)測(cè)的真實(shí)邊界，其缺點(diǎn)是當(dāng)不確定參數(shù)變化范圍較大時(shí)，所需的樣本數(shù)量異常巨大，導(dǎo)致效率急劇下降（Monte Carlo算法的收斂速度為為樣本數(shù)量），即便如此，其預(yù)測(cè)結(jié)果仍然可能出現(xiàn)遺漏真實(shí)值的情況。

相比之下，基于最壞分析算法的數(shù)值技術(shù)以絕對(duì)保守的方式對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，其所提供的預(yù)測(cè)結(jié)果能夠覆蓋所有的真實(shí)情況，即“始終包含全部可能出現(xiàn)的真實(shí)結(jié)果”，不會(huì)產(chǎn)生任何遺漏，從而提供比經(jīng)典的概率類算法更加可靠的預(yù)測(cè)結(jié)果。同時(shí)，最壞分析類算法的收斂速度在變量數(shù)相對(duì)較少時(shí)遠(yuǎn)大于概率類算法，在效率上也具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

2 仿射算法的基本原理

作為最壞分析算法的典型代表，仿射算法（affine arithmetic，AA）的概念在20世紀(jì)90年代由Comba和Stolfi首次提出[5]。仿射算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象浮動(dòng)范圍的保守估計(jì)，即直接預(yù)測(cè)電路與系統(tǒng)可能出現(xiàn)的最壞情況。該算法從區(qū)間算法（interval analysis）變形而來(lái)，因此也能夠自動(dòng)記錄浮點(diǎn)的截尾和舍入誤差。此外，仿射算法增加了一些附加的噪聲系數(shù)，若多個(gè)仿射形式有相同的噪聲系數(shù)，那么證明兩者具有關(guān)聯(lián)性，仿射形式之間關(guān)聯(lián)性和依賴性可以根據(jù)變量之間相同噪聲系數(shù)的多少?zèng)Q定。這種明確變量之間關(guān)聯(lián)性的方法，有助于辨別計(jì)算過(guò)程中所記錄的各個(gè)不確定參數(shù)的依賴關(guān)系，如果變量之間的噪聲系數(shù)呈負(fù)相關(guān)時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算變量相互抵消達(dá)到減小區(qū)間擴(kuò)張值的目的，得到更小的區(qū)間結(jié)果，提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，同時(shí)縮短計(jì)算時(shí)間。

在區(qū)間算法中，變量是使用兩個(gè)臨界點(diǎn)的極值來(lái)表示，例如，xˉ=[a，b]代表一個(gè)變量 x，其取值范圍落在區(qū)間[a，b]之內(nèi)。該方法的主要缺陷是無(wú)法捕捉到各個(gè)變量之間的關(guān)系，從而導(dǎo)致對(duì)真實(shí)區(qū)間邊界的“高估”。仿射算法對(duì)不確定參數(shù)的表達(dá)形式進(jìn)行了修訂，同樣對(duì)于一個(gè)區(qū)間變量 x∈[a，b]，其對(duì)應(yīng)的 AA 變量表達(dá)為：x?=x0+x1?，其中 x0=（a+b）/2，而 x1=（b-a）/2 稱為其“半徑”，噪聲系數(shù) ?是一個(gè)取值范圍始終在±1之間的獨(dú)立區(qū)間變量。可見(jiàn)，相比于傳統(tǒng)的區(qū)間算法，仿射算法在運(yùn)算過(guò)程中考慮了變量之間的關(guān)聯(lián)，并將其引入到計(jì)算鏈中，從而有效消除了變量裕量疊加所引起的過(guò)度估計(jì)，對(duì)于任意一個(gè)給定的含有n個(gè)不確定因素的隨機(jī)變量，其仿射表達(dá)形式為：

在此定義下給出的變量x?的最壞邊界為（上下邊界）：x0±Σi|xi|。若已知兩個(gè)獨(dú)立的區(qū)間變量：x?和y?，其仿射形式的乘法運(yùn)算如公式（2）所示。

顯然地，在此過(guò)程中產(chǎn)生了一個(gè)新的高階項(xiàng)。為了消除該項(xiàng)所引入的計(jì)算復(fù)雜度，引入一個(gè)新的變量：ζ。令：

3 基于仿射算法的矩陣運(yùn)算

3.1 參數(shù)矩陣求逆

矩陣求逆是電路頻域求解過(guò)程中十分關(guān)鍵的一項(xiàng)內(nèi)容。對(duì)于仿射形式的變量矩陣，其求逆運(yùn)算需要結(jié)合其他數(shù)值算法，為了敘述簡(jiǎn)便，本文只討論一個(gè)不確定因素的情況，例如求解：

其中，X0是中心矩陣，X1代表不確定干擾因素?1的“半徑”矩陣。當(dāng)X1的秩為1時(shí)，使用Sherman Morrison公式對(duì)其求逆，過(guò)程如式（5）所示。

則需要將其拆分成若干個(gè)秩為1的子矩陣的加和形式，然后逐項(xiàng)使用公式（5）完成求逆運(yùn)算。

3.2 參數(shù)矩陣的指數(shù)運(yùn)算

集總和分布式電路求解過(guò)程中經(jīng)常使用到的另一項(xiàng)運(yùn)算就是求矩陣指數(shù)。本文使用了bilinear近似公式作為輔助技術(shù)，完成仿射形式的矩陣指數(shù)運(yùn)算，如公式（7）所示：

其中，I為單位矩陣，Y0=exp（X0）為新的中心矩陣，ΔX=X1?1+…+Xn?n為原矩陣的全部干擾項(xiàng)。進(jìn)一步化簡(jiǎn)ΔY可得：

4 不確定參數(shù)電路的時(shí)域分析

本節(jié)應(yīng)用仿射算法完成一個(gè)元件參數(shù)為不確定量的RLC電路的時(shí)域仿真和分析，電路圖如圖1所示。其中，L=1mH，RL=0.5Ω，C=10μF，RC=0.5Ω，R=20Ω。設(shè)電容 C 存在±50%的容差，應(yīng)用仿射算法預(yù)測(cè)輸出（電感電流iL（t））的響應(yīng)范圍。

圖1 含有不確定參數(shù)元件的RLC電路

首先對(duì)該電路的狀態(tài)方程：x˙（t）=Ax（t）+bu（t）（其中狀態(tài)向量x（t）=[iL（t），vC（t）]T為電感電流和電容電壓，且x（0）=[0，0]T）進(jìn)行時(shí)間離散：

其中，

以上公式中的a//b表示并聯(lián)：a·b/（a+b）。

應(yīng)用上文所述的仿射算法數(shù)值結(jié)構(gòu)，依次完成本電路求解運(yùn)算中所需要的對(duì)參數(shù)矩陣A的求逆和指數(shù)運(yùn)算，并解得仿射形式的電感電流iL（t）在時(shí)域的輸出波形如圖2所示。

如圖2所示，本文所使用的基于仿射算法的數(shù)值架構(gòu)能夠有效預(yù)測(cè)在RLC電路的電容值出現(xiàn)變化時(shí)，電路的時(shí)域輸出波形可能產(chǎn)生的變化，并成功估計(jì)了電感電流在時(shí)域可能出現(xiàn)的最大值和最小值兩種極端情況。為了驗(yàn)證算法的有效性，與經(jīng)典的Monte Carlo隨機(jī)試驗(yàn)方法（圖2灰色實(shí)線）進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明仿射算法（圖2黑色實(shí)線）的預(yù)測(cè)范圍準(zhǔn)確，同時(shí)在Matlab環(huán)境下運(yùn)行時(shí)仿真速度達(dá)到Monte Carlo算法（10000次隨機(jī)試驗(yàn)）的3倍以上。

圖2 電感電流iL（t）的預(yù)測(cè)結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

以電路與系統(tǒng)的可靠性預(yù)測(cè)為目標(biāo)，本文對(duì)一種典型的RLC電路進(jìn)行了基于仿射算法的最壞分析。該研究通過(guò)將仿射算法與其他數(shù)值技術(shù)，如Sherman Morrison公式，bilinear數(shù)值近似等技術(shù)結(jié)合，解決了仿射形式矩陣的運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)而求解了目標(biāo)電路的電容元件參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的變化范圍。該預(yù)測(cè)結(jié)果與經(jīng)典的Monte Carlo方法進(jìn)行了對(duì)比，不僅達(dá)到了較高的精度，且在運(yùn)算效率上得到了顯著提高。