潘敬貞 蔡海濤

(1.廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) 515800；2.福建省莆田第二中學(xué) 351131)

蔡海濤(1975-)，男，福建省莆田人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

每一道高考試題都是命題專家的智慧結(jié)晶，高考題不僅承載著選撥使命，還承載著引導(dǎo)教學(xué)、育人等多重使命.很多高考題的解法并不唯一，為不同考生提供了多樣的思考空間和解答路徑，在某種程度上體現(xiàn)了試題的人文關(guān)懷，更是命題專家智慧的體現(xiàn).本文以2019年高考全國卷Ⅱ文數(shù)第20題為例，進(jìn)行多解分析和變式探究，以期與同行交流.

一、試題呈現(xiàn)與分析

(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；

(2)如果存在點(diǎn)P,使PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

本道的第一問是以橢圓的焦點(diǎn)三角形為背景，求橢圓的離心率，該問主要考查橢圓定義和基本性質(zhì)，試題難度不大，很多學(xué)生都能夠輕松作答.第二問是以橢圓焦點(diǎn)三角形為研究背景，以三角形面積為研究對象，求橢圓的參數(shù)的值和范圍.該問主要考查橢圓基本性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形面積，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查學(xué)生的推理論證與運(yùn)算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化及函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本道試題并不難，試題素材和問題設(shè)置學(xué)生并不陌生，提出的問題都是解析幾何中較為基礎(chǔ)、常規(guī)的問題.試題入口寬，層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生的解答.試題的解答最關(guān)鍵是通過直觀想象、數(shù)形結(jié)合等過程將題設(shè)的幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)進(jìn)行處理，其解題智慧點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)幕瘹w方式進(jìn)行優(yōu)化推理過程.試題突出以知識為載體，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)“四基”和“四能”，考查學(xué)生的核心素養(yǎng)水平.試題具有很好的信度與效度，對其進(jìn)行求解探討和變式探究對提升學(xué)生解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，提高備考效益等具有積極意義.

二、解法賞析

評注解法1—解法4其本質(zhì)是一樣的，都是圍繞焦點(diǎn)三角形進(jìn)行求解.解法1與解法2通過連接PF1后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得△PF1F2是直角三角形，再結(jié)合橢圓定義進(jìn)行求得橢圓的離心率，解答思路簡單、過程簡潔，這兩種解法是解答該題的最佳解法.解法3和解法4連接PF1后在△POF2中利用正余弦定理求得PF1，再結(jié)合橢圓定義也可求得橢圓的離心率，這兩種解法的解答過程也不是很復(fù)雜，若一時(shí)沒想到△PF1F2是直角三角形，解法3和解法4也是不錯(cuò)的選擇.解法5是將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得出關(guān)于a，b，c的方程，再結(jié)合b2=a2-c2即可求出橢圓的離心率，該解法自然，思路清晰，但對運(yùn)算求解能力的要求相對較高.解法6是利用橢圓的第二定義，雖然教材沒有專門介紹橢圓第二定義，但教材例題蘊(yùn)藏著該方法，該解法的解答思路清晰、過程簡潔，解答小題用該解法達(dá)到快速、高效的目的.

評注解法1是通過設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意列出相關(guān)的方程并求解得b的值，再通過代數(shù)變形以及不等關(guān)系a的取值范圍.該解法解題思路清晰，容易想到，但對運(yùn)算求解能力和推理論證能力的要求比較高.

評注解法2主要利用橢圓定義、三角形面積公式、勾股定理列有關(guān)方程，然后結(jié)合橢圓中基本量的關(guān)系解得b的值，最后利用基本不等式求得a的取值范圍.該解法的思路也非常清晰，也是容易想到的解法，同時(shí)減少了運(yùn)算量，是該題的通解.

評注該解法思路清晰，運(yùn)算量小，過程簡潔、高效.該解法的巧妙之處是將方程思想使用得淋漓盡致.

評注該解法用到焦點(diǎn)三角形面積的結(jié)論快速求出b的值，再利用數(shù)形結(jié)合很快解得a的取值范圍，但需要注意的是，在解答題的解答過程中焦點(diǎn)三角形面積的結(jié)論不能直接使用，需要有解答、推理過程.但若在解答客觀題時(shí)該解法是很不錯(cuò)的選擇，可以快速準(zhǔn)確的解決問題.

三、變式探究

情景變式和過程變式是試題變式的重要路徑，這兩種變式都有利于揭示問題的本質(zhì)，拓展問題的外延，對培育學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)水平都大有裨益.

變式5 已知長方形ABCD，AB=4，BC=3，則以A、B為焦點(diǎn)且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率是____.

評注變式1——變式5都是對考題的第一問進(jìn)行情景變式，將問題的情景和表述進(jìn)行變換，但問題的本質(zhì)是相同的，求解思路基本一致.通過對變式1——變式5的求解讓學(xué)生在變中尋找不變的本質(zhì)，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，提高審題能力、分析問題能力、解決問題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、應(yīng)變能力等.

評注考題的第二問是通過已知焦點(diǎn)三角形的面積告知參數(shù)b的值，橢圓上存在點(diǎn)P使PF1⊥PF2告知參數(shù)a的取值范圍.變式6——變式8是在考題第一問的基礎(chǔ)上結(jié)合第二問的思路，進(jìn)一步研究橢圓的性質(zhì).變式6——變式8的求解思路從方程思想到尋找不等式關(guān)系，試題難度進(jìn)一步提高，問題的求解對數(shù)學(xué)能力的要求進(jìn)一步提高.通過對變式6——變式8的求解進(jìn)一步提高學(xué)生的分析問題能力、解決問題能力，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

答案：2.

答案：[2,+∞).

評注變式9——變式12是切換問題背景，將橢圓換位為雙曲線，為一般化研究進(jìn)行有益探索，同時(shí)也為學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐提供有效的素材，對提高學(xué)生的分析問題能力和解決問題能力，提高復(fù)習(xí)備考效益有積極意義.

高考試題具有導(dǎo)向功能，做為一線教師需細(xì)細(xì)口味，從不同角度對試題進(jìn)行深度賞析，引導(dǎo)學(xué)生對問題本質(zhì)加深理解，打通知識脈絡(luò)，編織知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識體系.同時(shí)，教師對問題進(jìn)行情景變式探究，可讓學(xué)生在變的過程中尋找不變的本質(zhì)，有利于揭示問題本質(zhì)；而過程變式探究可引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，拓寬解題思路，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平等，從而讓學(xué)生在解題實(shí)踐中深化對知識的理解，在解決問題過程中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).