摘要：分析歷史可以發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)本質(zhì)上是不能用整數(shù)之比來表示的數(shù)，它是相對于有理數(shù)提出來的客觀存在的數(shù)概念。由此，可以提出對教材中無理數(shù)概念編排的總體設(shè)想：把有理數(shù)和無理數(shù)分別稱為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”，以突出本質(zhì);把有理數(shù)和無理數(shù)一起放在數(shù)軸之前教學(xué)，以強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)。具體而言，教材的編排要突出三部分內(nèi)容：給出可比數(shù)的概念;在實驗操作的基礎(chǔ)上展開數(shù)學(xué)思考，引進(jìn)不可比數(shù)的概念;在數(shù)軸上畫出表示不可比數(shù)的點。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)教材;數(shù)學(xué)史;無理數(shù);數(shù)軸

有理數(shù)和無理數(shù)是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要概念。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的“課程內(nèi)容”要求，當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教材基本上都把有理數(shù)概念與數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的運算等內(nèi)容安排在《有理數(shù)》一章，把無理數(shù)概念與平方根、立方根等內(nèi)容安排在《實數(shù)》一章。從時段上看，《有理數(shù)》一章通常安排在七年級上冊，《實數(shù)》一章通常安排在七年級下冊（如人教版教材）或八年級上冊（如蘇科版教材）。

只在有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上教學(xué)數(shù)軸概念，導(dǎo)致教師不能理直氣壯地說“數(shù)軸是一條……的直線”，因為數(shù)軸上存在著大量的不能用有理數(shù)表示的“孔隙”點，只用有理數(shù)表征數(shù)軸是不完備、不連續(xù)、不嚴(yán)密的。此外，教材通常延續(xù)20世紀(jì)50年代以來的傳統(tǒng)，將整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，指出有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，反之亦然;而有些數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，從而將無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。

筆者認(rèn)為，這樣的編排方式雖然在一定程度上考慮了學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平（比如，學(xué)生理解2是無理數(shù)的證明有些困難），但是不能很好地彰顯科學(xué)性原則，沒有體現(xiàn)出課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)和邏輯關(guān)系。

目前，新的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)即將頒布，相關(guān)教材的修訂工作也將隨之展開。在此背景下，追溯無理數(shù)概念的誕生史，談一談無理數(shù)概念的編排問題很有必要。

一、無理數(shù)概念的誕生史

人類對數(shù)的認(rèn)識是一個不斷深化、發(fā)展的過程，無理數(shù)的引入在數(shù)學(xué)上具有特別重要的意義。

公元前500年左右，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）創(chuàng)立了一個學(xué)派。這個學(xué)派的基本觀點是“萬物皆數(shù)”。在他們看來，數(shù)只有正整數(shù)，“一切量都可以用整數(shù)或者整數(shù)的比來表示”。這個觀點在當(dāng)時被視為絕對真理。

據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯（Hippasus）第一個發(fā)現(xiàn)了正方形的邊和對角線長度之比不能用整數(shù)之比來表示。這就是說，生活中“實實在在”地存在著不能用整數(shù)之比表示的數(shù)，即2。這個發(fā)現(xiàn)簡直“大逆不道”，直接挑戰(zhàn)“萬物皆數(shù)”的觀點，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的很多人大為惶恐和惱怒。于是，他們便把希帕索斯拋入海中淹死了。

發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)實中確實存在2后，如何證明2不能用整數(shù)之比來表示，即不是有理數(shù)呢？基本的思路就是反證法：先假設(shè)2是有理數(shù)，再從這個假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，說明假設(shè)錯了，即2不是有理數(shù)。這個證明方法曾經(jīng)出現(xiàn)在古希臘幾何學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前300年左右）所寫的《幾何原本》一書中。這說明，早在兩千多年前，人們已經(jīng)知道2不是有理數(shù)，并且能用反證法證明。

證明了2不是有理數(shù)后，就可以利用2造出無窮多個不是有理數(shù)的數(shù)，如1+2、2+2、3+2、4+2……

中國古代數(shù)學(xué)家很早就接觸到了無理數(shù)的問題，但是，沒有深入研究這種數(shù)的性質(zhì)，而是致力于探究如何求它的近似值。魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽（約225—約295）基于完全平方公式，用a2+r≈a+r2a和a2+r≈a+r2a+1兩種方法求不盡根。這體現(xiàn)了中國數(shù)學(xué)文化和西方數(shù)學(xué)文化不同的價值取向。

意大利數(shù)學(xué)家邦貝利（Rafael Bombelli，1526—1572）首先用連分?jǐn)?shù)表示2（如圖1所示）。這種表示體現(xiàn)了無理數(shù)的極限本質(zhì)，能讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美、奇異之美，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣。

2=1+12+12+12+12+…

發(fā)現(xiàn)了2不是有理數(shù)后，又經(jīng)過兩千多年的數(shù)學(xué)實踐，經(jīng)過大量數(shù)學(xué)家反復(fù)的探索與爭論，直到16世紀(jì)，無理數(shù)才開始被人們逐漸接受和使用。最早接受無理數(shù)的是英國代數(shù)學(xué)者哈里奧特（Thomas Harriot，1560—1621）。他認(rèn)為，能參與運算就是數(shù)，不管它是否能用十進(jìn)小數(shù)確定下來。

直到18世紀(jì)，人們也沒有完全認(rèn)清無理數(shù)的性質(zhì)，無法抽象出一個合理的無理數(shù)表述方式。無理數(shù)邏輯結(jié)構(gòu)真正解決是在19世紀(jì)。1886年，德國數(shù)學(xué)家施圖爾茲（Qtto Stolz，1842—1905）得出，“每一個無理數(shù)均可表示成不循環(huán)小數(shù)”的結(jié)論。

二、對教材中無理數(shù)概念編排的總體設(shè)想

分析歷史可以發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)本質(zhì)上是不能用整數(shù)之比來表示的數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)只是其表象），它是相對于有理數(shù)（能用整數(shù)之比來表示的數(shù)）提出來的客觀存在的數(shù)概念。由此，可以提出對教材中無理數(shù)概念編排的總體設(shè)想。

（一）突出本質(zhì)：把有理數(shù)和無理數(shù)分別稱為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”

從概念本質(zhì)上看，“有理數(shù)”和“無理數(shù)”這樣的名稱是不恰當(dāng)?shù)摹６@樣的不恰當(dāng)，是翻譯的錯誤造成的。

“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的英文分別是rational number和irrational number。irrational是rational的反義詞。rational一詞原本有兩個含義：一是“比”，二是“合理”。按照概念內(nèi)涵，這里應(yīng)該取第一個含義。也就是說，rational number和irrational number應(yīng)該分別翻譯為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”。但是，19世紀(jì)，日本學(xué)者翻譯西方數(shù)學(xué)書時，把這兩個詞分別翻譯成了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”。后來，中國又從日本引進(jìn)了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”這樣的名稱，并一直使用到現(xiàn)在。

因此，筆者認(rèn)為，編寫教材時，我們不能“將錯就錯”，而應(yīng)回到英文原意，將有理數(shù)和無理數(shù)分別稱為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”（同時利用是否“可比”定義有理數(shù)和無理數(shù)），從而突出這兩個概念的本質(zhì)，幫助學(xué)生澄清一些模糊的認(rèn)識（如227究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)）。

（二）強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)：把有理數(shù)和無理數(shù)一起放在數(shù)軸之前教學(xué)

因為無理數(shù)是相對于有理數(shù)提出來的數(shù)概念，所以無理數(shù)應(yīng)該與有理數(shù)放在一起（如一節(jié)課中），緊跟在有理數(shù)之后教學(xué)（注意：這里只出現(xiàn)無理數(shù)概念，不出現(xiàn)實數(shù)概念;只突出不可比的特征，不引入平方根概念），從而強(qiáng)調(diào)知識的關(guān)聯(lián)（自然生長）。而且，這樣的話，無理數(shù)教學(xué)就會被安排在數(shù)軸教學(xué)之前，從而使數(shù)軸教學(xué)有充分的邏輯基礎(chǔ)，有助于學(xué)生理解數(shù)軸是一條完整無“瑕”的直線。

這里值得一提的是，把無理數(shù)教學(xué)安排在數(shù)軸教學(xué)之前，也尊重了數(shù)學(xué)史。從上述“無理數(shù)概念的誕生史”可以看出，無理數(shù)約產(chǎn)生于公元前500年左右。而數(shù)軸則是由法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（René Descartes，1596—1650）在創(chuàng)立解析幾何學(xué)時發(fā)明的，本質(zhì)上是一維解析幾何的坐標(biāo)系?？梢姡瑹o理數(shù)的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)早于數(shù)軸的發(fā)明。也就是說，在數(shù)軸發(fā)明時，人類對數(shù)的認(rèn)識已經(jīng)擴(kuò)充到實數(shù)了?；蛘哒f，在數(shù)軸產(chǎn)生時，其上已經(jīng)不存在“空隙”點了。

三、對教材中無理數(shù)概念編排的具體建議

把可比數(shù)和不可比數(shù)一起放在數(shù)軸之前教學(xué)，教材的編排要突出以下三部分內(nèi)容：

（一）給出可比數(shù)的概念

可比數(shù)概念是不可比數(shù)概念的基礎(chǔ)。學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)過整數(shù)和分?jǐn)?shù)，由此很容易得到可比數(shù)的概念。

教材可以列舉幾個整數(shù)和分?jǐn)?shù)，把整數(shù)寫成分母是1的分?jǐn)?shù)，然后直接給出可比數(shù)的定義：能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式mn（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)。

通過分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，讓學(xué)生認(rèn)識到：可比數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，反之，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也都是可比數(shù)。

（二）引進(jìn)不可比數(shù)的概念

不可比數(shù)是教學(xué)的重點和難點，這部分內(nèi)容需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實驗操作→得到新數(shù)（擴(kuò)充數(shù)系的必要性）→探索新數(shù)特點（擴(kuò)充數(shù)系的合理性）→給出不可比數(shù)定義→擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)”的過程。

學(xué)生憑借以往經(jīng)驗，往往會覺得不存在“不可比”的數(shù)。為了讓學(xué)生意識到不可比數(shù)是確實存在的，教材可以引導(dǎo)學(xué)生在實驗操作的基礎(chǔ)上展開數(shù)學(xué)思考：

【實驗操作】

剪兩個邊長為1的小正方形硬紙片，并把兩個小正方形硬紙片沿對折線剪開（如圖2）;把得到的四個三角形硬紙片拼成一個大的正方形（如圖3）。

【數(shù)學(xué)思考】

1.大正方形的面積是多少？

2.如果設(shè)大正方形的邊長為a，則關(guān)于a有什么數(shù)量關(guān)系？

3.a是整數(shù)嗎？它會在哪兩個整數(shù)之間？

4.a是有限小數(shù)嗎？它會在哪兩個有限小數(shù)之間？

5.a是無限循環(huán)小數(shù)嗎？

6.a是分?jǐn)?shù)嗎？

7.a可能是一個怎樣的數(shù)？

在實驗操作的基礎(chǔ)上，問題1和問題2引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)a2=2，a是確實存在的數(shù)。問題3和問題4可以引導(dǎo)學(xué)生用夾逼的方法不斷地求a的近似值，卻得不到a的準(zhǔn)確值，從而感覺到a是無限小數(shù)。問題5引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注循環(huán)特征，感覺到a是無限不循環(huán)小數(shù)。問題6引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注本質(zhì)，思考a是不是分?jǐn)?shù)（可比數(shù)）。對此，既可以讓學(xué)生從之前探索得到的表象（無限不循環(huán)小數(shù)）出發(fā)，感覺到a不是分?jǐn)?shù);也可以引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)出發(fā)，用反證法證明a不是分?jǐn)?shù)。問題7追問a到底是什么數(shù)，使得不可比數(shù)的概念“呼之欲出”。

教師可以抓住這個時機(jī)給出不可比數(shù)的定義：不能寫成mn（m、n是整數(shù)，n≠0）形式的數(shù)。同時，通過上述分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識到：不可比數(shù)都可以寫成無限不循環(huán)小數(shù)，反之，無限不循環(huán)小數(shù)也都是不可比數(shù)。

（三）在數(shù)軸上畫出表示不可比數(shù)的點

在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)軸概念，并且能在數(shù)軸上畫出表示可比數(shù)的點后，提出以下探索問題：如何在數(shù)軸上畫出表示不可比數(shù)的點？對此，可以引導(dǎo)學(xué)生把圖2中正方形的對角線放到數(shù)軸上（如圖4），得到畫圖方法：過點1作垂直于數(shù)軸且長為1的線段，連接原點和所作線段的另一端點，以原點為圓心，上述連線的長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于一點，該點（A點）表示的數(shù)就是一個不可比數(shù)（2）。

然后，可以引導(dǎo)學(xué)生將該點向左（右）移動任意（整數(shù)）個長度單位，得到更多表示不可比數(shù)的點——這時，其實不難引導(dǎo)學(xué)生用反證法證明這些點表示的數(shù)是不可比數(shù)。由此，學(xué)生能意識到數(shù)軸上存在大量表示不可比數(shù)的點。而且，基于可比數(shù)和不可比數(shù)這樣的二分法分類，學(xué)生能感悟到可比數(shù)和不可比數(shù)充滿了整個數(shù)軸，從而能更好地認(rèn)識數(shù)軸。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張景中.從2談起[M].上海：上海教育出版社，1985.

[2] 王恩大.數(shù)學(xué)教育辭典[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1991.

[3] 吳立寶，趙思林.13的研究性學(xué)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（4）.

[4] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[5] 王紅權(quán).怎樣教好無理數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報，2018（6）.

[6] 李樹臣.精心設(shè)計數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生實驗探究——例談數(shù)與代數(shù)方面適宜實驗的主要內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（14）.

[7] 張慧，常文武.對“2是無理數(shù)的證明”的教學(xué)新探[J].教育研究與評論（課堂觀察），2020（3）.