鄭瑄 施嘉婷

摘要：教學(xué)浙教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第3章《數(shù)據(jù)分析初步》時(shí)，融合教材中“平均數(shù)”“中位數(shù)和眾數(shù)”“方差和標(biāo)準(zhǔn)差”這三節(jié)的基本內(nèi)容，整體設(shè)計(jì)并實(shí)施了新授課《數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度》，嘗試落實(shí)基于學(xué)生、指向素養(yǎng)的教學(xué)理念。具體表現(xiàn)為：循循善誘，讓學(xué)生能學(xué);富有趣味，讓學(xué)生想學(xué);具有整體性，讓學(xué)生會學(xué);具有現(xiàn)實(shí)性，讓學(xué)生能用。

關(guān)鍵詞：基于學(xué)生;指向素養(yǎng);集中趨勢;離散程度;單元整體教學(xué)

相對于以往傳統(tǒng)的教學(xué)，21世紀(jì)以來不斷深化的課程改革，特別強(qiáng)調(diào)兩個(gè)教學(xué)理念：一是基于學(xué)生，即以學(xué)生為主體，讓學(xué)生“學(xué)得進(jìn)”，能學(xué)、想學(xué);二是指向素養(yǎng)，即立德樹人、學(xué)科育人，讓學(xué)生“帶得走”，會學(xué)、能用。當(dāng)然，如果進(jìn)一步分析兩者關(guān)系的話，那么可以說，讓學(xué)生主體卷入學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。

這兩個(gè)理念比較上位，做起來并不容易。教學(xué)浙教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第3章《數(shù)據(jù)分析初步》時(shí)，融合教材中“平均數(shù)”“中位數(shù)和眾數(shù)”“方差和標(biāo)準(zhǔn)差”這三節(jié)的基本內(nèi)容，整體設(shè)計(jì)并實(shí)施了新授課（也是起始課）《數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度》，嘗試落實(shí)上述兩個(gè)教學(xué)理念。

一、教學(xué)過程與點(diǎn)評

（一）交談暖場

師親愛的同學(xué)們，大家好！老師的名字中有個(gè)“瑄”字，這個(gè)“瑄”是帶王字旁的，那么三點(diǎn)水的渲是什么渲呢？

生渲染的渲。

師對的。日字旁的暄是什么暄呢？

生寒暄的暄。

師草字頭的呢，知不知道？

（學(xué)生思考，沒有答案。）

師是萱草的萱?；鹱峙缘撵邮切稳輾鈩萏貏e強(qiáng)盛的煊赫的煊。當(dāng)然，還有什么偏旁都不帶的，是宣傳的宣。老師這個(gè)瑄是帶王字旁的，《新華字典》中說是古時(shí)候用來祭天的六寸大璧。

[點(diǎn)評：教師巧用自己的名字開場，通過不斷變換偏旁，拉近與學(xué)生的關(guān)系，增進(jìn)與學(xué)生的互動(dòng)，吸引學(xué)生的注意。在讓學(xué)生明白不同偏旁的文字適用于不同的情形，感受到漢語言文字的博大精深的同時(shí)，為后續(xù)環(huán)節(jié)引入并解釋不同情境下平均數(shù)的不同名稱做好類比的鋪墊。]

（二）復(fù)習(xí)引入

師最近，我們一直在研究數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容。今天，我們進(jìn)入另一個(gè)領(lǐng)域——統(tǒng)計(jì)與概率。其實(shí)在七年級的時(shí)候，大家學(xué)過的數(shù)據(jù)的收集和整理就是統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容。今天，老師將帶領(lǐng)大家再次涉足這個(gè)領(lǐng)域。（板書“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”）老師慢慢地寫了這些字，大家一定是在看這里面的兩個(gè)詞：集中趨勢、離散程度。似乎沒見過吧？這兩個(gè)詞正是統(tǒng)計(jì)學(xué)的專有名詞。如果同學(xué)們對這兩個(gè)詞不大清楚的話，我再寫一個(gè)詞，你們肯定知道。（板書“平均數(shù)”）我找一個(gè)簡單的問題，讓大家算一算平均數(shù)。（PPT呈現(xiàn)表1）有一個(gè)叫小山的同學(xué)，一個(gè)禮拜下來，他的睡眠時(shí)間是這樣的。觀察這組數(shù)據(jù)，問題非常簡單：平均數(shù)等于多少？是怎么算出來的？

生平均數(shù)是8，把它們加起來再除以全部的數(shù)。

師能不能具體點(diǎn)？加誰？除以什么？

生8+9+7+9+7+8+8再除以7。

師你算得那么快，是把8+9+7+9+7+8+8都算出來再除以7的嗎？（問另一位學(xué)生）你覺得他是怎么算的？

生把8記為0，把7記為-1，這樣算。

師把8記為0，把7記為不夠的-1，這樣就得到一批小數(shù)據(jù)。你們都是這樣做的？有沒有有點(diǎn)新意的？

（學(xué)生沉默。）

師在小學(xué)，老師確實(shí)說過，把所有的數(shù)加起來再除以它的個(gè)數(shù)，就能得到所謂的平均數(shù)。但是，這里老師給出的數(shù)據(jù)很簡單，（同步指表1中的數(shù)）可以把這個(gè)9分1個(gè)給這個(gè)7，再把這個(gè)9分1個(gè)給這個(gè)7。這種方法，在小學(xué)叫什么？

生移多補(bǔ)少。

師是的，叫“移多補(bǔ)少”，從根本上說，就是使大小不一的數(shù)變成一樣的。求平均數(shù)就是要把所有的數(shù)變成一樣的。同學(xué)們，我們再看一下，（PPT呈現(xiàn)表2）還有一個(gè)叫小川的同學(xué)，他每天的睡眠時(shí)間老師也寫在這兒了。求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可以移多補(bǔ)少嗎？

（學(xué)生有人搖頭，有人點(diǎn)頭。）

師大家的想法好像不一樣哦。搖頭的可以用傳統(tǒng)的方法，把所有的數(shù)據(jù)加起來除以7。但是事實(shí)上，這個(gè)問題也可以通過移多補(bǔ)少解決。

（學(xué)生自行嘗試。）

師同學(xué)們，剛才我們一起回憶的平均數(shù)實(shí)際上就是之前大家覺得比較陌生的“集中趨勢”的一個(gè)代表。這還是比較好理解的：8這個(gè)數(shù)是小山這個(gè)禮拜的平均睡眠時(shí)間，它就是一個(gè)非常好的代表，集中表達(dá)了小山每天大概的睡眠時(shí)間。

[點(diǎn)評：學(xué)生對集中趨勢和離散程度不熟悉，但是對平均數(shù)比較熟悉。因而，教師從平均數(shù)入手。一方面，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平均數(shù)的求法，重點(diǎn)回顧移多補(bǔ)少的方法，因?yàn)檫@一方法更能增進(jìn)學(xué)生對平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量的“虛擬性”的理解，也能促使數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)真正落地。同時(shí)，接下來的學(xué)習(xí)也將多次應(yīng)用移多補(bǔ)少的方法簡化計(jì)算。另一方面，利用平均數(shù)引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識集中趨勢，由不熟悉的慢慢變成熟悉的。整體上，教師切實(shí)站在學(xué)生的視角剖析學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)的心理，通過問題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考、探索，循循善誘。]

（三）新知學(xué)習(xí)

1.極差的學(xué)習(xí)。

師小山、小川的平均睡眠時(shí)間都為8小時(shí)。請大家觀察一下這些數(shù)據(jù)，你們能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)人有什么不同嗎？

生小山的睡眠時(shí)間比較穩(wěn)定，小川的不穩(wěn)定。

師你用了一個(gè)詞——穩(wěn)定。你能不能具體解釋一下，你根據(jù)什么說一個(gè)人穩(wěn)定，另一個(gè)人不穩(wěn)定的？

生小山最多睡了9個(gè)小時(shí)，最少睡了7個(gè)小時(shí)，減一下就等于2個(gè)小時(shí)。

師（問另一位學(xué)生）你算算看小川的呢？

生12-5=7。

師用數(shù)據(jù)來支撐觀點(diǎn)，我覺得所有的同學(xué)都能接受。我們看到，最多睡眠時(shí)間和最少睡眠時(shí)間的差，一個(gè)是2個(gè)小時(shí)，另一個(gè)是7個(gè)小時(shí);一個(gè)比較小，另一個(gè)比較大。在數(shù)學(xué)中或者說在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這個(gè)差也有一個(gè)專有名稱，叫作——（同步板書）極差。極差如同平均數(shù)一樣，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，一個(gè)指標(biāo)。把一組數(shù)據(jù)里最大的和最小的作差，結(jié)果大，就說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大，就是那位同學(xué)說的不穩(wěn)定，其實(shí)就是到平均數(shù)的距離遠(yuǎn)了，離開了、分散了。也就是說，極差在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的離散程度。（稍停）現(xiàn)在，同學(xué)們對集中趨勢和離散程度大致有一點(diǎn)了解了吧？

[點(diǎn)評：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察具體數(shù)據(jù)，賦予數(shù)學(xué)語言實(shí)際意義，并順勢抓住學(xué)生的典型發(fā)言，借用“穩(wěn)定”一詞讓學(xué)生自行剖析得出依據(jù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和科學(xué)的求證態(tài)度。學(xué)生也從中得出了極差的概念（當(dāng)然，得到的是含義而非名稱），初步體會到離散程度的意味。整個(gè)過程，教師充分尊重學(xué)生的想法，讓學(xué)生自己對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出結(jié)論。]

2.算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的學(xué)習(xí)。

師平均數(shù)這個(gè)代表很好玩哦！它是一個(gè)虛擬數(shù)：雖然可以表達(dá)一組數(shù)據(jù)的總體水平，但是往往不是這組數(shù)據(jù)中的一員。比如小川，他一個(gè)禮拜平均每天睡8個(gè)小時(shí)，但是，你有沒有發(fā)現(xiàn)，他沒有一天是睡8個(gè)小時(shí)的？所以平均數(shù)是虛擬的。（稍停）剛才我們說平均數(shù)是用總量除以份數(shù)的結(jié)果，現(xiàn)在我們給它取一個(gè)更學(xué)術(shù)的名字，叫作——（同步板書）算術(shù)平均數(shù)。這主要是為了和你們以后會學(xué)的幾何平均數(shù)做區(qū)分。另外，初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)還有一點(diǎn)區(qū)別：很多時(shí)候會用符號、字母來表示，不再用中文和數(shù)字。比如，有一組數(shù)據(jù)記作x1、x2一直到xn，它們的算術(shù)平均數(shù)也用符號來表示：在字母x上寫一橫，即x，念作x拔，拔蘿卜的拔。于是有——（同步板書）x=x1+x2+…+xnn。這個(gè)式子就把算術(shù)平均數(shù)一般地、普遍地、非常概括地表達(dá)出來了。（稍停）第二個(gè)問題是關(guān)于身高的：（PPT出示表3）要求的是兩個(gè)同學(xué)所在小組的平均身高。當(dāng)然，用算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式能求出來。不過，論語上說“擇善而從”，有更好的算法嗎？

（學(xué)生計(jì)算。）

師同學(xué)們已經(jīng)算了一會兒了，打斷一下。我發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)同學(xué)都是“勞動(dòng)模范”。為什么這么說呢？你們都在把164、165、166、167等數(shù)據(jù)相加。還沒有觀察這些數(shù)據(jù)，就拼命地加，我怎么能不評你們做“勞動(dòng)模范”呢？（指一組同桌）這邊有兩個(gè)女孩子。（指其中一人）我看到她的數(shù)據(jù)特別小，我特別要稱贊她。為什么她的數(shù)據(jù)會變??？是怎么變小的呢？（問另一人）你懂嗎？

生同時(shí)減去160。

師她把160當(dāng)成一個(gè)基準(zhǔn)，然后每個(gè)數(shù)都減去160。還有一位同學(xué)用的是166。（問前一人）你覺得誰好一些？

生我覺得160更好一點(diǎn)，因?yàn)橛行?shù)是比166小的。

師小了就不好嗎？

生小了就會出現(xiàn)負(fù)的。

師請坐。實(shí)際上，這里有好幾個(gè)觀點(diǎn)。首先，將大數(shù)據(jù)變小。那些用大數(shù)據(jù)算的，稍稍有點(diǎn)慚愧吧？其次，取什么基準(zhǔn)將大數(shù)據(jù)變小。她取了160，并且覺得取160比取166好，因?yàn)槿?66之后會出現(xiàn)負(fù)的。出現(xiàn)負(fù)的又怎么了？出現(xiàn)負(fù)的到底好還是不好？（對另一位學(xué)生）你說。

生我覺得兩者都一樣。

師真的嗎？

生差不多。

師差不多，那我要是取170呢？是隨意取的嗎？

生我覺得取166左右。

師你取166，那就是說，你允許出現(xiàn)負(fù)的。（稍停）大家都在說自己的觀點(diǎn)，而且都在說“我認(rèn)為”“我覺得”。我喜歡這樣的表達(dá)，很自信！當(dāng)然，我們還要用數(shù)學(xué)的理性來支撐我們的觀點(diǎn)。我們把數(shù)據(jù)變小，是為了方便計(jì)算。接著，當(dāng)然還要把這些小數(shù)據(jù)加起來，取平均值。在加的過程中，如果出現(xiàn)負(fù)的，會怎么樣？會抵消，抵消令人高興。（指學(xué)生）當(dāng)然，你說“差不多”，也是有道理的。為什么呢？因?yàn)槿?60的時(shí)候，每個(gè)數(shù)據(jù)變小后的結(jié)果一眼就看出來了，而取166的時(shí)候，很容易減錯(cuò)。所以，真是各有千秋。這些都是細(xì)節(jié)，最重要的是她用了一個(gè)基準(zhǔn)，把大數(shù)據(jù)變成小數(shù)據(jù)，這是一個(gè)good? idea。請?jiān)试S我在這兒寫一個(gè)——（同步板書）“基準(zhǔn)法”。現(xiàn)在，老師仍然想請同學(xué)們用符號和式子把觀點(diǎn)表達(dá)出來。當(dāng)然，X不動(dòng)。這回是不是有一組新數(shù)據(jù)啦？新數(shù)據(jù)的平均值當(dāng)然不是原數(shù)據(jù)的平均值，還差一個(gè)基準(zhǔn)，160、166之類的。這個(gè)時(shí)候，我們怎么樣把它表達(dá)出來呢？

生用字母。

師對。比如，我們就用字母a。把每個(gè)數(shù)據(jù)都減去基準(zhǔn)a，求新數(shù)據(jù)的平均值，然后再加上基準(zhǔn)a。（稍停）另外，大家仔細(xì)看看，小川組和小山組還是有一點(diǎn)區(qū)別的，還可以用什么方法讓計(jì)算更簡便一點(diǎn)？

生可以用移多補(bǔ)少的方法。小川組有很多數(shù)據(jù)是相同的，（同步指表3中小川組的數(shù)）可以把這個(gè)171補(bǔ)給這個(gè)169，變成2個(gè)170，就有4個(gè)170了;然后把2個(gè)168補(bǔ)給2個(gè)164，變成4個(gè)166。

師那就有8個(gè)166了。這位同學(xué)有兩個(gè)觀點(diǎn)：第一，移多補(bǔ)少產(chǎn)生相同的數(shù);第二，相同的數(shù)用乘法計(jì)算。他比老師靈活！

[點(diǎn)評：算術(shù)平均數(shù)雖然名字是全新的，但是本質(zhì)就是小學(xué)階段的平均數(shù)，所以，教師在教學(xué)中直接告知，不做過多停留。而后，教師通過新的問題重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生掌握“減去基準(zhǔn)，將大數(shù)據(jù)變成小數(shù)據(jù)”的方法，以及鞏固移多補(bǔ)少的方法，幫助學(xué)生提升思維靈活性，發(fā)展計(jì)算能力。此外，在整個(gè)教學(xué)過程中，教師與學(xué)生充分互動(dòng)，更不吝對學(xué)生的贊揚(yáng)，極大地提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。]

師同學(xué)們，我們再來看一個(gè)名字——（同步板書）加權(quán)平均數(shù)。我先說說這個(gè)“權(quán)”字。中文說“位高權(quán)重”，英文說“VIP”，即“very important person”，非常重要的人物。我們來看一下，166在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了4次，而且，采用移多補(bǔ)少的方法的話，它要出現(xiàn)8次。這說明，166很了不得，在這組數(shù)據(jù)中是一個(gè)舉足輕重的人物，它的權(quán)很重。我們規(guī)定：權(quán)就是一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)。權(quán)越大，這個(gè)數(shù)據(jù)就越厲害：對平均數(shù)的影響就越大。（稍停）同學(xué)們，這里，我還要做一個(gè)補(bǔ)充。比方說，數(shù)據(jù)x1出現(xiàn)了f1次，數(shù)據(jù)x2出現(xiàn)了f2次，一直到數(shù)據(jù)xn出現(xiàn)了fn次?，F(xiàn)在，仍然要用代數(shù)式來表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，該怎么表示？先看最簡單的分母，它應(yīng)該怎么寫？

生把所有的次數(shù)加起來。

師對，就是f1+f2一直加到fn。這個(gè)分母看起來簡單，其實(shí)特別容易出錯(cuò)——變成n，對不對？那分子呢？x1f1+x2f2一直加到xnfn，不能忘了乘權(quán)，變成x1+x2一直加到xn哦?。ò鍟皒=x1f1+x2f2+…+xnfnf1+f2+…+fn”）其實(shí)，加權(quán)平均數(shù)我們用到的地方很多。我們開過運(yùn)動(dòng)會了嗎？

生開過了。

師哦。入場式呢？

生搞過了。

師運(yùn)動(dòng)會入場式是有評分的。評分通常有三個(gè)指標(biāo)：服裝整齊、動(dòng)作規(guī)范、有創(chuàng)意。一般來說，把三個(gè)指標(biāo)的得分加起來，就是最終得分。但我不是這樣，我最看重的是創(chuàng)意，所以我在算總分的時(shí)候，會有一個(gè)權(quán)重的分配。打個(gè)比方，總分10分，服裝2分，動(dòng)作2分，還有6分給了創(chuàng)意。你們明白我的意思嗎？

（學(xué)生點(diǎn)頭。）

師好了。我繼續(xù)編故事：今天這堂課，小山、小川非常辛苦，現(xiàn)在又要去競選國際文化使者了。聽、說、讀、寫，listening、speaking、reading、writing，都很重要。派誰去？那要看老師需要怎樣的人了。我需要一個(gè)口譯能力比較強(qiáng)的，就是speaking is very important。當(dāng)然，listening is also important，所以我按照3∶5∶1∶1來計(jì)算各項(xiàng)能力的得分。這個(gè)比，就是我們剛才說的權(quán)。再打個(gè)比方，如果你需要一個(gè)筆譯能力比較強(qiáng)的，你就可以對這個(gè)權(quán)做調(diào)整。

[點(diǎn)評：加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)重在讓學(xué)生體會“權(quán)”的含義。教師引入中英文詞匯，讓學(xué)生初識“權(quán)”的含義;再利用前面研究過的身高問題進(jìn)一步講解，并與學(xué)生剛剛結(jié)束的運(yùn)動(dòng)會掛鉤，十分“接地氣”;最后，一以貫之地繼續(xù)利用小山、小川兩位主人公編制競選國際文化使者的故事，讓學(xué)生充分理解“權(quán)”的含義。這樣的教學(xué)使得原本枯燥單調(diào)的數(shù)學(xué)知識變得生動(dòng)有趣，體現(xiàn)了基于學(xué)生的教學(xué)應(yīng)當(dāng)有的溫度和厚度。]

3.眾數(shù)和中位數(shù)的學(xué)習(xí)。

師老師先做一個(gè)調(diào)查。（隨機(jī)點(diǎn)12名學(xué)生）你們這幾位同學(xué)里，13歲的舉個(gè)手。（學(xué)生舉手）14歲的舉個(gè)手。（學(xué)生舉手）15歲的舉個(gè)手。（學(xué)生舉手）哇，跟老師做的這個(gè)功課差不多。（PPT出示表4）小川組現(xiàn)有12名同學(xué)，其中13歲1個(gè)，14歲9個(gè)，15歲2個(gè)。猜測一下：這個(gè)團(tuán)隊(duì)的平均年齡多大？

生14點(diǎn)幾。

師同學(xué)們，老師今年80歲，如果加入這個(gè)團(tuán)隊(duì)，這個(gè)團(tuán)隊(duì)的平均年齡會怎樣呢？

（學(xué)生哄堂大笑，覺得不可思議。）

師同學(xué)們不要笑，我只是長得有點(diǎn)年輕。這是一門關(guān)于生命科學(xué)的課，下次有機(jī)會再說。你們看，我這個(gè)80歲的耄耋老人加入這個(gè)團(tuán)隊(duì)后，這個(gè)團(tuán)隊(duì)的平均年齡變?yōu)?9.15歲。由此，你會不會覺得這是一個(gè)青年人的團(tuán)隊(duì)？但實(shí)際上，這是一群少年和一個(gè)耄耋老人在一起呢。所以各位，還用平均值19.15來代表整個(gè)團(tuán)隊(duì)的集中趨勢，是不是有失偏頗了？

（學(xué)生一齊點(diǎn)頭。）

師同學(xué)們有沒有聽過，很多比賽評分的時(shí)候，會去掉兩個(gè)最高分和兩個(gè)最低分？這就是為了避免像我這樣的極端數(shù)據(jù)造成的影響。那么，上面這一組數(shù)據(jù)，用哪個(gè)數(shù)據(jù)來表示集中趨勢會好一點(diǎn)呢？

生14好一點(diǎn)。

師為什么呢？

生大部分都是14，有9個(gè)。

師很好！這其實(shí)是顯而易見的。重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)，眾多的那個(gè)，在數(shù)學(xué)中，我們把它稱為——（同步板書）眾數(shù)。大家再動(dòng)動(dòng)腦筋，在一組數(shù)據(jù)里還可以選哪一個(gè)做代表？

（學(xué)生思考。）

師大家可以這么看：把一組數(shù)據(jù)排隊(duì)，從低到高、從小到大，在這樣一排數(shù)中，選哪一個(gè)做代表能夠代表這組數(shù)據(jù)的一般水平或集中趨勢？

生中間那個(gè)。

師對，中間那個(gè)！大的、小的都在它兩邊，也可以理解為數(shù)據(jù)都以它為中心，向它集中。顯然，在一定意義上，它也能夠代表這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。不過，中間那個(gè)也有個(gè)問題：如果是7個(gè)數(shù)，中間剛好是一個(gè)數(shù);如果是8個(gè)數(shù)，中間是不是有兩個(gè)數(shù)？這時(shí)，該怎么辦呢？

生取它們的平均值。

師很好哦！仿照上面的眾數(shù)概念，大家覺得給這個(gè)數(shù)起個(gè)什么名字好呢？

生中間數(shù)。

師很好！不過，有點(diǎn)通俗，所以我們把中間的“間”改為位置的“位”，就是——（同步板書）中位數(shù)。中位數(shù)就是一組數(shù)據(jù)最中間的數(shù)，它也能表示數(shù)據(jù)的集中趨勢?，F(xiàn)在平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都可以表示數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們各有千秋又各有局限，大家知道嗎？

（學(xué)生討論。）

師平均數(shù)可以把每個(gè)數(shù)據(jù)都用上，但是有時(shí)受極端值影響，有失偏頗;眾數(shù)也挺好的，但是如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)多個(gè)眾數(shù)，它的意義就不大了;中位數(shù)呢，它只涉及一兩個(gè)數(shù)，而沒有考慮全部的數(shù)據(jù)。所以，我們要把這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量結(jié)合起來考量一組數(shù)據(jù)，具體要視情況而定。

[點(diǎn)評：這里，教師采用引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的方法，引入眾數(shù)和中位數(shù)。當(dāng)學(xué)生遇到不能解釋的新現(xiàn)象時(shí)，就會打破之前低層次的認(rèn)知平衡，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。有了認(rèn)知沖突，就想化解，從而產(chǎn)生高層次的認(rèn)知平衡。由此，就能實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的發(fā)展。80歲耄耋老人這樣的極端數(shù)據(jù)的加入，使得平均值無法代表這一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。學(xué)生自然想要尋找新的數(shù)據(jù)來表達(dá)這一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，進(jìn)而在教師的引導(dǎo)下學(xué)習(xí)眾數(shù)和中位數(shù)。其間，教師開玩笑說自己是80歲耄耋老人，使課堂氛圍變得輕松愉悅，讓學(xué)生快樂地學(xué)習(xí)。]

4.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的學(xué)習(xí)。

師同學(xué)們，還記得前面說的極差嗎？用它來考慮離散程度有什么局限嗎？

（學(xué)生思索。）

師我們發(fā)現(xiàn)，極差只用到了一組數(shù)據(jù)里的最大值和最小值，有點(diǎn)兒像中位數(shù)和眾數(shù)，沒有把所有數(shù)據(jù)都用起來。怎么把所有數(shù)據(jù)都用起來呢？前面，我們計(jì)算過小山、小川的平均睡眠時(shí)間都是8小時(shí)。同學(xué)們報(bào)給我聽聽看：小山每一天的睡眠時(shí)間偏離平均值的數(shù)據(jù)是多少？

生0、1、-1、1、-1、0、0。

師很好，小川的呢？

生-1、1、-1、1、-3、4、-1。

師現(xiàn)在每個(gè)數(shù)據(jù)都開工了。接下來怎么考慮這組新數(shù)據(jù)的離散程度？可以將這些偏離平均值的數(shù)據(jù)全部加起來嗎？

生加起來都是0。

師大家算得很快哦！其實(shí)，不可能不等于0的，因?yàn)樗鼈兌际菧p去平均值這個(gè)基準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)，所以新數(shù)據(jù)的平均值一定是0，總和也一定是0。如此，是不是說它們沒有偏差了呢？

生不對，明明是有偏差的，全部等于平均數(shù)才沒有偏差。

師是的。尤其是小川的數(shù)據(jù)，明明離得很開，散得很遠(yuǎn)。但這是我們的直覺，怎樣計(jì)算才能讓這個(gè)離散程度顯現(xiàn)出來呢？

生可以加絕對值。

師加絕對值？這是個(gè)好辦法。往大、往小離散都是離散，不需要考慮正負(fù)，只需要考慮絕對值。然后，可以把它們?nèi)考悠饋怼．?dāng)然，不要忘了除以總數(shù)。為什么？因?yàn)樗阋唤M數(shù)據(jù)的離散程度，應(yīng)該算平均程度，而不是總的程度。還用代數(shù)式表達(dá)，就是——（同步板書）|x1-x|+|x2-x|+…+|xn-x|n。這回它就抵消不了了吧？（稍停）老師再問一問：除了加絕對值能夠“撥亂反正”，做到偏差的真正累積，還有什么辦法也能夠真正累積，而不抵消？

生平方。

師平方？對的，那我覺得四次方也是可以的。

生不行。

師為什么四次方就不行？

生太大了。

師大歸大，行還是行的。我也寫起來——（同步板書）（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n。不過，這個(gè)方法有一個(gè)不太好的地方，就是算出的結(jié)果會很大，而且單位跟原來的不一樣。所以，數(shù)學(xué)家很有意思，他們給平方以后的這個(gè)值再開個(gè)方。（在剛才的算式上加根號）同學(xué)們說得都非常好！（指板書）加絕對值的式子叫作——（同步板書）平均差，指向離散程度;（指板書）平方以后的式子叫作——（同步板書）方差，當(dāng)然也指向離散程度;還有，（指板書）再開方的式叫作——（同步板書）標(biāo)準(zhǔn)差。

[點(diǎn)評：類似地，通過極差的局限性，引發(fā)學(xué)生尋找其他能表示離散程度的統(tǒng)計(jì)量的訴求。整個(gè)過程中，教師通過問題鏈循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生自己得出平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念（當(dāng)然，得到的是含義而非名稱），同時(shí)理解作差、加絕對值、平方、開方計(jì)算的原因，即知其然更知其所以然。其中的平均差，雖然不是教材中的內(nèi)容，卻是學(xué)生自然而然出現(xiàn)的想法。正是教師時(shí)刻不忘學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，才能讓學(xué)生迸發(fā)出如此難能可貴的思維火花。]

（四）綜合應(yīng)用

師在這節(jié)課的最后，老師要講一個(gè)非常有趣的故事。（PPT出示表5）第28屆奧運(yùn)會男子50 m步槍決賽，兩名運(yùn)動(dòng)員10次射擊的成績?nèi)绫硭?。你們看，乙的成績?4、104、93……漂亮得不得了，金牌唾手可得;但是最后一次，是0，其實(shí)不是0，而是10.6，但打到了別人的靶上。乙就是馬修·埃蒙斯，奧運(yùn)史上的悲情英雄。因?yàn)樗淖詈笠粨?，我們中國的選手獲得了奧運(yùn)冠軍。各位，平均值8.84，能代表他的水平嗎？

生不能。

師可是，從離散程度來說，他是十分不穩(wěn)定的，對不對？

生對！

師馬修說過一段話，我非常喜歡。他說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)不只是分?jǐn)?shù)，更重要的是對數(shù)學(xué)知識、學(xué)習(xí)方法的領(lǐng)悟，以及熱愛數(shù)學(xué)。

[點(diǎn)評：利用奧運(yùn)史上的真實(shí)故事，說明衡量一組數(shù)據(jù)要綜合考量反映集中趨勢和離散程度的多個(gè)統(tǒng)計(jì)量，幫助學(xué)生將整節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容有機(jī)地融會貫通，并使學(xué)生進(jìn)一步感受到本節(jié)課所學(xué)的知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用。這組數(shù)據(jù)選自蘇科版初中數(shù)學(xué)教材，這是基于多版本教材進(jìn)行教學(xué)的一種體現(xiàn)。]

（五）提問結(jié)課

師最后，請同學(xué)們提三個(gè)有價(jià)值的問題。

生為什么會有這么多方法來表示集中趨勢和離散程度？

生統(tǒng)計(jì)學(xué)直到如今是否還沒有達(dá)到一個(gè)頂峰？

生今天學(xué)習(xí)了很多平均數(shù)的表示方法，平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位和價(jià)值如何？

師各位同學(xué)，今天回去的作業(yè)就是學(xué)習(xí)單上的“請你提出你的問題和困惑”。下課！

[點(diǎn)評：提出關(guān)于這節(jié)課的問題，既能讓學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)，也能讓教師了解學(xué)生這節(jié)課的學(xué)習(xí)情況，據(jù)此進(jìn)行教學(xué)反思，作出教學(xué)改進(jìn)。這是一堂完整的課必不可少的環(huán)節(jié)。]

二、教學(xué)總評

（一）基于學(xué)生的教學(xué)應(yīng)該循循善誘，讓學(xué)生能學(xué)

基于學(xué)生的教學(xué)應(yīng)該是啟發(fā)式教學(xué)，而非灌輸式教學(xué)，即盡可能發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生自己思考、探索，解決問題、獲得知識。為此，教師需要多提問、少講授。基于學(xué)生的教學(xué)還應(yīng)該基于學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，尋找學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生解決新問題、獲得新知識，而非揠苗助長地讓學(xué)生解決無法解決的問題、理解無法理解的知識。為此，教師需要設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的問題鏈，并且根據(jù)學(xué)生的反饋生成適當(dāng)?shù)淖穯?，?qū)動(dòng)學(xué)生不斷思考、探索。

本節(jié)課中，教師基于學(xué)生已有的平均數(shù)知識，先設(shè)計(jì)簡單的問題情境，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)平均數(shù)的兩種求法，理解平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的集中趨勢;再設(shè)計(jì)對比的問題情境，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)極差的內(nèi)涵與意義;接著，設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)變大及特征變化的問題情境，引導(dǎo)學(xué)習(xí)求平均數(shù)的基準(zhǔn)法和加權(quán)平均數(shù)的含義;然后，設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)特征再變化的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)反映數(shù)據(jù)集中趨勢的局限性，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)眾數(shù)和中位數(shù)的內(nèi)涵與意義;而后，讓學(xué)生類比思考極差反映數(shù)據(jù)離散程度的局限性，發(fā)現(xiàn)平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的內(nèi)涵與意義;最后，設(shè)計(jì)真實(shí)的故事情境，讓學(xué)生綜合運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的知識，充分體會其實(shí)際意義。這樣的主問題設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步獲得新知。同時(shí)，在每一個(gè)主問題（環(huán)節(jié)）的教學(xué)中，不斷根據(jù)學(xué)生的反饋生成適當(dāng)?shù)淖穯?，與學(xué)生充分地互動(dòng)，從而真正做到循循善誘，以自然發(fā)生的方式促使學(xué)生獲得新知。

（二）基于學(xué)生的教學(xué)應(yīng)該富有趣味，讓學(xué)生想學(xué)

雖然提問互動(dòng)的教學(xué)能夠使課堂氣氛輕松而融洽，讓學(xué)生想學(xué)，但是基于學(xué)生的教學(xué)還應(yīng)該更加富有趣味，讓學(xué)生更想學(xué)。抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識常讓學(xué)生感到枯燥乏味——其中蘊(yùn)含的理智之趣并不是那么容易讓學(xué)生體會到的。但是，教師依然可以設(shè)法讓數(shù)學(xué)課堂富有趣味。一靠生動(dòng)活潑的語言，二靠跨越學(xué)科、貼近生活的聯(lián)系。當(dāng)然，這需要教師深厚的文化功底作為支撐。

本節(jié)課中，教師的語言生動(dòng)活潑，非常貼近學(xué)生：在口語化、通俗化的中文詞句中偶爾蹦出一些簡單易懂的英文詞句甚至古文詞句，顯得俏皮可愛，具有提神醒腦作用;善用比喻、擬人、夸張等修辭手法，如說學(xué)生是勞動(dòng)模范，說某個(gè)數(shù)據(jù)位高權(quán)重，說自己80歲了。另一方面，教師善于舉出跨越學(xué)科、貼近生活的事例作出解釋，如開場“瑄”字的偏旁變化為后續(xù)平均數(shù)的名稱變化埋下了伏筆，編小山、小川的故事，用埃蒙斯的故事。由此，很好地提升了課堂的趣味性，活躍了課堂的氛圍，激發(fā)了學(xué)生的積極性。

（三）指向素養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)該具有整體性，讓學(xué)生會學(xué)

認(rèn)知心理學(xué)告訴我們，影響學(xué)習(xí)遷移的重要認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量有概括程度和清晰程度等。指向素養(yǎng)的教學(xué)是少而精的教學(xué)，具有整體性，應(yīng)該用高觀點(diǎn)、大概念，即比較上位的觀念引領(lǐng)眾多下位內(nèi)容的學(xué)習(xí)，并且注意辨析下位內(nèi)容之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而使學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能夠遷移，學(xué)會學(xué)習(xí)。同時(shí)，特別要注意幫助學(xué)生理解知識內(nèi)容背后的道理（為什么？怎么來的？），因?yàn)檫@些道理往往指向更上位的觀念。

本節(jié)課的內(nèi)容便整合了教材一章（三節(jié)）的知識。這些知識不難，但是瑣碎。一個(gè)一個(gè)地教給學(xué)生，學(xué)生也能接受，但是很難有深刻的理解，因而容易忘記、容易混淆。教師用上位的集中趨勢和離散程度概念統(tǒng)領(lǐng)下位的平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等概念。同時(shí)，用真實(shí)的數(shù)據(jù)分析問題激發(fā)需求，引導(dǎo)學(xué)生自然地生成這些概念。在這個(gè)過程中，學(xué)生理解了這些概念產(chǎn)生的原因，明晰了各個(gè)概念所起的作用。更為重要的是，學(xué)生認(rèn)識到是不同情況下數(shù)據(jù)分析的需要（比如，只看集中趨勢不夠，還要考慮離散程度;利用平均數(shù)反映集中趨勢有時(shí)不合理等）導(dǎo)致這些概念的產(chǎn)生，因而，能夠建立數(shù)據(jù)分析這一更上位的觀念（也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一）——同時(shí)，也建立了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等上位的觀念。上完這節(jié)課，學(xué)生無須記憶也不會搞混各個(gè)概念，因?yàn)樗麄兝斫饬藬?shù)據(jù)分析根本上的道理。實(shí)際上，學(xué)生同樣無須記憶也不會搞混求平均數(shù)的幾種方法，因?yàn)樗麄兝斫饬撕喕?jì)算根本上的道理。

此外，很多上位觀念是跨學(xué)科的。比如，很多詞語的意思在語文和數(shù)學(xué)中是相通的，很多道理在生活和數(shù)學(xué)中是相通的（如變中不變的觀念）。本節(jié)課中，教師打通學(xué)科的教學(xué)、跨越領(lǐng)域的類比，更好地指向了學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（四）指向素養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)該具有現(xiàn)實(shí)性，讓學(xué)生能用

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。脫離生活后形式化的數(shù)學(xué)具有高度抽象的特點(diǎn)（尤其是代數(shù)與統(tǒng)計(jì)分支），因而也（才）具有廣泛的應(yīng)用性。史寧中教授強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)要體現(xiàn)在“三會”（會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界）中。因此，指向素養(yǎng)的教學(xué)還應(yīng)該具有現(xiàn)實(shí)性，充分引導(dǎo)學(xué)生解決生活問題，分析實(shí)際案例，認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

本節(jié)課中，教師選擇了睡眠時(shí)間、身高、年齡、運(yùn)動(dòng)會、文化使者、奧運(yùn)比賽等源于生活、真實(shí)有趣的問題與案例，帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析數(shù)據(jù)，作出推斷，讓學(xué)生深刻地感受到“數(shù)據(jù)會說話”“數(shù)學(xué)有用處”，充分培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

參考文獻(xiàn)：

[1] 華錚.培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念：“移多補(bǔ)少”的價(jià)值追尋——《平均數(shù)》教學(xué)的實(shí)踐與思考[J].教育科學(xué)論壇，2020（22）.

[2] 衛(wèi)德彬，李祖海，劉輝.初中統(tǒng)計(jì)與概率的難點(diǎn)分析及教學(xué)對策[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（6）.

[3] 于月娥.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中認(rèn)知沖突的實(shí)踐與思考[J].課程教育研究，2019（48）.

[4] 李祎，陳柳娟.教學(xué)不是一種“告訴”行為[J].教育研究與評論，2021（1）.

[5] 唐恒鈞，張維忠.數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的內(nèi)涵與特征[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（1）.

[6] 夏繁軍，胥慶，王建華.數(shù)學(xué)大概念及其提取[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（10）.