陳誠 林書玉

(陜西師范大學(xué),陜西省超聲學(xué)重點實驗室,西安 710119)

本文提出了一種基于2-2型壓電復(fù)合材料的新型寬頻帶徑向振動超聲換能器,它主要由內(nèi)金屬圓環(huán)和外壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)組成.首先利用Newnham串并聯(lián)理論和均勻場理論推導(dǎo)了2-2型壓電復(fù)合材料的等效參數(shù)； 其次利用解析法得到了金屬圓環(huán)和徑向極化壓電復(fù)合陶瓷圓環(huán)徑向振動的機電等效電路； 最后得到了換能器的六端機電等效電路,從而得到了換能器的頻率方程.接著分析了換能器共振頻率和反共振頻率以及有效機電耦合系數(shù)與幾何尺寸、兩相體積占比的關(guān)系,采用仿真軟件對新型換能器的徑向振動進行了數(shù)值模擬.結(jié)果表明,利用解析法得到的共振頻率和反共振頻率與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好.此外,對換能器在水下的輻射聲場進行了仿真研究,結(jié)果表明新型復(fù)合材料徑向換能器相比傳統(tǒng)純陶瓷徑向換能器,發(fā)射電壓響應(yīng)幅值更大,工作帶寬提高接近一倍,聲匹配更佳.

1 引 言

徑向振動換能器具有輻射面積大、輻射效率高、徑向輻射均勻,作用范圍廣等優(yōu)點,因此被廣泛應(yīng)用于水聲、超聲降解以及聲化學(xué)等超聲液體處理技術(shù)領(lǐng)域[1].徑向換能器種類主要有以下幾種：圓管型壓電陶瓷換能器[2]、復(fù)合型圓管壓電換能器[3]和徑向復(fù)合壓電超聲換能器等[4,5].另一方面,2-2型壓電復(fù)合材料是現(xiàn)在研究最具體、發(fā)展前景最好的壓電復(fù)合材料之一.這種新型材料相較于傳統(tǒng)純壓電陶瓷,具有低阻抗、低機械品質(zhì)因數(shù)、頻帶寬等優(yōu)點[6,7].

本文提出了一種基于2-2型壓電復(fù)合材料的新型徑向振動超聲換能器,如圖1所示,它是由內(nèi)金屬圓環(huán)和外壓電復(fù)合陶瓷圓環(huán)組成.首先推導(dǎo)了2-2型壓電復(fù)合材料的等效參數(shù),并利用解析法推導(dǎo)了金屬圓環(huán)和徑向極化壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)徑向振動的機電等效電路和換能器的頻率方程.接著采用仿真軟件對新型換能器的徑向振動性能進行數(shù)值仿真模擬,并對結(jié)果進行分析.最后研究了新型徑向換能器較傳統(tǒng)徑向純陶瓷換能器在工作帶寬和聲匹配上的性能提升.

圖1 新型徑向振動復(fù)合材料圓環(huán)換能器Fig.1.New radial vibration composite ring transducer.

2 2-2型壓電復(fù)合材料等效參數(shù)推導(dǎo)

如圖2所示,取z方向為極化方向,壓電相為橫觀各向同性體,聚合物相為各向同性體,聚合物相無壓電效應(yīng).

圖2 2-2 型壓電復(fù)合材料Fig.2.2-2 piezoelectric composite.

壓電相本構(gòu)關(guān)系為[8,9]

聚合物相本構(gòu)關(guān)系為

該復(fù)合材料主向(z方向)拉伸時,不會引起剪切變形的耦合效應(yīng),故可將T4=T5=T6=0 ,E1=E2=0處理,根據(jù)Newnham串并聯(lián)理論[10]可以寫出各個方向應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系式,其中vc代表壓電相體積分數(shù),vp代表聚合物相體積分數(shù),vc+vp=1 .

在x方向,壓電相和聚合物相串聯(lián),則各相應(yīng)力相等,應(yīng)變?yōu)楦飨鄳?yīng)變之和,即：

在y方向,壓電相和聚合物相并聯(lián),則各相應(yīng)變相等,應(yīng)力為各相應(yīng)力之和,即：

在z方向,壓電相和聚合物相并聯(lián),則各相應(yīng)變相等,應(yīng)力為各相應(yīng)力之和,電場強度分量相等,電位移分量為各相電位移分量之和即：

取兩相中相等的場量作為獨立變量建立本構(gòu)關(guān)系[11],在壓電相中,取,,,為獨立變量,本構(gòu)方程可表示為

壓電復(fù)合材料本構(gòu)方程可以表示為

3 新型徑向復(fù)合換能器理論推導(dǎo)

3.1 2-2型壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)徑向振動的等效電路

圖3是一個徑向極化的壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán),其中b,c和h分別是圓環(huán)內(nèi)外半徑和厚度.壓電本構(gòu)方程可以表示為

圖3 壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)Fig.3.Piezoelectric ceramic composite ring.

其中Tθ,Tz,Tr分別表示切向應(yīng)力,縱向應(yīng)力和徑向應(yīng)力；Sθ,Sz,Sr分別表示切向應(yīng)變,縱向應(yīng)變和徑向應(yīng)變；Er=Er(r,t) 是徑向激勵電場；Dr=Dr(r,t)是電位移矢量分別代表壓電陶瓷復(fù)合圓環(huán)的等效彈性常數(shù)、壓電常數(shù)以及介電常數(shù).由于換能器厚度遠小于徑向尺寸,因此換能器的振動可以看成平面應(yīng)力問題[12],即Tz=0 .將(13)式變形為

將(16)式分別代入(12)式、(14)式和(15)式得[13]

壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)徑向振動的波動方程及應(yīng)變和位移關(guān)系可以表示為

電場強度幅值可以表示為

式中,L3是一個常數(shù),可由電邊界條件決定,

將(22)式代入(17)式和(18)式得

式中,

將(21)式、(23)式和(24)式代入(20)式并分離時間變量得

式中,

ω是角頻率,ρ,ρc和ρp分別是壓電復(fù)合材料等效密度,壓電相密度和聚合物相密度,k和V3分別是波數(shù)和徑向極化壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)中徑向振動的傳播速度.方程(25)是廣義貝塞爾方程,其解為

式中,Jv(kr) ,Yv(kr) 是v階的第一類和第二類貝塞爾函數(shù),s-1,v(kr) 是第一類隆梅爾函數(shù),A1,A2是兩個常數(shù).根據(jù)(26)式可以得出徑向振動壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)的徑向振動速度為

根據(jù)速度邊界條件：v|r=b=vb,v|r=c=-vc可得

式中,τ1,τ2和τ3是三個引入的常數(shù),其具體表達式為

壓電復(fù)合陶瓷圓環(huán)內(nèi)外表面間的電壓可表示為

式中,

根據(jù)壓電復(fù)合陶瓷徑向力邊界條件：Fb=-TbSb,Fc=-TcSc,其中Sb=2πbh,Sc=2πch,化簡可得

式中,

n和C0分別是機電轉(zhuǎn)換系數(shù)和鉗定電容.流過壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)的電流可以由下式得出：

圖4 徑向極化壓電陶瓷復(fù)合圓環(huán)徑向振動的機電等效電路Fig.4.Electromechanical equivalent circuit of radial vibration of a piezoelectric ceramic composite ring with radial polarization.

基于以上推導(dǎo),可以得到徑向極化壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)徑向振動的六端機電等效電路如圖4所示.

圖4中,各個部分阻抗的表達式如下：

3.2 金屬圓環(huán)徑向振動的等效電路

金屬圓環(huán)內(nèi)外半徑,厚度分別為a,b,h,其徑向振動的四端機電等效電路如圖5所示.

圖5 徑向振動金屬圓環(huán)的機電等效電路Fig.5.Electromechanical equivalent circuit of radial vibrating metal ring.

在圖5中,各個阻抗的表達式如下[13]：

式中,

ρ0,E0和v0分別是金屬圓環(huán)的密度、楊氏模量和泊松比,k0和vr分別是金屬圓環(huán)中波數(shù)和徑向振動的傳播速度.

圖6 徑向振動壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)換能器的機電等效電路Fig.6.Electromechanical equivalent circuit of radial vibration piezoelectric ceramic composite toroidal transducer.

3.3 新型徑向復(fù)合換能器的等效電路及頻率方程

利用力及振速的連續(xù)性條件,可以得出徑向振動壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)換能器的機電等效電路,如圖6所示.

圖6中Z1L和Z2L分別代表新型換能器內(nèi)外表面的徑向負載阻抗,當忽略換能器內(nèi)外負載阻抗,即Z1L和Z2L都為0時,由圖6可以得到整個換能器的機械阻抗為[14]

其中壓電復(fù)合陶瓷圓環(huán)機械阻抗為

換能器的輸入電阻抗為

則換能器共振頻率方程為

反共振頻率方程為

4 換能器振動性能分析

4.1 換能器振動性能與幾何尺寸、兩相體積占比的關(guān)系

通過求解頻率方程(43)式和(44)式可以得出換能器的共振及反共振頻率,從而可以對換能器的共振頻率與其幾何尺寸[15]以及復(fù)合材料兩相體積占比[16]之間的關(guān)系進行進一步的研究.金屬圓環(huán)的材料為不銹鋼,其材料參數(shù)為[4]

ρ0=7800 kg/m3,E=2.09 進行11N/m2,v0=0.28.

壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)的壓電相為PZT-4,其材料參數(shù)為

聚合物相為環(huán)氧樹脂,其材料參數(shù)為[17]：

換能器的幾何尺寸分別為：a= 6 mm,c= 26 mm,h=6 mm,a≤b≤c.

圖7(a)和圖7(b)是換能器一階共振頻率和反共振頻率與其半徑比之間的理論關(guān)系.如圖7(a)所示,同一兩相體積占比(vp/vc=0.25 )情況下,當半徑比增加時,新型復(fù)合換能器的一階共振頻率和反共振頻率呈下降趨勢.用fr,fa分別表示換能器的共振頻率和反共振頻率,換能器有效機電耦合系數(shù)可以表示為如圖7(b)所示,同一兩相占比 (vp/vc=0.25 )情況下,當半徑比增加時,新型復(fù)合換能器的有效機電耦合系數(shù)呈先增大后減小的趨勢,半徑比在0.35左右,有效機電耦合系數(shù)取到最大值.另外,如圖7(c)和圖7(d)所示,同一半徑比 (τ=0.6 )情況下,當兩相占比增加時,新型復(fù)合換能器的一階共振頻率和反共振頻率呈上升趨勢,而有效機電耦合系數(shù)呈下降趨勢.因此在實際換能器設(shè)計中,應(yīng)充分考慮尺寸與兩相占比對換能器振動性能的影響,為了得到較高的機電轉(zhuǎn)換效率,換能器半徑比設(shè)計應(yīng)盡量接近于0.35,聚合物相占比越高雖然會導(dǎo)致機電轉(zhuǎn)換效率降低,但同時也能帶來更好的聲匹配能力,因此在換能器設(shè)計中選擇較低聚合物相占比即可.

4.2 換能器振動性能的仿真模擬

為驗證換能器的解析理論,利用仿真軟件(COMSOL Multiphysics 5.4)對換能器的振動模態(tài)及共振頻率進行了數(shù)值模擬.結(jié)果如表1所示,fr,fa分別表示換能器一階徑向振動共振頻率、反共振頻率的理論計算結(jié)果,fr1,fa1分別表示換能器一階徑向振動數(shù)值模擬結(jié)果,誤差A(yù)1=|fr-fr1|/fr1,A2=|fa-fa1|/fa1.而誤差主要來源于在解析理論中,假設(shè)換能器的厚度遠小于其徑向尺寸,理想情況應(yīng)該是無限小,而在數(shù)值模擬過程中換能器尺寸則是有限的,此外在復(fù)合材料等效參數(shù)推導(dǎo)中并沒有考慮材料形狀對結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響,因此會產(chǎn)生一定誤差.由表1可以看出,數(shù)值模擬得到的換能器在不同半徑比或不同兩相占比的情況下(空氣中),一階徑向振動的共振頻率、反共振頻率與根據(jù)解析法得出的結(jié)果吻合較好,從而驗證了新型換能器理論設(shè)計的正確性,圖8為表1不同半徑比或不同兩相占比的換能器共振時的振動模態(tài)圖像.

圖7 (a) 換能器的一階共振頻率和反共振頻率與幾何尺寸之間的關(guān)系； (b) 換能器的有效機電耦合系數(shù)與幾何尺寸之間的關(guān)系；(c) 換能器的一階共振頻率和反共振頻率與兩相占比之間的關(guān)系； (d) 換能器的有效機電耦合系數(shù)與兩相占比之間的關(guān)系Fig.7.(a) Relationship between the first-order resonance frequency and anti-resonance frequency of the transducer and the geometrical size； (b) relationship between the effective electromechanical coupling coefficient and geometric dimensions of the transducer；(c) relationship between the first-order resonance frequency and anti-resonance frequency of the transducer and the proportion of the two phases； (d) relationship between the effective electromechanical coupling coefficient of the transducer and the proportion of the two phases.

4.3 相比傳統(tǒng)徑向換能器的性能提升

為了驗證新型換能器相比傳統(tǒng)徑向換能器的性能提升,利用仿真軟件(COMSOL Multiphysics 5.4)對換能器在水下的輻射聲場進行了仿真研究[18],假設(shè)換能器處在無限大水域內(nèi)工作.在53到65 kHz 范圍內(nèi),同一尺寸 (a= 6 mm,b= 16 mm,c=24 mm,h= 6 mm,vp/vc=0.429 )的新型換能器的發(fā)射電壓響應(yīng)相比傳統(tǒng)徑向換能器幅值更大,其原因在于采用壓電復(fù)合材料以后,換能器的聲阻抗匹配得到了改善.另外,以中心頻率對應(yīng)發(fā)射電壓響應(yīng)左右下降3 dB取換能器工作帶寬[19,20],由數(shù)值模擬結(jié)果可知該尺寸下新型徑向換能器在水中振動的中心頻率在53082 Hz,振動模態(tài)如圖9(a)所示,傳統(tǒng)徑向換能器的中心頻率在55356 Hz,振動模態(tài)如圖9(c)所示,則由圖10可見,新型換能器工作帶寬為6000 Hz左右,即為圖10中兩藍線間隔,而傳統(tǒng)徑向換能器工作帶寬為3000 Hz左右,即為圖10中兩綠線間隔,兩者相差接近一倍,因此新型換能器相比傳統(tǒng)徑向換能器性能上有很大的提升,是一種針對傳統(tǒng)換能器性能提升的改進方案.另外在圖10中可以看到新型換能器和傳統(tǒng)換能器在68和73 kHz左右出現(xiàn)峰值,因此對利用仿真軟件對兩種換能器在對應(yīng)峰值頻率附近尋找特征頻率,其振動模態(tài)分別如圖9(b)和圖9(d)所示,由圖可見此時兩種換能器的振動模態(tài)非常復(fù)雜,存在徑向振動和彎曲振動的耦合振動,且振動位移較大,因此在水中發(fā)射電壓響應(yīng)出現(xiàn)了一個峰值,但由于振動模態(tài)復(fù)雜,并非本文所研究模態(tài).

表1 新型徑向復(fù)合材料換能器共振頻率的理論及數(shù)值模擬結(jié)果(一階徑向振動)Table 1.Theoretical and numerical simulation results of the resonance frequency of the new radial composite transducer(first-order radial vibration).

圖8 (a) 換能器共振頻率為 53198 Hz 時的振動模態(tài)； (b) 換能器共振頻率為 47552 Hz 時的振動模態(tài)； (c) 換能器共振頻率為52675 Hz 時的振動模態(tài)； (d) 換能器共振頻率為 47901 Hz 時的振動模態(tài)Fig.8.(a) The vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 53198 Hz； (b) the vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 47552 Hz； (c) the vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 52675 Hz； (d) the vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 47901 Hz.

圖9 (a) 換能器共振頻率為 53082 Hz 時的振動模態(tài)； (b) 換能器共振頻率為 68070 Hz 時的振動模態(tài)； (c) 換能器共振頻率為55356 Hz 時的振動模態(tài)； (d) 換能器共振頻率為 73747 Hz 時的振動模態(tài)Fig.9.(a) The vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 53082 Hz； (b) the vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 68070 Hz； (c) the vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 55356 Hz； (d) the vibration mode of the transducer when the resonance frequency is 73747 Hz.

圖10 新型復(fù)合材料徑向換能器與傳統(tǒng)純陶瓷徑向換能器的發(fā)射電壓響應(yīng)曲線Fig.10.The emission voltage response curves of the new radial transducer and the traditional radial transducer.

5 結(jié) 論

本文研究了一種新型徑向振動壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)換能器,推導(dǎo)了2-2型壓電復(fù)合材料的等效參數(shù),得到了徑向極化壓電陶瓷復(fù)合材料圓環(huán)換能器的機電等效電路及其頻率方程.利用仿真軟件對換能器的徑向振動性能進行了數(shù)值模擬,結(jié)果表明數(shù)值模擬得到的換能器一階徑向振動的共振頻率、反共振頻率與用解析法得出的結(jié)果吻合較好.主要結(jié)論主要有以下幾點：

1) 推導(dǎo)了2-2型壓電復(fù)合材料的等效參數(shù),并將其應(yīng)用于徑向換能器理論設(shè)計中；

2) 同一兩相占比 (vp/vc=0.25 )情況下,當半徑比增加時,新型復(fù)合換能器的一階共振頻率和反共振頻率呈下降趨勢.同一兩相占比(vp/vc=0.25 )情況下,當半徑比增加時,復(fù)合換能器的有效機電耦合系數(shù)呈先增大后減小的趨勢,半徑比在0.35左右,有效機電耦合系數(shù)取到最大值.另外,同一半徑比(τ=0.6 )情況下,當兩相占比增加時,復(fù)合換能器的一階共振頻率和反共振頻率呈上升趨勢,而有效機電耦合系數(shù)呈下降趨勢；

3) 在 53 到 65 kHz范圍內(nèi),新型復(fù)合材料徑向換能器相比傳統(tǒng)純陶瓷徑向換能器,發(fā)射電壓響應(yīng)幅值更大,工作帶寬提高接近一倍,聲匹配更佳.