非線性自回歸模型誤差密度估計的Berry-Esseen界

劉天澤, 張 勇, 譚希麗

(1. 北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 吉林 吉林 132013; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

1 引言及主要結(jié)果

考慮如下非線性自回歸模型

Xi=rθ(Xi-1,…,Xi-s)+εi,

(1)

其中: {Xi}是一個嚴(yán)平穩(wěn)過程;rθ為s→上的實值可測函數(shù),θ=(θ1,…,θq)′∈Θ?q是參數(shù)向量; {εi}是均值為0、 方差為σ2的獨(dú)立同分布隨機(jī)誤差, 有未知的密度函數(shù)f. 假設(shè)Xi-1,…,Xi-s和{εi}獨(dú)立. 顯然, 模型(1) 包含了一系列非線性時間序列模型, 在金融統(tǒng)計中已得到廣泛關(guān)注[1]. Cheng等[2]研究了隨機(jī)誤差的擬合優(yōu)度檢驗; 文獻(xiàn)[3-5]討論了隨機(jī)誤差的密度函數(shù)估計問題； 傅可昂等[6]研究了重尾非線性模型自加權(quán)M-估計的漸近正態(tài)性.

Berry-Esseen不等式[7-8]表示隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}前n項正則化和的分布函數(shù)Fn(x)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)之差趨于零的收斂速度, 目前已取得許多研究成果. Parzen[9]證明了獨(dú)立同分布情形下, 隨機(jī)變量序列核密度估計的Berry-Esseen 界可達(dá)O((nhn)-1/2)； 文獻(xiàn)[10-11]研究了不同情形下的Berry-Esseen界問題. 本文基于文獻(xiàn)[9], 給出非線性自回歸模型誤差密度估計的Berry-Esseen界.

下面給出模型(1)的誤差核密度函數(shù). 假設(shè)核函數(shù)K(·)是上給定的Borel可測函數(shù), 窗寬hn>0是與n有關(guān)的常數(shù), 滿足模型(1)的誤差密度估計為

(2)

下面給出幾個基本假設(shè).

(3)

(H3) 假設(shè)K是上的有界變差函數(shù),K″是有界的, 且對每個δ>0, 有

注1由模型(1), 假設(shè)Xi-1,…,Xi-s和{εi}獨(dú)立, 易知εi與Yij獨(dú)立.

注2Klimko等[12]給出了隨機(jī)過程的條件最小二乘估計滿足式(3)的重對數(shù)律； 非線性情形下, Liebscher[13]研究了非線性自回歸模型參數(shù)θ的M估計的重對數(shù)律.

本文假設(shè)C表示正常數(shù), 在不同之處可表示不同值,Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù). 本文主要結(jié)果如下：

定理1對定點t∈, 密度函數(shù)f(t)滿足一階Lipshitz條件, 即

|f(t)-f(t-y)|≤C|y|, ?y∈.

(4)

假設(shè)窗寬hn滿足

則對任意的y∈, 在假設(shè)條件(H1)～(H3)下, 有

(5)

2 引 理

引理1[14]設(shè)X,Y為兩個隨機(jī)變量, 對任意a>0, 有

引理2假設(shè)1≤i≤n, 1≤j,l≤q, 則

證明: 由假設(shè)條件(H1)易得結(jié)論.

引理4假設(shè)定理1的條件成立, 則有

證明: 注意到

且

因為Yij和εi獨(dú)立, 所以由式(4)和條件(H3)可得

由引理2, 有

再考慮I12, 由式(4)和條件(H3), 有

由Cr不等式和引理2可知,

另一方面, 由條件(H2)可得

從而有

再注意到

引理5假設(shè)定理1 的條件成立, 則有

證明: 注意到

且

先考慮I21, 由引理2有

再考慮I22, 由Cr不等式和引理2可知,

另一方面, 由條件(H2)可得

因此可得

引理6假設(shè)定理1的條件成立, 則有

引理7假設(shè)定理1的條件成立, 則有

從而可得

3 定理1的證明

下面證明定理1. 由式(1),(2)和Taylor展開, 有

由Markov不等式可得