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      分裂可行問題自適應(yīng)步長慣性球松弛CQ算法

      2021-01-21 13:58:46張雅軒張亞龍
      中國民航大學(xué)學(xué)報 2020年6期
      關(guān)鍵詞:實數(shù)慣性步長

      張雅軒,張亞龍

      (中國民航大學(xué)理學(xué)院,天津 300300)

      分裂可行性問題是指找一點x*,滿足x*∈C,Ax*∈Q,其中,C 和Q 分別是Hilbert 空間H1和H2中的非空閉凸子集,A 是H1→H2的有界線性算子。該問題首次由Censor 等[1]在有限維Hilbert 空間中提出,且得到了廣泛應(yīng)用。近年來,許多學(xué)者提出了求解分裂可行性問題的迭代算法,其中,被廣泛關(guān)注的一種是Byrne[2]提出的CQ 算法。但在算法實現(xiàn)中,一般閉凸子集上的投影不易計算,確定步長取值范圍的算子范數(shù)也難于估計。針對第一個問題,Yang[3]提出了半空間松弛CQ 算法,Yu 等[4]提出了另一種用閉球進行松弛的CQ 算法。針對第二個問題,López 等[5]提出用自適應(yīng)步長代替算法中的固定步長,Qu 等[6]將Armijo 線搜索用于分裂可行問題CQ 算法的步長設(shè)計。近年來慣性加速算法大量涌現(xiàn),對算法收斂速度的提升效果明顯。Polyak[7]首次從微分方程角度提出慣性項,并將其用于光滑凸優(yōu)化問題求解加速,但沒有涉及慣性項在分裂可行性問題中的應(yīng)用。綜上所述,在經(jīng)典CQ 算法基礎(chǔ)上,采用自適應(yīng)步長及球松弛方法,并引入慣性項構(gòu)造新算法,用于求解分裂可行性問題,可有效加快算法的收斂速度。最后證明算法在無限維Hilbert 空間中強收斂。

      1 預(yù)備知識

      設(shè)H 是一個Hilbert 空間,稱T ∶H→H 為firmly非擴張映像,如果?x,y∈H

      其中,T 為firmly 非擴張映像當(dāng)且僅當(dāng)I-T 也為firmly 非擴張映像。

      設(shè)C 為H 中的非空閉凸子集,定義度量投影算子PC:H→C 為

      投影算子為firmly 非擴張映像。

      引理1[8]設(shè)數(shù)列{sn}和{cn}為非負(fù)實數(shù)列,滿足

      其中:{an}?(0,1);{cn}為實數(shù)列。假定則①如果bn≤anM(M>0),則{sn}有界;②如果且則

      引理2[9]設(shè){sn}為非負(fù)實數(shù)列,滿足

      其中:{αn}?(0,1);{ηn}是非負(fù)實數(shù)列。若{αn}、{ηn}和{γn}滿足:蘊含則有

      2 算法及其強收斂性

      假設(shè)集合C={x∈H1| c(x)≤0},集合Q={y∈H2| q(y)≤0},其中,c:H1→(-∞,+∞],q:H2→(-∞,+∞]為下半連續(xù)的強凸函數(shù)。定義

      其中:ξk∈?c(xk);ηk∈?q(Axk)。如果c 和q 分別為α-強凸函數(shù)和β-強凸函數(shù),可證明和為分別包含C,Q 的閉球[4]。

      進一步假定H1:分裂可行性問題的解集用S 表示且非空,H2:c 和q 的次微分在有界集上有界。記

      算法1任取u,x0,x1,假設(shè)αk∈(0,1),βk∈(0,1),有

      定理1若:其中,β∈[0,1),‖xk-xk-1‖=0,則{xk}強收斂于PSu。

      證明設(shè)x*=PSu,由I-與I-是firmly 非擴張映像,可得

      則由式(3)及算法1 中λk的定義,有

      由算法1 可知0<ρk<4,則

      由式(5)和式(6)有

      其中

      由定理1 中條件③及引理1 中①表明,數(shù)列{xk}、{yk}、{Δfk(yk)}都有界。

      另一方面

      結(jié)合式(4)可得

      綜合式(7)和式(8)可得

      則式(9)可重寫為

      根據(jù)引理2 及定理1 的條件②和③,要證明{xk}強收斂,只需證明蘊含

      同理可知

      根據(jù)投影算子的性質(zhì),有

      另一方面,由定理1 的條件③,有

      從而有

      由式(10)、(11)和(12)可得

      證畢。

      3 結(jié)語

      針對分裂可行性問題,在有限維空間中自適應(yīng)步長的球松弛CQ 算法基礎(chǔ)上,添加了慣性項加快收斂速度;同時利用Halpern 迭代格式調(diào)整算法。最后,證明算法在無限維Hilbert 空間中強收斂。

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