崔靜靜 廖遠(yuǎn)鴻 (西昌學(xué)院理學(xué)院 615013)

趙思林 (內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641110)

數(shù)學(xué)中的原理主要包括公式、法則、定理、性質(zhì)[1]． 數(shù)學(xué)原理的探究、發(fā)現(xiàn)(猜想)、證明、應(yīng)用、拓展(變式)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道． 從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的角度來看，數(shù)學(xué)的公式、法則、定理、性質(zhì)的教學(xué)，有不同的教學(xué)過程與規(guī)律．

1 數(shù)學(xué)原理的教學(xué)理論

數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的本質(zhì)包含兩方面的內(nèi)容：一是作為客觀的數(shù)學(xué)原理，即對(duì)原理的客觀陳述，具體表現(xiàn)為用言語符號(hào)等描述概念間的關(guān)系；二是作為主觀的數(shù)學(xué)原理，它體現(xiàn)了人的心理操作反應(yīng)系統(tǒng)． 數(shù)學(xué)原理的教學(xué)不僅需要學(xué)生習(xí)得描述數(shù)學(xué)原理的言語符號(hào)信息，更需要習(xí)得學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)原理的心理意義，構(gòu)成有意義學(xué)習(xí)．

數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)可劃分為4種依次遞增的水平：言語連鎖水平、正向產(chǎn)生式水平、逆向產(chǎn)生式水平、變形產(chǎn)生式水平． 其中變形產(chǎn)生式水平是最高的學(xué)習(xí)水平，它是創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)，表現(xiàn)為能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)原理解決問題，在數(shù)學(xué)教學(xué)中通常以推廣和引申的形式呈現(xiàn)． 因此，習(xí)得數(shù)學(xué)原理絕不是孤立地掌握某個(gè)數(shù)學(xué)原理，而是要在各數(shù)學(xué)原理之間建立聯(lián)系，形成完備的體系．

2 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)原理的教學(xué)探討

核心素養(yǎng)體現(xiàn)了教育的終極目標(biāo)就是要落實(shí)到人身上，個(gè)體在經(jīng)受學(xué)科教育后，習(xí)得的氣質(zhì)、思維方式等將不同于未經(jīng)這種學(xué)科教育的個(gè)體．[2]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著其獨(dú)特的使命，它不僅承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等六方面的素養(yǎng)，還肩負(fù)著培養(yǎng)“四能”的職責(zé)． 學(xué)生獲得“四能”，形成獨(dú)特的學(xué)科思維，擁有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的頭腦，實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”，這才是學(xué)生獲得核心素養(yǎng)的最高級(jí)表現(xiàn)． 課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地，數(shù)學(xué)概念、原理的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的良好載體． 一般地，數(shù)學(xué)原理的教學(xué)過程和培養(yǎng)的核心素養(yǎng)的關(guān)系如圖1所示． 下面將從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的視角，談?wù)剶?shù)學(xué)公式、法則、定理、性質(zhì)的教學(xué)．

圖1

2.1 數(shù)學(xué)公式的教學(xué)

關(guān)于公式的教學(xué)，給出以下四條教學(xué)策略． 首先，重點(diǎn)把握公式的推導(dǎo)過程，讓它成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng)的重要載體． 其次，應(yīng)注重探究它在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的來龍去脈、產(chǎn)生過程，讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解． 再次，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)、內(nèi)涵進(jìn)行分析，以此加深對(duì)公式的深度理解，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)抽象之美． 最后，加強(qiáng)新舊公式的關(guān)聯(lián)比較，促進(jìn)對(duì)公式的邏輯性理解．

案例1“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”的教學(xué)．

不少師范生經(jīng)常這樣導(dǎo)入新課：如何求sin 420°的值． 從揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系來看，顯然這個(gè)孤立問題的啟發(fā)性是不夠的． 首先，學(xué)生借助計(jì)算器等現(xiàn)代技術(shù)手段就能快速獲得答案，并沒有體現(xiàn)誘導(dǎo)公式的作用． 其次，這個(gè)問題過于僵化和實(shí)用，不能給學(xué)生提供廣闊的思維空間，從而降低了誘導(dǎo)公式這部分內(nèi)容的教育價(jià)值． 最后，這個(gè)問題過于獨(dú)立，很難與其他知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，從整體上認(rèn)識(shí)這部分知識(shí)．

那么，要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，不妨按照?qǐng)D1的技術(shù)路線進(jìn)行教學(xué)． 通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道三角函數(shù)可用于刻畫周期現(xiàn)象，那它是通過何種方式來刻畫周期現(xiàn)象的？用這種問題與探究的方式導(dǎo)入新課，給學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓他們分析與解決問題的能力得到發(fā)展． 借助單位圓，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與猜想，按照“點(diǎn)的周期性運(yùn)動(dòng)→角的周期性運(yùn)動(dòng)→三角函數(shù)的周期性運(yùn)動(dòng)”的思路進(jìn)行探究，建立用三角函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，得到誘導(dǎo)公式sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)． 對(duì)于其他幾組誘導(dǎo)公式，同樣可以用這樣的探究思路，將終邊對(duì)稱的圖形轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)間的代數(shù)關(guān)系[3]． 最后將公式總結(jié)為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．

案例2分類加法和分步乘法公式的應(yīng)用．

計(jì)數(shù)原理包括分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，二者分別對(duì)應(yīng)著加法原理和乘法原理． 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用常見于組數(shù)問題、映射問題、分配問題、與幾何有關(guān)的計(jì)數(shù)問題、涂(染)色問題、約數(shù)問題．

問題與探究1集合A={1,2,3,4}，B={5,6,7}，從A到B的映射有多少個(gè)？

推廣1 集合A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d}，從A到B的映射有多少個(gè)？其中一一映射有多少？

引申1 現(xiàn)有4個(gè)人去住3個(gè)房間． 問：有多少種住法？每個(gè)房間都不空著又有多少種住法？

引申2 設(shè)集合A={-1,0,1}，B={2,3,4,5,6}，從A到B的映射f:A→B，使對(duì)任意的x∈A，都有x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，求這樣映射的個(gè)數(shù)．

問題與探究1是分步計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用，對(duì)該問題進(jìn)行推廣與引申，實(shí)現(xiàn)了從簡單向復(fù)雜的逐步轉(zhuǎn)化． 與映射、一一映射聯(lián)系，設(shè)置逐級(jí)抽象的問題，讓學(xué)生的思維受到啟發(fā)，加強(qiáng)了對(duì)映射、計(jì)數(shù)原理關(guān)系間的理解，對(duì)知識(shí)進(jìn)行了橫向和縱向的延伸，培養(yǎng)了他們的抽象思維、邏輯素養(yǎng)．

案例3與幾何有關(guān)的計(jì)數(shù)問題．

問題與探究2如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有多少對(duì)？

思路1 由分類計(jì)數(shù)原理，如圖2所示，與AB成異面直線的有4對(duì)，與BC成異面直線的有4對(duì)……這樣的情況共六類． 按照分類加法原理，構(gòu)成異面直線共有4+4+4+4+4+4=24對(duì)．

圖2

思路2 由分步計(jì)數(shù)原理，構(gòu)成異面直線共有6×4=24對(duì)．

通過對(duì)該幾何問題的探究，能讓學(xué)生明白加法原理和乘法原理可用于解決同一問題，對(duì)兩者的關(guān)系有了進(jìn)一步的理解． 通過分析用哪一種計(jì)數(shù)原理以及如何實(shí)現(xiàn)分類或分步，培養(yǎng)了學(xué)生分析與解決問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的“四能”．

公式的產(chǎn)生絕不是“孤零零”存在的，也不是靠死記硬背保留在大腦中的． 講清公式的來龍去脈，不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的深刻理解和記憶，它的推廣、引申、應(yīng)用更是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、“四能”、創(chuàng)造性思維的良好途徑．

2.2 數(shù)學(xué)法則的教學(xué)

運(yùn)算法則指為達(dá)到一個(gè)問題的解決方案而定義的規(guī)則或過程，一般的運(yùn)算法則指加減乘除四則運(yùn)算． 更復(fù)雜的運(yùn)算法則也是對(duì)簡單的加減乘除四則運(yùn)算法則的繼承、演變與發(fā)展． 法則的教學(xué)能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)[4]． 高中數(shù)學(xué)最早提到“法則”是在函數(shù)定義中，接著是指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)、導(dǎo)數(shù)等．

案例4對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．

問題與探究3如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，證明：loga(MN)=logaM+logaN．

推廣1 當(dāng)M=N時(shí)，上式滿足什么關(guān)系？由此可猜想logaMn=？logambn=？

顯然，對(duì)數(shù)的換底公式由對(duì)數(shù)定義和推廣1推導(dǎo)得來． 下面以推廣2為抓手，進(jìn)一步推廣． 以問題的形式呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生思考，鍛煉了學(xué)生分析與解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的“四能”和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．

推廣4 猜想loga1a2·loga2a3·loga3a4·… ·logan-1an值為多少，并證明之．

推廣5 猜想loga1a2·loga2a3·…·logan-1an·logana1值為多少，并證明之．

先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上問題進(jìn)行合理猜想，再進(jìn)行分析與證明，由此使得學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理能力得到發(fā)展，并潛移默化地促進(jìn)他們猜想、質(zhì)疑精神的生長．

在數(shù)學(xué)概念和法則教學(xué)中，當(dāng)遇到一個(gè)新的概念和法則時(shí)，總希望它與已有的概念和法則建立聯(lián)系． 如學(xué)習(xí)減法時(shí)與加法聯(lián)系，學(xué)習(xí)除法時(shí)與乘法聯(lián)系，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)時(shí)與指數(shù)聯(lián)系等． 若已有的法則沒有學(xué)扎實(shí)，基礎(chǔ)沒有打牢，勢必會(huì)影響與之聯(lián)系的后續(xù)學(xué)習(xí)． 因此數(shù)學(xué)法則的教學(xué)要多關(guān)注與之有關(guān)的法則，在學(xué)習(xí)新法則之前能夠熟練地對(duì)已有的法則進(jìn)行“正用、逆用、變形使用”，使新舊法則相容，達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通．

2.3 數(shù)學(xué)定理的教學(xué)

數(shù)學(xué)定理的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)． 定理的教學(xué)通常是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的良好載體． 定理的教學(xué)方式可分為問題解決型、結(jié)果呈現(xiàn)型兩種教學(xué)交互模式[5]． 問題解決型的教學(xué)交互模式建立在發(fā)現(xiàn)探究學(xué)習(xí)、情境認(rèn)知理論的基礎(chǔ)上． 下例是正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)三角形邊角設(shè)置的巧妙性，找準(zhǔn)方法是正確列出式子的前提．

案例5正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用．

該問題是對(duì)角平分線的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及二倍角公式的綜合考查，需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力,適宜設(shè)計(jì)在余弦定理一節(jié)上完后，作為能力提升題型出現(xiàn). 教師應(yīng)給予學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考，學(xué)生可能因無法將這些知識(shí)綜合運(yùn)用而出現(xiàn)不適感，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行探究與發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，而非單一地對(duì)余弦定理題型進(jìn)行演練． 這樣的題型必定是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生學(xué)科思維，讓學(xué)生具有數(shù)學(xué)智慧的良好載體．

2.4 數(shù)學(xué)性質(zhì)的教學(xué)

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論的重要方式，是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本思維品質(zhì)． 數(shù)學(xué)中大多數(shù)定理、性質(zhì)的教學(xué)都離不開邏輯推理，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的教學(xué)．

案例6函數(shù)的單調(diào)性．

高中數(shù)學(xué)必修1在編排函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)時(shí)． 首先呈現(xiàn)的是觀察一次函數(shù)f(x)=x和二次函數(shù)f(x)=x2圖象的變化趨勢． 不少師范生在試講時(shí)“照貓畫虎”，沒認(rèn)識(shí)到函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵，不理解單調(diào)性的邏輯關(guān)系，就“依葫蘆畫瓢”先分析圖象，看出圖象的單調(diào)性后，再理所當(dāng)然的證明單調(diào)性． 究竟是從圖象上發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是單調(diào)的，才去證明它是單調(diào)的？還是研究該函數(shù)有這樣的單調(diào)性才導(dǎo)致圖象的單調(diào)性？正確的邏輯關(guān)系顯然是后者．[6]

案例7函數(shù)的奇偶性．

關(guān)于函數(shù)的奇偶性一節(jié)，教材首先讓學(xué)生觀察函數(shù)f(x)=x2和f(x)=2-|x|圖象的共同特征，再回答它們函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的． 同樣也有不少教者模仿教材“依葫蘆畫瓢”，這樣的教學(xué)是“膚淺”的——沒有理解函數(shù)奇偶性內(nèi)在的邏輯關(guān)系． 拿函數(shù)f(x)=x2來說，究竟是從其對(duì)稱圖象上發(fā)現(xiàn)f(x)與f(-x)的關(guān)系，還是因?yàn)橛辛薴(x)=f(-x)的關(guān)系，才導(dǎo)致圖象的對(duì)稱． 明顯后者是成立的． 基于以上分析，要培養(yǎng)學(xué)生正確的邏輯推理思維，不妨引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題與探究5為什么函數(shù)f(x)=x2和f(x)=2-|x|的圖象均關(guān)于y軸對(duì)稱？

引導(dǎo)學(xué)生分析、發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)解析式的特點(diǎn)與函數(shù)值間的關(guān)系，再將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)間的關(guān)系．[7]教材中諸如此類性質(zhì)的推理還有很多，這里就不再贅述． 一般地，數(shù)學(xué)性質(zhì)通常由概念推導(dǎo)而來，性質(zhì)的教學(xué)應(yīng)從構(gòu)成性質(zhì)的要素出發(fā)，厘清其中邏輯關(guān)系． 以此加深學(xué)生對(duì)概念的深刻理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．

3 結(jié)語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是教師直接以口耳相傳的方式教出來的，而是在一系列的數(shù)學(xué)探究性活動(dòng)中通過問題的發(fā)現(xiàn)與提出、問題的分析與解決、結(jié)論的猜想與證明，潛移默化培育起來的． 學(xué)生能夠領(lǐng)悟原理教學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，形成理解和分析問題的學(xué)科思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的最高表現(xiàn)．[8]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的獲得緊緊地依靠著教師設(shè)計(jì)的探究活動(dòng)． 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終是落實(shí)到學(xué)生個(gè)體，數(shù)學(xué)原理的教學(xué)就應(yīng)以學(xué)生為本，教學(xué)的重中之重則應(yīng)從簡單機(jī)械的“教知識(shí)”轉(zhuǎn)向“如何教才能促使學(xué)生更好地學(xué)”，在教師的引導(dǎo)下開展深度學(xué)習(xí)和自主學(xué)習(xí)． 數(shù)學(xué)的公式、法則、定理、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)之美的重要載體，不僅對(duì)學(xué)生的升學(xué)考試有著決定性的作用，同時(shí)也潤物細(xì)無聲般地影響著學(xué)生的審美、智慧、眼光等．