張曉偉，陳 明

（遼寧科技大學 電子與信息工程學院，遼寧 鞍山 114051）

航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)是航天器系統(tǒng)的重要組成部分，相關(guān)研究已取得相當大的突破［1-6］。文獻［1］基于最優(yōu)控制理論設(shè)計了一種最優(yōu)的航天器姿態(tài)控制律；文獻［2］提出了一類航天器姿態(tài)跟蹤魯棒最優(yōu)控制策略；文獻［3］針對受約束的航天器姿態(tài)控制，設(shè)計了一類最優(yōu)的PID 控制器；文獻［4］結(jié)合自適應(yīng)律和狀態(tài)觀測器對航天器系統(tǒng)擾動進行估計，設(shè)計了一類滑模控制器。在這些研究中，閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度大都以指數(shù)形式進行收斂。

基于有限時間控制的姿態(tài)跟蹤控制方法，能使航天器的姿態(tài)誤差在有限時間內(nèi)收斂到零或是零點附近，與傳統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論相比，系統(tǒng)具有更好的快速性、魯棒性和抗干擾性。丁世宏等［7］基于最優(yōu)控制理論，設(shè)計了一類有限時間姿態(tài)控制器，使角速度能夠在有限時間內(nèi)跟蹤上最優(yōu)角速度。文獻［8］結(jié)合自適應(yīng)有限時間狀態(tài)觀測器和角速度計算設(shè)計了一種只需要姿態(tài)測量的有限時間航天器姿態(tài)控制器。文獻［9］考慮外部干擾、執(zhí)行器故障等，基于反步法提出了一種穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊航天器姿態(tài)跟蹤控制器。文獻［10］基于容錯控制和雙冪次方法，設(shè)計了一類自適應(yīng)有限時間航天器姿態(tài)跟蹤容錯控制算法。文獻［11］針對存在實際問題的航天器系統(tǒng)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估算系統(tǒng)中未知的線性函數(shù)，設(shè)計了一類基于backstepping 策略的自適應(yīng)有限時間控制器。馬廣富等［12］為了提高航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的快速性，結(jié)合自適應(yīng)控制、backstepping策略以及滑?？刂?，設(shè)計了一類航天器姿態(tài)跟蹤有限時間控制策略。

目前，提升航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的控制速度成為了亟待解決的問題。某些特定的任務(wù)需要保證航天器姿態(tài)系統(tǒng)達到特定的控制速度才能夠完成，不僅如此，即便航天器沒有要求特定的速度，更快的姿態(tài)控制速度也能提高航天器的工作效率。已有成果表明，快速有限時間控制器［13］具有更快的收斂速度。張凱等［14］為了保證實際系統(tǒng)的快速性，將非奇異快速終端滑模的思想和backstepping 策略相結(jié)合，并將控制器的參數(shù)進行限制，構(gòu)造了快速有限時間控制方案。

本文設(shè)計了一類基于輸入飽和的快速有限時間控制器，控制目標是實現(xiàn)航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的姿態(tài)在任何有界輸入的前提下，都能夠快速收斂到平衡點。最后，通過數(shù)值仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 航天器姿態(tài)數(shù)學模型

航天器姿態(tài)跟蹤模型由運動學方程和動力學方程組成。本文采用四元數(shù)描述法來描述航天器的姿態(tài)。

首先定義四元數(shù)為［7］

其中

式中：參數(shù)q0∈R為四元數(shù)的標量；qv=(q1,q2,q3)T∈R3是向量參數(shù)；ev是旋轉(zhuǎn)軸的方向單位矢量；φ∈[0°，360°]表示旋轉(zhuǎn)角度。

航天器姿態(tài)運動學方程［7］

式中：ω=(ω1,ω2,ω3)T是航天器的姿態(tài)角速度；E(q)表示單位矩陣，為反對稱矩陣，表示為

經(jīng)過計算可以驗證：E(q)TE(q)=I3×3。

航天器的姿態(tài)動力學方程

其中：J∈R3×3表示轉(zhuǎn)動慣量矩陣，并且J是一個正定對角陣；u=(u1,u2,u3)T是由3 個執(zhí)行器所產(chǎn)生的控制力矩向量；ω×為反對稱矩陣，表示為

1.2 輸入飽和函數(shù)

在實際航天器姿態(tài)系統(tǒng)中存在輸入飽和現(xiàn)象，即航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的輸入力矩必須在有界范圍內(nèi)。在本文中，針對輸入信號u中的向量ui，定義一類新的飽和函數(shù)［15］

其中：S=(S1,S2,S3)T是系統(tǒng)的飽和輸入信號；umax和umin是輸入信號的上界和下界。

對于式（4），采用分段函數(shù)來表示飽和輸入函數(shù)的近似值，定義

式中：h=(h1,h2,h3)T，則u=sat(S)可表示為

其中：h和l=(l1,l2,l3)T都是關(guān)于S的函數(shù)，l=sat(u)-h是一個有界函數(shù)，且滿足

這里，L=(L1,L2,L3)T，Li=max(li),i=1,2,3。

依據(jù)中值定理，存在一個已知的常數(shù)μ(0 ＜μ＜1)，滿足

其中

則

令S0=0，可以得到

結(jié)合式（4）、式（6）和式（10），得出

即

1.3 定義和引理

定義1［16］對于本文中的x=(x1,x2,x3)T，定義sgnα(x)的形式為：其中 sgn(?)為符號函數(shù)。

引理1［7］對于任何實數(shù)，若有 0 ＜b＜1 和xi，i=1,2,…,n，則有下列不等式成立

引理2［13］快速有限時間Lyapunov 穩(wěn)定性定理：考慮如下系統(tǒng)

若存在一個函數(shù)V(x)＞0，使得

其中，x∈D,D=Rn，c＞0 ，b＞0 ，0 ＜α＜1，那么系統(tǒng)（14）的原點是全局快速有限時間穩(wěn)定的，并且設(shè)定時間取決于初始狀態(tài)x(0)=x0，且收斂時間

2 控制器設(shè)計

將航天器的角速度ω作為運動學模型的輸入，將整個航天器模型視為一個非線性系統(tǒng)［5］。本文的控制器設(shè)計分為兩個部分：快速有限時間控制律u和考慮輸入飽和的快速有限時間控制器S。

2.1 快速有限時間控制律設(shè)計

對于航天器運動學模型來說，其目標一般都是將qv鎮(zhèn)定到 (0,0,0)T，將q0鎮(zhèn)定到1 或者-1。當q0=1 時，φ=4kπ,k∈Z；當q0=-1 時，φ=4kπ+2π,k∈Z，顯而易見，無論q0等于1或者-1，φ均為2π 的整數(shù)倍。也就是說航天器繞轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動的角度是2π 的整數(shù)倍，所以q0無論為1或者是-1，均表示航天器具有相同的姿態(tài)。

針對航天器運動學模型（2），選取性能指標為

式中：Q=QT≥ 0,R=RT＞0 都為加權(quán)陣。

式（16）是一個典型的線性二次型性能指標。接下來構(gòu)造Hamilton 函數(shù)，并通過分析Hamilton-Jacobi方程，從而解出最優(yōu)控制律其目標是保證針對運動學模型所設(shè)計的性能指標Θ 能夠達到極小。

Hamilton函數(shù)可以取為

其中Θ*為性能指標Θ 的最優(yōu)值。由于控制律u不受約束，所以，由最優(yōu)控制的極值條件以及式（17）得

由式（18）得到最優(yōu)控制律

由Hamilton-Jacobi方程得到

整理得

令

將式（22）代入到式（21）中，并且由ET(q)E(q)=I，得出

式中：R-1是個參數(shù)對角陣。

令Q=R-1，λ=2qv，結(jié)合式（19）得到最優(yōu)控制律

在此基礎(chǔ)上設(shè)計一個快速有限時間控制器u，使航天器的角速度ω能夠趨近于。令e(t)=再結(jié)合航天器動力學方程（3）得到誤差模型

針對誤差模型（25），將控制律u設(shè)計為

式中：a1和a2都是大于零的設(shè)計參數(shù)；指數(shù)α滿足 0 ＜α＜1。

證明取Lyapunov函數(shù)

對V1求導，可得

由定義1可得

將式（28）寫為

結(jié)合引理1，可以得到

式中：Jmax=max{Ji},i=1,2,3。

根據(jù)式（28），將式（32）重新表示為

兩邊同時乘以a1，得到

又因為

兩邊同時乘以-a2，得到

將式（36）重新表示為

結(jié)合式（28）、（33）及（37），得

顯見，式（38）滿足快速有限時間得收斂形式，且收斂時間為

證畢。

2.2 基于輸入飽和的快速有限時間控制器

設(shè)計一類基于輸入飽和的航天器快速有限時間姿態(tài)跟蹤控制器

式中：S是將要設(shè)計的控制器；diag(L1,L2,L3)是一個對角陣；L1,L2,L3是L3×1的行向量；sgn(e)是關(guān)于e的符號函數(shù)，且sgn(e)=[sgn(e1) sgn(e2) sgn(e3)]T。

證明取Lyapunov函數(shù)為

對V求導，可得

令

則式（42）可改寫為

所以僅證明如下

由式（7）可得，li≤Li，所以

綜上所述，可得

收斂時間滿足

由式（48）可以得知，本節(jié)所設(shè)計的控制器滿足快速有限時間Lyapunov穩(wěn)定。證畢。

3 仿真分析

3.1 快速有限時間控制方案仿真分析

首先，在不考慮輸入飽和的情況下，利用文中所設(shè)計的快速有限時間控制律（26），對航天器姿態(tài)模型（2）和（3）進行跟蹤控制。取與文獻［7］中相同的系統(tǒng)參數(shù)。

設(shè)四元數(shù)的初始狀態(tài)為：q(0)=(0.330 2 0.462 1 0.191 6 0.800 4)T，設(shè)角速度初始值ω(0)=(-0.2 0.3 0.5)T，將控制律設(shè)計參數(shù)設(shè)為：a1=8 ，a2=8,指 數(shù)α=0.5 ，取

航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的四元數(shù)響應(yīng)曲線對比如圖1 所示。在快速有限時間控制律的設(shè)計下，四元數(shù)q0,q1,q2,q3的響應(yīng)速度明顯比有限時間控制器能夠更快地達到穩(wěn)態(tài)，而且還在一定程度上抑制了q2和q3中的擾動。

角速度響應(yīng)曲線如圖2所示，角速度誤差響應(yīng)曲線如圖3所示。兩種方法均能實現(xiàn)姿態(tài)跟蹤，但相比于有限時間控制方法來說，本文所設(shè)計的快速有限時間控制器能夠以較快的速度和相當準確的控制精度跟蹤上最優(yōu)角速度使性能指標Θ更快達到極小。

控制力矩響應(yīng)曲線如圖4 所示。本文設(shè)計的快速有限時間控制器的響應(yīng)時間明顯比有限時間控制器的響應(yīng)時間快。需要注意的是，本文的設(shè)計方案并沒有考慮到輸入飽和問題，所以控制器的峰值力矩相對較高，從而導致控制器輸入的能量消耗。

3.2 基于輸入飽和的快速有限時間控制方案仿真分析

本文所提出的基于輸入飽和的快速有限時間控制器為

仿真過程中所用到的新參數(shù)

圖5 是基于輸入飽和的快速有限時間控制器所描繪出的四元數(shù)的響應(yīng)曲線。加入輸入飽和限制條件以后，四元數(shù)的響應(yīng)曲線并沒有受到明顯影響。

圖6是考慮輸入飽和的角速度的響應(yīng)曲線，圖7 是考慮輸入飽和的角速度誤差的響應(yīng)曲線。本文設(shè)計的控制方案能夠保證航天器的姿態(tài)和角速度達到正常情況下的穩(wěn)定效果，并且具有較高的快速性以及穩(wěn)定度。

圖8 是基于輸入飽和的快速有限時間控制作用下的響應(yīng)曲線，控制輸入的界限設(shè)置在（-1,1）區(qū)間內(nèi)?？紤]到輸入飽和以后，控制器可以滿足任何的控制輸入要求，也就是說通過很小的控制量就能夠快速實現(xiàn)有限時間姿態(tài)跟蹤，這在實際系統(tǒng)中大大減少了輸入的能量消耗。

上述仿真結(jié)果充分說明了本文所提出的基于輸入飽和的航天器快速有限時間姿態(tài)跟蹤控制方案，在系統(tǒng)輸入受限的情況下，能夠使航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的姿態(tài)在任意有界輸入下被快速有限時間鎮(zhèn)定到平衡點。

4 結(jié) 論

本文針對四元數(shù)描述法建立的航天器姿態(tài)模型，首先利用最優(yōu)控制理論，得到最優(yōu)期望跟蹤角速度；以此為基礎(chǔ)，提出了一種快速有限時間控制策略，旨在實現(xiàn)航天器角速度的快速跟蹤，確保其跟蹤誤差在有限時間內(nèi)快速收斂到零。同時，考慮到執(zhí)行器輸出的力矩不能過大，進一步考慮了輸入飽和問題，即通過較小的控制量就能實現(xiàn)航天器姿態(tài)的快速跟蹤。仿真結(jié)果驗證了設(shè)計方案的有效性。期望為航天器姿態(tài)跟蹤控制提供有效的分析方法及理論依據(jù)。