周子龍，文興超，孫琦現(xiàn)，韓兆焱，關(guān)艾，胡煜寒

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

信息傳播是社會發(fā)展和生存的基礎(chǔ)，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)使信息的傳播變得更為方便快捷。但是，由于社會生活的不確定性、科學(xué)知識的缺乏、社會信息管理的滯后等，使信息傳播過程中不可避免地產(chǎn)生了謠言，其中一些謠言對社會安定會產(chǎn)生不利影響。要控制謠言傳播，就需要對謠言傳播過程中各種因素的作用進(jìn)行分析研究。SIR 模型是傳染病模型中經(jīng)典模型之一，模型中的S 表示易感者，I 表示感染者，R 表示移出者［1-2］。謠言傳播與傳染病傳播具有一定的相似性，借助于經(jīng)典的SIR 模型，學(xué)者們建立了謠言傳播模型，對謠言傳播問題進(jìn)行了相應(yīng)的研究。江成等［3］以及匡文波等［4］研究了網(wǎng)絡(luò)上謠言傳播的特征、路徑、機(jī)制等作用，分析了網(wǎng)絡(luò)謠言傳播規(guī)律。江寧等［5］對微博、微信等新媒體對謠言傳播的影響做了研究分析，提出了一些在新媒體環(huán)境下控制謠言傳播的相應(yīng)對策。臧成功等［6］采用算法對謠言傳播問題進(jìn)行分析，提供了相應(yīng)的解決思路。但目前已有的謠言傳播研究仍缺少對群體環(huán)境和個人采信程度方面的分析和討論。

2019年，張亞楠等［7］應(yīng)用傳染病模型對校園急性出血性結(jié)膜炎的暴發(fā)規(guī)模進(jìn)行了分析討論。受此啟發(fā)，對謠言傳播問題，也可以采用類似的思路和方法分析討論其傳播的最終規(guī)模。另外，謠言傳播涉及到的個體具有異質(zhì)性，對于所接觸到的信息，每個人的采信程度是不同的。因此，本文綜合考慮外部環(huán)境和個體對謠言不同采信程度，建立謠言傳播模型，并分析傳播的最終規(guī)模。希望對現(xiàn)實(shí)中的謠言傳播控制提供參考。

1 分組的SIR模型

根據(jù)個體對謠言的不同采信程度，將人群分為三組：具有不輕易信謠特性的人群N1，具有一般信謠特性的人群N2和具有易信謠特性的人群N3。Si、Ii、Ri分別代表第i組的可能聽信謠言者、傳播謠言者、對謠言不再相信也不再傳播者；αi為第i組中的活性；β為聽到謠言后會相信的概率；pi為第i組中個體不再傳播謠言也不信謠的概率；Cij為第i組個體與第j組個體在謠言傳播過程中的接觸率，描述外部環(huán)境中人群接觸比例發(fā)生變化的特征，且

在三組不同人群中，個體對謠言的采信程度以傳謠率區(qū)分。一般信謠特性人群的傳謠率為δ2，并以它為標(biāo)準(zhǔn)，令δ2=1；不輕易信謠特性人群的傳謠率為δ1，取值小于1；易信謠特性人群的傳謠率為δ3，取值大于1。

謠言傳播模型的基本假設(shè)：

（1）在謠言傳播期間，區(qū)域內(nèi)無新的人口轉(zhuǎn)入和轉(zhuǎn)出，不考慮人口流動因素；

（2）人口自然出生，自然死亡和因病死亡不作為影響因素考慮；

（3）區(qū)域內(nèi)人群以比例混合的方式進(jìn)行接觸。

根據(jù)上述分析和假設(shè)，建立分組SIR謠言傳播模型

2 基本再生數(shù)和最終規(guī)模

基本再生數(shù)［8］是在沒有人干預(yù)的理想情況下，當(dāng)所有人都具有易信謠特性時，平均一個謠言傳播者可傳播的人數(shù)。以基本再生數(shù)R0=1 作為謠言傳播是否消亡的閾值。通過下一代矩陣［9-10］的方法計(jì)算模型（2）的基本再生數(shù)，也就是通過構(gòu)造再生矩陣P=FV-1，計(jì)算再生矩陣的譜半徑ρ(FV-1)，基本再生數(shù)R0=ρ(FV-1)，也是再生矩陣P=FV-1的特征值中模的最大值。其中，矩陣的構(gòu)造以不同人群狀態(tài)分類，具體的形式多種多樣，這里考慮系統(tǒng)（2）對人群的分類，可得

式中：r1、r2、r3表示人群中信謠速率即表示傳謠期。

特征方程為

假設(shè)三組人群間為比例混合，所以有

即

可計(jì)算出特征方程的根為：λ1=0 ，λ2=0 ，

模型（2）基本再生數(shù)

將模型（2）的前兩個方程相加可以得到

易知，S1+I1為非負(fù)連續(xù)減函數(shù)，當(dāng)t趨于無窮大時它有極限存在。而且其導(dǎo)數(shù)極限趨于0，即同 理 可 證 ，

式（9）兩邊對t積分

因此

同理可得

將模型（2）中的第一個方程等號兩邊同時除以S1，再對t積分得到第一組人群的最終規(guī)模

同理得第i(i=1,2,3)組人群的最終規(guī)模

以Zi=Si(0)-Si(∞)(i=1,2,3)表示第i組的最終規(guī)模，代入式（14）得到

謠言傳播最終規(guī)模

3 數(shù)值模擬

采用數(shù)值模擬方法分析三組中任意兩組人群比例（Ni:Nj，i,j=1,2,3）及個人采信程度δi變化對基本再生數(shù)和最終規(guī)模的影響。

根據(jù)謠言傳播特點(diǎn)及謠言傳播案例分析，一般謠言傳播中蔓延期為10～20 天，在此選取1/r=15，即r1=r2=r3=0.067；謠言的傳播活性，在此取相同數(shù)值α1=α2=α3=1。根據(jù)新冠疫情期間“板藍(lán)根能預(yù)防新冠肺炎”的謠言中“板藍(lán)根”關(guān)鍵詞在2020年1月18日至2月25日間百度指數(shù)變化的數(shù)據(jù)，作為計(jì)算個體相信謠言的概率β的依據(jù)，由最小二乘法計(jì)算得β=0.464 1。

計(jì)算模型（2）的基本再生數(shù)

式中

若取第一組和第二組進(jìn)行模擬計(jì)算，N3和δ1取定值，僅考慮兩組人群N1:N2比例變化時，N2越大，基本再生數(shù)R0就越大。

討論兩組人群比例以及個人采信程度變化時對最終規(guī)模的影響。分別取N1:N2=10、8、5、3、2、1、1/2、1/3，δ1=0.1、0.3、0.9，得到人群中謠言傳播的最終規(guī)模如圖1所示。N1:N2比值越大，且δ1越小時，總的最終規(guī)模Z=Z1+Z2+Z3越小，累計(jì)信謠人群越少。

在現(xiàn)實(shí)生活中通過降低人群中具有易信謠特性個體的比例，對人群個體進(jìn)行教育引導(dǎo)以降低人群中的傳謠率，就能夠有效控制謠言傳播的規(guī)模，減少謠言傳播帶來的危害。

具體模擬數(shù)值詳見表1。固定δ1的值，比如δ1=0.1 時，當(dāng)N1:N2值遞增時，最終規(guī)模急劇減??；當(dāng)δ1=0.3 或δ1=0.9 時，N1:N2值遞增時，最終規(guī)模略有減小。這說明當(dāng)人群傳謠率固定時，不輕易信謠特性個體所占比例越大，謠言傳播的最終規(guī)模越小。

固定N1:N2，即人群中各類信謠特性個體比例固定，人群傳謠率δ1越小，謠言傳播最終規(guī)模越小。

表1 N1:N2 與 δ1 數(shù)值變化時的 Z 值Tab.1 Z values at different N1:N2 and δ1 values

當(dāng)其它變量固定時，Z為關(guān)于δ1的增函數(shù)。又 0 ＜δ1≤ 1 ，因此當(dāng)δ1=1 時Z(δ1)達(dá)到其最大值Z(1)。引入表示最終規(guī)模Z降低的百分比。E的變化曲線如圖2所示。

當(dāng)δ1固定，例如δ1=1 取時，N1:N2越大，E越大，說明最終規(guī)模降幅程度越大。對于任意N1:N2比值，最終規(guī)模E降幅程度都會隨δ1的增大而減??；且當(dāng)δ1超過0.6 時，最終規(guī)模都趨于不變。也就是說，當(dāng)具有輕易信謠特性的人群中傳謠率超過一定數(shù)值時，單純控制傳謠率效果非常有限，對謠言傳播的最終規(guī)模沒有顯著影響。

4 結(jié) 論

提出了一個考慮外部環(huán)境和個體采信程度的分組謠言傳播模型，分析了謠言傳播最終規(guī)模。信謠特性差異人群的比例和人群傳謠率直接影響基本再生數(shù)和最終規(guī)模；人群傳謠率越低、不輕易信謠特性人群比例越高，均對降低謠言傳播的最終規(guī)模有顯著影響。為了控制謠言傳播，政府部門加大宣傳力度以降低人群傳謠率值，并對謠言傳播進(jìn)行干預(yù)，控制對謠言不同采信程度人群比例以從外部環(huán)境有效降低謠言傳播的最終規(guī)模。