胡楠希，李小琥，李自行

(北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038)

0 引言

由于現(xiàn)有慣性器件精度水平有限，純慣性導(dǎo)航誤差在千米級以上，因此需要采用組合導(dǎo)航的方式來提高導(dǎo)航精度。目前，全自主組合導(dǎo)航方式中傳統(tǒng)的慣性+星光定姿組合導(dǎo)航方法只能實現(xiàn)定姿，不能實現(xiàn)定位，在精度上可提升空間有限。

星光折射自主導(dǎo)航技術(shù)是一種可進(jìn)一步提高自主導(dǎo)航精度的有效途徑[1-2]。美國對星光折射間接敏感地平自主導(dǎo)航的研究工作可以追溯到20世紀(jì)60年代[3-4]。近年來，國內(nèi)高校和研究機(jī)構(gòu)均開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[5]對利用星光折射間接敏感地平的自主導(dǎo)航的基本原理進(jìn)行了介紹。文獻(xiàn)[6-7]研究了大氣折射原理及平流層大氣變化規(guī)律。文獻(xiàn)[8]利用現(xiàn)有大氣密度模型和固定高度觀測模型，建立了自適應(yīng)星光折射模型。文獻(xiàn)[9-16]對采用星光折射進(jìn)行自主導(dǎo)航的方法進(jìn)行了研究。

為此，提出了一種慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航方法，重點從星光折射定位原理、大氣折射模型、非線性濾波和選星策略幾個方面進(jìn)行論證及分析。通過理論分析與數(shù)學(xué)仿真相結(jié)合的手段，驗證了星光折射定位原理的正確性及工程可行性，從而為進(jìn)一步提高自主導(dǎo)航精度提供了一種技術(shù)途徑。

1 慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航原理

1.1 星光折射定位原理

星光折射定位導(dǎo)航方法是利用星光在大氣中的折射角和折射高度之間的關(guān)系而間接敏感地平，從而實現(xiàn)高精度定位導(dǎo)航。

首先，星光在穿過大氣層時會發(fā)生偏折。由于平流層(高度20～50km)大氣密度比較穩(wěn)定，使得視高度ha與折射角θss的關(guān)系可以用大氣折射模型表示

ha=h0-Hln(θss)+

(1)

其次，視高度ha與觀測點位置r、折射角θss之間存在如下幾何關(guān)系

(2)

星光折射定位的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 星光折射定位幾何關(guān)系圖Fig.1 Geometric illustration of stellar atmospheric refraction positioning

綜上所述，星光折射定位的基本原理如下：首先，通過星敏感器持續(xù)觀測穿過平流層的多顆不同方向折射星，測量得到折射角；其次，根據(jù)大氣折射模型與折射角計算得到視高度；最后，根據(jù)星敏感器測量得到的折射角與大氣模型計算得到的視高度，建立慣性+星光折射定位觀測方程，解算載體位置。該定位原理如圖2所示。

圖2 星光折射定位原理圖Fig.2 Illustration of stellar refraction positioning

1.2 大氣折射原理

公式給出的是簡化的大氣折射模型，是在假設(shè)大氣密度與高度是指數(shù)關(guān)系，同時大氣密度在全球均勻分布的前提下得到的。這個簡化模型可以定性地說明大氣折射的基本原理：折射角隨著視高度的降低而增大。視高度與折射角近似關(guān)系如圖3所示。

圖3 視高度與折射角關(guān)系圖Fig.3 Relationship between apparent height and refraction angle

從工程應(yīng)用的角度看，簡化的大氣模型計算得到的視高度誤差較大，因此需要構(gòu)建考慮大氣參數(shù)非均勻性的精確大氣折射模型。

該方法得到的視高度與觀測點位置、星光方向以及折射角有關(guān)，如式(3)所示

ha=f{Θ0,Φ0,Ψ,ni,hi|θss}

(3)

1.3 非線性濾波原理

常用的估計方法主要有兩類：最小二乘法和Kalman濾波。最小二乘法比較適合對常值參數(shù)進(jìn)行估計，而Kalman濾波適合對時變系統(tǒng)進(jìn)行估計。傳統(tǒng)的Kalman濾波算法需要對狀態(tài)方程與觀測方程進(jìn)行線性化處理，對于線性系統(tǒng)有較好的適應(yīng)性，但是隨著濾波周期的增大以及系統(tǒng)非線性的增強(qiáng)，濾波的非線性誤差也會增大。

無跡Kalman濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)是一種針對非線性系統(tǒng)的濾波方法。對于線性系統(tǒng)來說,它的濾波性能與傳統(tǒng)Kalman濾波相當(dāng);對于非線性系統(tǒng),它的性能則明顯優(yōu)于傳統(tǒng)Kalman濾波。在慣性+星光折射定位過程中，狀態(tài)方程與觀測方程既是時變的更是非線性的，因此通過上述分析可以得出，UKF算法是最適合慣性+星光折射的定位算法。

UKF算法不需要對系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，其主要思想如下，假設(shè)一個離散非線性系統(tǒng)

xk+1=F(xk,uk,k)+ωkzk=H(xk,uk,k)+vk

(4)

(5)

標(biāo)準(zhǔn)的UKF算法如下：

初始化

(6)

計算采樣點

(7)

狀態(tài)方程更新

(8)

量測更新

(9)

式中，Qk和Rk分別為系統(tǒng)和量測噪聲協(xié)方差。當(dāng)xk為高斯分布時，通常選取n+τ=3。

從濾波算法中可以看到，狀態(tài)方程與觀測方程都沒有進(jìn)行線性化處理，而是直接采用實際的方程進(jìn)行計算。系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差通過采樣點進(jìn)行描述，并通過估計觀測量與實際觀測量的偏差對系統(tǒng)狀態(tài)估計與方差進(jìn)行修正。采樣點示意圖如圖4所示。

圖4 采樣點示意圖Fig.4 Illustration of sample point

圖4中，每一個圓代表每一次觀測后估計的采樣點分布，下方的橫線代表真實軌跡。采樣點的均值為每一次估計的位置，采樣點的方差為估計的方差。由于初始位置誤差較大，因此第1個圓會比較大，圓心距離真實軌跡較遠(yuǎn)。隨著觀測次數(shù)的增大，估計的方差會減小，估計的位置誤差也會減小，因此圓會越來越小，最終收斂到真實的位置。

1.4 折射星分布原理

折射星的分布取決于觀測點與星光方向的相對關(guān)系。如圖1所示，定義地心矢量r與未折射的星光矢量s之間的夾角為α，則公式可以改寫為

ha=|r|·sin(α)+|r|·cos(α)·tan(θss)-

Re(1+θss·tan(θss)/2)

(10)

由此可知，隨著折射星視高度的增大，夾角α也在增大，可觀測的折射星與觀測點地心矢量的夾角為一個圓錐面，如圖5所示。

圖5 折射星分布示意圖Fig.5 Distribution of refraction star

根據(jù)上述分析可知：在觀測點移動過程中,持續(xù)觀測同一顆折射星，地心矢量與星光矢量之間的夾角是在變化的，所觀測到的折射角與視高度也是連續(xù)變化的。

2 慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航的應(yīng)用

2.1 基于非線性濾波的慣性+星光折射定位方法

為了將UKF算法應(yīng)用于慣性+星光折射定位，需要對濾波方程進(jìn)行細(xì)化，主要包括狀態(tài)方程與觀測方程。

濾波方程中使用的觀測量為視高度，而直接的觀測量是折射角，因此需要將折射角轉(zhuǎn)化為視高度。通過采樣點可以估計出相應(yīng)的視高度估計值，這里需要用到視高度與位置的幾何關(guān)系方程，該方程就是觀測方程

(11)

通過直接觀測量折射角還可以計算得到真實的視高度觀測值，這里需要用到大氣折射模型

ha=f{Θ0,Φ0,Ψ,ni,hi|θss}

(12)

基于方程的視高度估計值與視高度觀測值之間的偏差對位置速度進(jìn)行修正。從濾波開始，每一個濾波周期都進(jìn)行狀態(tài)方程的計算。當(dāng)進(jìn)行星光觀測時，則進(jìn)行量測的更新與狀態(tài)的修正；當(dāng)沒有觀測時，則只進(jìn)行狀態(tài)方程的計算。

濾波方程中，初始的位置取慣性導(dǎo)航的位置，初始的位置方差應(yīng)設(shè)置為慣導(dǎo)誤差的方差，量測噪聲應(yīng)選取折射角觀測偏差引起的視高度偏差的方差。

濾波過程的示意圖如圖6所示。

圖6 濾波過程示意圖Fig.6 Illustration of filtering

2.2 折射星選星策略

折射星選星策略應(yīng)包括2個部分：1)備選星的篩選；2)折射星的選擇策略。

由于星庫中的星較多，但是可用的折射星只是一小部分。另外，根據(jù)1.4節(jié)的分析可知，折射星的觀測不僅需要關(guān)注觀測的是哪一顆星，更要關(guān)注在什么時間去觀測。因此，需要根據(jù)觀測段的位置將所有可用的折射星篩選出來作為折射星備選星庫，以便從中選擇可用的折射星。

在已知折射星備選星庫后，折射星的選擇應(yīng)該服從如下原則：1)選擇不少于3顆星；2)所選星在方位上盡量分布均勻；3)前后2顆折射星的觀測時刻間隔應(yīng)該考慮調(diào)姿時間與連續(xù)觀測時間。

3 數(shù)學(xué)仿真

在考慮了大氣折射模型后，星光折射定位的算法流程如圖7所示。

圖7 慣性+天文組合導(dǎo)航工作流程圖Fig.7 Workflow of inertial/stellar integrated navigation

大氣折射模型根據(jù)輸入的輔助數(shù)據(jù)與折射角測量值計算出該時刻的視高度，組合導(dǎo)航根據(jù)大氣折射模型計算的視高度與星敏感器觀測到的折射角進(jìn)行星光折射定位。按照上述流程進(jìn)行蒙特卡羅仿真。

仿真后統(tǒng)計的位置估計誤差如表1所示。

表1 位置估計誤差統(tǒng)計(3σ)

從仿真結(jié)果可以得出，基于非線性濾波的定位方法可以有效地消除觀測誤差并得到較高的位置估計精度，證明了慣性+星光折射定位算法合理有效。

4 結(jié)論

本文提出了一種慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航方法，重點從星光折射定位原理、大氣折射模型、非線性濾波和選星策略幾個方面進(jìn)行論證及分析。通過理論分析與數(shù)學(xué)仿真相結(jié)合的手段，驗證了星光折射定位原理的正確性及工程可行性。采用該方法可以提高組合導(dǎo)航精度,從而為進(jìn)一步提高自主導(dǎo)航精度提供了一種技術(shù)途徑。