石 榮，鄧 科，閻 劍

(電子信息控制重點實驗室，四川 成都 610036)

0 引言

雷達信號脈沖描述字(Pulse Description Word，PDW)是雷達偵察信號處理中最基本的數據單元[1-2]，PDW中脈沖到達時間、脈沖寬度和脈沖幅度這3個時域參數的測量都依賴于脈沖信號包絡的有效提取[3-4]。不僅如此，脈沖包絡在雷達信號分選、型號和個體識別等應用中發(fā)揮著關鍵作用[5-7]。脈沖包絡提取的傳統(tǒng)方法通常采用平方率檢波[8-9]，按照輸入信號的不同，又可細分為：① 射頻信號的平方率檢波，采用模擬電路實現(xiàn)，如各種頻段的模擬檢波器；② 中頻信號的平方率檢波，在ADC采樣之后，利用FPGA處理來實現(xiàn)數字檢波。無論是模擬方式，還是數字方式，其基本數學模型都是對輸入信號進行平方運算，然后再經過低通濾波器輸出檢波結果。除此之外，在中頻數字信號處理中還可以通過希爾伯特變換來獲得實信號對應的解析信號形式，而解析信號的模值就直接對應了該實信號的包絡分量[10]，所以該檢波方法又被稱為基于希爾伯特變換的包絡檢波。

隨著高速寬度ADC器件及數字信號處理技術的發(fā)展[11-12]，在現(xiàn)今的各種信號處理中普遍采用數字檢波器來完成脈沖信號的包絡提取[13]，而最典型的2種方法就是平方率包絡檢波與基于希爾伯特變換的包絡檢波。盡管經典教科書與部分文獻對上述方法都進行過比較詳細的介紹與分析，但是已有文獻所給出的平方率包絡檢波的數學模型并不具備普遍性，僅針對脈沖信號的頻率位于檢波帶寬的正中央這一特殊情況進行了分析[8,14]，而實際上脈沖信號的頻率在整個檢波帶寬范圍內是隨機分布的。針對這一問題，本文進行了模型的改進，并給出新的理論分析模型。另一方面，已有文獻并沒有對上述2種典型的脈沖信號包絡提取方法之間的聯(lián)系展開研究[8-9]，而本文通過理論分析后指出，基于希爾伯特變換的包絡檢波是平方率包絡檢波的一個特例，從而為上述2種方法的工程選用提供了理論指導。最后在此基礎上，利用構建的數字檢波模型，給出了雷達信號偵察靈敏度的新計算公式，從而為雷達偵察數字接收機的設計以及偵察性能的準確度量與評估提供了重要參考。

1 平方率包絡檢波的模型

檢波器輸入端的信號sin(t)為：

sin(t)=sa(t)+n(t)，

(1)

式中，sa(t)=A·cos(ω0t+θ)表示幅度為A、載波頻率為ω0、初相為θ的雷達脈沖信號；n(t)表示帶寬為Bn的零均值帶限高斯白噪聲，其上下限頻率分別記為ωn,up，ωn,down，顯然Bn=ωn,up-ωn,down。在上述信號模型中，sa(t)與n(t)互不相關，且ω0>Bn，這一條件通?？梢栽谥蓄l信號采樣之后通過頻譜搬移來實現(xiàn)。于是輸入信號sin(t)的功率譜密度Pin(ω)可表示為：

Pin(ω)=A2π/2[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]+

(2)

式中，n0表示噪聲譜密度；δ(·)表示狄拉克函數。對sin(t)實施平方運算之后進行低通濾波，可得檢波器的輸出信號sout,sq(t)為：

(3)

式中，fliterL[·]表示截止頻率為ωlow的低通濾波運算，且ωlow≤Bn。在理想低通濾波條件下，輸出信號sout,sq(t)可以看成是一個廣義平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度Pout(ω)為：

Pout(ω)=Paa(ω)+Pan(ω)+Pnn(ω)，

(4)

式中，Paa(ω)為信號自身相互作用產生的分量；Pan(ω)為信號與噪聲相互作用產生的分量；Pnn(ω)為噪聲之間相互作用產生的分量。當ωlow=Bn時，上述各分量分別表示為：

Paa(ω)=A4π/2·δ(ω)，

(5)

(6)

(7)

(a)本文的結果

2 基于希爾伯特變換的包絡檢波模型

一個實信號sin(t)對應的希爾伯特變換為：

(8)

式中，*表示卷積運算，于是該實信號sin(t)對應復值形式的解析信號zin(t)為[15]：

(9)

記實信號的sin(t)的頻譜為Sin(ω)，則解析信號zin(t)對應的頻譜Zin(ω)為：

(10)

于是該實信號sin(t)的包絡envin(t)就是解析信號zin(t)的模值：

envin(t)=|zin(t)|。

(11)

在實際工程應用中可利用式(10)的性質，通過快速傅里葉變換(FFT)與逆變換(IFFT)來獲得一個實信號所對應的解析信號，然后由信號的模值來求取該信號的包絡，主要步驟如下：

① 對采樣后的離散實信號x(n)進行FFT得到其頻域信號X(k)，其中n,k∈{0,1,2,…,N-1}；

③ 對Y(k)做IFFT，即可得到離散實信號x(n)對應的復解析信號y(n)；

④ 復解析信號y(n)的模值|y(n)|即對應了離散實信號x(n)的包絡。

3 2種檢波方法的聯(lián)系與性能分析

3.1 2種檢波方法之間的聯(lián)系

前面分別對平方率檢波與基于希爾伯特變換的包絡檢波這2種工程上常用的典型方法進行了簡要介紹。雖然它們在工程實現(xiàn)步驟上各不相同，但本質上它們之間的聯(lián)系是非常緊密的，因為研究后發(fā)現(xiàn)，基于希爾伯特變換的包絡檢波是平方率包絡檢波的一個特例，詳細解釋如下。

雷達脈沖信號sa(t)對應的解析信號za(t)為：

zr(t)=A·exp[j(ω0t+θ)]，

(12)

高斯噪聲n(t)對應的解析信號zn(t)為：

zn(t)=nc(t)cos(ω0t)+jns(t)sin(ω0t)，

(13)

式中，nc(t)，ns(t)分別為高斯噪聲的同相與正交分量，該噪聲信號的帶寬為Bn。將zin(t)=zr(t)+zn(t)代入式(11)，即可求得輸入信號sin(t)的包絡envin(t)。在這一求模過程中自然去除了信號載頻的影響，將結果與前面的式(3)對比后可以發(fā)現(xiàn)：當ωlow=Bn時有下式成立：

(14)

式中，β為一個比例系數。

由于平方率包絡檢波中低通濾波器的帶寬ωlow(又稱為視頻帶寬)可以隨不同的應用，在ωlow≤Bn范圍內進行調整取值，所以其檢波結果也是隨帶寬ωlow不同取值而變化的。由式(14)可知，在ωlow=Bn，即在低通濾波器的帶寬等于輸入端的接收帶寬(又稱為射頻帶寬)時，平方率包絡檢波的結果與基于希爾伯特變換的包絡檢波結果的平方成正比。由此說明，基于希爾伯特變換的包絡檢波是平方率包絡檢波的一個特例。二者之間的關系可由圖2形象地表示。

圖2 2種檢波器之間的關系Fig.2 Relationship between the two detectors

3.2 在ωlow=Bn情況下的性能分析

對平方率檢波器中視頻帶寬與射頻帶寬相等，即ωlow=Bn，這一條件下的檢波性能進行分析。顯然，由前一小節(jié)的結論可知，該分析結果同樣適用于基于希爾伯特變換的包絡檢波。

記檢波器輸入端信號的全頻段功率信噪比為S/N|in,sq，即：

(15)

由于平方運算屬于非線性變換，所以在輸出的視頻脈沖信號中將Paa(ω)看成是有效的信號分量；對于Pan(ω)來講，只有在信號存在時才會出現(xiàn)，再考慮到式(6)與圖1，將Pan(ω)中位于零頻的沖激脈沖分量看成是有效信號分量，而將其他分量看成是噪聲分量；對于Pnn(ω)來講，其中位于零頻的沖激脈沖分量無論是否有信號出現(xiàn)始終一直存在，所以在輸出信噪比計算中不予考慮，而將Pnn(ω)中其他分量看成是噪聲分量。于是輸出端的信噪比S/N|out,sq可定義為視頻帶寬內信號分量與噪聲分量的功率之比：

(16)

將式(5)～式(7)帶入式(16)，并取ωlow=Bn，再對比式(15)，可得檢波器的輸出端信噪比與輸入端信噪比之間的關系為：

(17)

由式(17)可知，當S/N|in,sq?1時：

S/N|out,sq≈0.5·S/N|in,sq，

(18)

當S/N|in,sq?1時：

S/N|out,sq≈2·S/N|in,sq。

(19)

由上可知，在ωlow=Bn條件下，當輸入信號的全頻段功率信噪比較高時，輸出信號的信噪比相對于輸入信號的信噪比大約惡化3 dB；當輸入信號的全頻段功率信噪比較低時，輸出信號的信噪比相對于輸入信號的信噪比大約提升3 dB。將式(17)的特性繪制于圖3中(如實線所示)，圖3中的虛線是輸入與輸出相等時的參考直線。為了便于展示，圖3全部采用對數坐標，單位dB。由于平方率包絡檢波器在視頻帶寬與射頻帶寬相等時與基于希爾伯特變換的包絡檢波等價，此時由圖3可見，在ωlow=Bn時二者的輸入信噪比與輸出信噪比之間差異并不大。

圖3 ωlow=Bn時輸出信噪比與輸入信噪比之間的關系Fig.3 Relationship between output SNR and input SNRwhen ωlow=Bn

3.3 提升平方率檢波器性能的方法

提升平方率檢波器在較低的全頻段功率信噪比條件下的性能，主要有2種方法：

① 減小平方率檢波器的視頻帶寬

該方法等價于降低平方率檢波器中的低通濾波器的截止頻率ωlow，ωlow減小的下限等于信號帶寬的一半，當ωlow=0.5Bs時，由式(16)可計算出檢波器的輸出信噪比S/N|out,sqwlow=0.5Bs：

(20)

式中，γ=Bn/Bs，表示檢波器輸入端射頻帶寬與信號帶寬的比值，在γ?1時式(20)可近似為：

(21)

對比式(21)與式(17)，并參照圖1可知，相對于原來較寬的視頻帶寬來講，其性能提升是非常明顯的，即檢波之后的信噪比提升了大約γ倍。

② 減少平方率檢波器輸入端的射頻帶寬

該方法等價于減小輸入端的噪聲帶寬Bn，而Bn能夠減小的下限等于脈沖信號的帶寬Bs。由于信號的全頻段功率信噪比S/N|in,sq與其帶內功率信噪比S/N|in,sqinband之間的關系為[16]：

(22)

由式(22)可知，當Bn→Bs時，檢波器輸入端信號的全頻段功率信噪比為S/N|in,sq將提升至信號的帶內功率信噪比S/N|in,sqinband，提升的倍數同樣為γ倍。在工程上實現(xiàn)檢波器射頻帶寬減小的主要方法是信道化處理，將一個較寬的射頻帶寬劃分成帶寬更小的信道；另一方面，也可以采用在頻域檢測脈沖信號的載頻與帶寬等參數之后，再引導時域檢波的方法來實現(xiàn)。

由上可見，從理論模型上講，上述2種提升平方率檢波器在較低的全頻段信噪比條件下性能的方法，其效果近似一樣。但是從工程實現(xiàn)的便捷性上講，第1種方法優(yōu)于第2種方法，因為無論是信道化還是頻域檢測后引導檢波，都會增加偵察設備的軟硬件復雜度，這也是第1種方法在工程上應用更加廣泛的重要原因。

4 偵察靈敏度的計算

一般情況下，雷達偵察接收機的偵察靈敏度Pr,min是指滿足偵察接收機對接收信號能量正常檢測條件下，在偵察接收機輸入端的最小信號功率。雷達偵察接收機通過平方率檢波輸出的最小信號功率與信噪比緊密相關，由前可知，這一信噪比與輸入信號帶寬Bs是緊密關聯(lián)在一起的，即在不同信號帶寬條件下，接收機的靈敏度也是不同的。所以在定義一個雷達偵察接收機的靈敏度Pr,min時，一定要明確指出對應的能夠檢測的信號帶寬Bs的準確數值，否則將給設備使用方造成極大誤解。

在檢波器的視頻輸出端的脈沖疊加噪聲之后輸出信號的底部與僅有噪聲時信號的頂部近似在一條直線上(相切)時，輸出端的信噪比大約為8 dB，即S/N|out,sq≈8 dB。由式(22)可知，雷達偵察接收機要達到最高靈敏度需要包絡檢波器輸入的射頻帶寬等于被檢測信號的信號帶寬；如果在此條件下即使包絡檢波器輸出端的視頻帶寬也同樣與射頻帶寬相同，即ωlow=Bn=Bs，此時的S/N|in,sq也應該是比較大的，于是由式(18)可知，檢波器輸入端的信噪比S/N|in,sq可表示為：

S/N|in,sq≈S/N|out,sq+3 dB=11 dB，

(23)

于是可計算出在此條件下，雷達偵察接收機的靈敏度Pr,min(單位：dBm)為：

Pr,min=-114+10lg(Bs)+Fr+S/N|in,sq=

-114+10lg(Bs)+Fr+11=

-103+10lg(Bs)+Fr，

(24)

式中，F(xiàn)r表示偵察接收機的噪聲系數，單位dB；信號帶寬Bs的單位為MHz。由上可見，對于不同帶寬的脈沖信號，雷達偵察接收機的最高靈敏度也是各不相同的。下面以噪聲系數Fr=3 dB為例，根據式(24)計算出，在ωlow=Bn=Bs條件下，針對不同脈寬的雷達脈沖的偵察靈敏度如表1所示。這同時也是采用基于希爾伯特變換的包絡檢波的雷達偵察接收機所能達到的最高偵察靈敏度。由表1可見，同一部雷達偵察接收機在不同脈寬條件下，偵察靈敏度差異竟高達17 dB。

表1 在ωlow=Bn=Bs下不同脈沖信號的偵察靈敏度

另一方面，由式(20)可知，在上述檢波的ωlow=Bn=Bs基礎上通過進一步減少視頻帶寬，即ωlow=0.5Bs，還可以提升靈敏度，但提升的幅度極為有限，基本可以忽略。

5 仿真驗證

以工程中最常見的脈寬1 μs單頻脈沖信號為例對前述理論分析的結果進行仿真驗證。該脈沖信號的載頻設置為300 MHz，信號帶寬Bs=1 MHz，輸入平方率檢波器的整個頻率范圍為275～475 MHz，這意味著Bn=200 MHz。在全頻段功率信噪比S/N|in,sq= -2 dB條件下進行平方率包絡檢波，當檢波器輸出端的視頻帶寬ωlow=Bn時，經過50 000次蒙特卡洛仿真平均之后得到的信號功率譜如圖4所示。

圖4 平方率檢波輸出信號的功率譜密度仿真結果Fig.4 Simulation results of power spectral density forsquare rate detection output signal

與式(5)～式(7)的理論值比對，并對照圖4與圖1(a)可知，仿真結果與理論分析結果完全吻合，說明前述平方率檢波理論模型構建的正確性。

為了驗證平方率檢波與基于希爾伯特變換的包絡檢波之間的聯(lián)系，下面在切線靈敏度條件下用這2種檢波方法對同一段信號進行檢波，該段信號時長2 μs，其中0.5～1.5 μs為單頻脈沖持續(xù)時間，脈沖信號載頻仍然為300 MHz，即Bs=1 MHz，輸入檢波器的頻率范圍仍然為275～475 MHz，平方率檢波器的視頻端的接收帶寬Bn相等，即ωlow=Bn=200 MHz。根據前面的理論分析，此時輸入信號的全頻段信噪比約11 dB，信號的時域波形如圖5所示。

圖5 檢波前信號的時域波形Fig.5 Diagram of signal waveform in time domain before detection

對圖5所示脈沖信號進行平方率檢波，輸出結果如圖6(a)所示，采用基于希爾伯特變換的包絡檢波的輸出結果如圖6(b)所示(對信號模值進行平方處理之后繪制于圖6(b)中)。

(a)平方率檢波

由圖6可知，在ωlow=Bn=200 MHz條件下，2種脈沖包絡檢波結果是完全相同的，這與前面式(14)的理論分析結果也是完全吻合的，即基于希爾伯特變換的包絡檢波是平方率包絡檢波的一個特例。

為了進一步提高檢波靈敏度，可在此基礎上，進一步縮減平方率檢波器的視頻帶寬ωlow至10 MHz，雖然此時檢波器的視頻帶寬ωlow是信號帶寬Bs的10倍，但是射頻帶寬Bn是信號帶寬Bs的200倍，參照式(21)可近似認為相對于圖6中檢波結果信噪比提升了13 dB，其檢波結果如圖7所示，與圖6對比，其信噪比提升是十分明顯的。

圖7 在縮減視頻帶寬時平方率檢波的輸出結果Fig.7 Output of square rate detection when videobandwidth is reduced

6 結束語

在經典的雷達對抗教科書與傳統(tǒng)的雷達信號檢測文獻中大多以二極管模擬檢波器為例來構建并闡釋平方率檢波器的數學模型與雷達偵察接收機的靈敏度計算公式。但隨著寬帶高速數字信號處理技術的發(fā)展，數字檢波器的應用越來越普遍。本文對中頻數字平方率檢波與基于希爾伯特變換的包絡檢波這2種工程中常用的典型脈沖數字信號包絡提取方法之間的聯(lián)系與性能進行了分析，指出了基于希爾伯特變換的包絡檢波是平方率包絡檢波的一個特例，分析了在提升平方率檢波器性能過程中輸入信噪比與輸出信噪比之間的定量關系。在此基礎上，利用上述結果對雷達偵察數字接收機的偵察靈敏度進行了計算，指出了在評估與度量雷達偵察接收機的靈敏度時，一定要明確聲明對應的能夠檢測信號帶寬的準確數值的必要性。以上分析結果是對傳統(tǒng)雷達信號檢測理論的擴展與補充，相對于傳統(tǒng)理論來講具有向后兼容性，也具有更廣的普適性，這為雷達偵察數字接收機的方案論證、系統(tǒng)設計與指標分析提供了新的理論指導。