李卓

1基于“學(xué)習(xí)起點”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

1.1引導(dǎo)學(xué)生進行探究學(xué)習(xí)

教材中的合作學(xué)習(xí)、探究等教學(xué)內(nèi)容并不一定符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點.教師要關(guān)注學(xué)生本身已有的知識水平和活動經(jīng)驗，對學(xué)習(xí)目標進行深入思考，真正理解學(xué)生，根據(jù)學(xué)習(xí)起點設(shè)定合理的學(xué)習(xí)目標，讓更多的學(xué)生參與到課堂中的自主探究、合作交流等環(huán)節(jié).

1.2實現(xiàn)問題驅(qū)動、發(fā)展學(xué)生思維

在“學(xué)為中心”的課堂里，需要思考如何幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的問題設(shè)計.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、方法的思考、問題的發(fā)現(xiàn)提出和分析解決、規(guī)律的揭示和證明、習(xí)題的解決等過程是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的良好載體.教師要思考如何挖掘這些內(nèi)容的思維因素，學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平應(yīng)達到何種程度等.

1.3學(xué)為中心理念的價值追求

“學(xué)為中心”的核心理念是以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，鼓勵學(xué)生自己學(xué)，教會學(xué)生如何學(xué)，今后不教也能學(xué).教師通過搭建一定的“腳手架”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生思考.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重建立知識之間及知識與應(yīng)用情境之間的關(guān)聯(lián)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，深化知識理解，體驗數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)認知加工水平.

2實踐“學(xué)習(xí)起點”數(shù)學(xué)教學(xué)的不同路徑

2.1基于“學(xué)習(xí)起點”，重視整體性教學(xué)

教材內(nèi)容是靜態(tài)的，為了有效地把握教材內(nèi)容及學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，要采取“化靜為動”的策略，整體教學(xué)就是其中常用的一種方式.教學(xué)的“整體教學(xué)”就是要用數(shù)學(xué)的“高觀點”、學(xué)習(xí)的“長任務(wù)”、教學(xué)的“大問題”來將數(shù)學(xué)知識中的相同或相似甚至相對、相反的意義模塊進行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識成為更有生長力的結(jié)構(gòu)體.

筆者在執(zhí)教八年級下冊《反比例函數(shù)》一課時，基于“學(xué)習(xí)起點”嘗試采用了“整體教學(xué)”的教學(xué)策略.本節(jié)課是“反比例函數(shù)”的章起始課，是在學(xué)習(xí)了平面直角坐標系和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上進行研究的，又是今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)。

課前思考環(huán)節(jié)為了了解學(xué)生的“學(xué)習(xí)起點”，即對于函數(shù)概念的認知，筆者提出了三個問題：（1）什么是函數(shù)？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)？它們有無相互關(guān)系？（2）對于函數(shù)，要研究哪些內(nèi)容？研究過程是怎樣？（3）為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)？它能幫助我們理解和解決哪些問題？

設(shè)計意圖三個問題是為了喚醒學(xué)生對于函數(shù)基本知識的回顧.實際教學(xué)看，學(xué)生的函數(shù)基礎(chǔ)知識、經(jīng)驗較好，對于本節(jié)課的準備比較充足，具有較高的“學(xué)習(xí)起點”，這為本節(jié)課的進一步開展奠定了良好的基礎(chǔ).

自主探究環(huán)節(jié)利用“2，-1，=，x，y”這些數(shù)字、字母、符號及運算法則寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.例如：y=2x-1，y=2x.

追問你能對這些函數(shù)進行分類嗎？分類的依據(jù)是什么？

學(xué)生展示了諸多不同的函數(shù)，包括一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，甚至二次函數(shù)（y=x，y=x-1）.

設(shè)計意圖發(fā)現(xiàn)問題是提出問題的基礎(chǔ)，問題的設(shè)計需要開放，問題的解決需要有效方法，有“問題”的課堂才有意義.本問題的發(fā)散程度決定了每一位學(xué)生都能夠?qū)懗霾簧俸瘮?shù)表達式，做到了低起點、有層次.寫出一次函數(shù)、正比例函數(shù)，是對所學(xué)內(nèi)容的再次回顧，為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)作出鋪墊.寫出反比例函數(shù)的表達式（三種不同形式），不僅能引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，更能很好地引導(dǎo)學(xué)生思考.寫出二次函數(shù)則是學(xué)生思維的亮點，為今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)埋下伏筆，對于初中階段函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)有了更好的理解.

學(xué)習(xí)小結(jié)小結(jié)環(huán)節(jié)筆者提出：我們是如何研究反比例函數(shù)的？從學(xué)習(xí)路徑和知識發(fā)展路徑兩方面讓學(xué)生體會到了研究反比例函數(shù)的必要性和價值.同時類比之前學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)和一次函數(shù)，提問：接下來研究反比例函數(shù)什么內(nèi)容？學(xué)生從函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用等四大視角掌握了研究函數(shù)的方法.這樣的小結(jié)厘清新知與舊知間的關(guān)系，歸納新知形成、發(fā)展、應(yīng)用過程中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法和問題解決的策略，幫助學(xué)生類比得到今后的學(xué)習(xí)方法.

2.2基于“學(xué)習(xí)起點”，立足核心素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學(xué)

顧沛先生說，很多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，那些數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法也許都會被忘記，但是形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻終身受用.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種綜合素養(yǎng)的綜合，它必須以學(xué)生主動建構(gòu)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ).在一次市優(yōu)質(zhì)課比賽中，筆者執(zhí)教了八年級上冊《等腰三角形的性質(zhì)定理2》.課前，基于“學(xué)習(xí)起點”，思考了兩個問題：教學(xué)目標是什么、教學(xué)目標如何指向核心素養(yǎng)？

（1）本課的教學(xué)目標

探索并證明等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）.

達成目標的標志：（1）能通過操作實驗，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)定理2，能把性質(zhì)2寫成三個命題，準確區(qū)分條件與結(jié)論，并能逐一證明.（2）能靈活運用性質(zhì)解決三角形中與垂直、角相等、線段相等有關(guān)的問題.

（2）教學(xué)目標需指向核心素養(yǎng)

本課關(guān)系最大的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的是邏輯推理，其次是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象.

①指向邏輯推理素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標分析

一是演繹.學(xué)會有邏輯地表達與交流，主要在兩個方面：一是把性質(zhì)2寫成三個命題，準確區(qū)分條件與結(jié)論，并能逐一證明;二是靈活運用性質(zhì)解決三角形中與垂直、角相等、線段相等有關(guān)的問題.本課中的例4的尺規(guī)作圖應(yīng)是性質(zhì)的應(yīng)用，作為第二方面處理.顯然尺規(guī)作圖雖然是操作，但其價值卻是邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的載體.

二是類比.用研究幾何圖形的一般觀念研究等腰三角形的性質(zhì).主要包括兩個層面，一是類比研究一般三角形的思路（定義、性質(zhì)、判定）得到等腰三角形的研究內(nèi)容（定義、性質(zhì)、判定），這不是本課重點.二是類比研究一般三角形性質(zhì)的思路（先研究邊、角等要素的關(guān)系，再研究三角形的角平分線、中線、高線等相關(guān)要素）確定本課的研究對象.

②指向直觀想象素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標分析

本課需要發(fā)展的直觀想象素養(yǎng)主要有：（1）利用幾何圖形描述問題.能通過操作實驗，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)2，能把性質(zhì)2寫成三個命題，準確區(qū)分條件與結(jié)論.（2）運用空間想象認識事物.借助幾何圖形，在運動變化中發(fā)現(xiàn)圖形的特殊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的特殊性質(zhì).

③指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標分析

本課需要發(fā)展的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)主要有：（1）命題的提出.由圖形歸納相關(guān)要素（等腰三角形的角平分線、中線、高線）的關(guān)系，得到性質(zhì)定理.（2）方法的形成.三線合一的問題實際上是三個命題，需要準確區(qū)分條件與結(jié)論，并逐一證明.同時，通過定理的學(xué)習(xí)，掌握了新的證明垂直、線段相等、角相等的方法.利用節(jié)前語問題，需要學(xué)生明確是利用了性質(zhì)中哪一個條件得到相應(yīng)的結(jié)論，不能混為一談.

2.3基于“學(xué)習(xí)起點”，實踐問題驅(qū)動式教學(xué)

中考復(fù)習(xí)階段，學(xué)生學(xué)什么、怎么學(xué)，教師教什么、怎么教是每一位老師經(jīng)常要面對的問題.在一次全區(qū)初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)展示活動中，筆者執(zhí)教了《特殊三角形專題復(fù)習(xí)> -課，下面就此課例談?wù)勗趯ｎ}復(fù)習(xí)課中如何關(guān)注“學(xué)習(xí)起點”進行教學(xué)設(shè)計.

（1）教學(xué)問題診斷分析：認知、差距、障礙、策略

①已具備的認知基礎(chǔ)

在八年級時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了包括等腰三角形、直角三角形在內(nèi)的特殊三角形，具備對這些特殊三角形一定的了解，后續(xù)又學(xué)習(xí)了二次根式、特殊四邊形、相似三角形、解直角三角形等關(guān)聯(lián)知識.

②與本課目標的差距分析

由于復(fù)習(xí)課與新授課的時間間隔較長，學(xué)生對于特殊三角形的知識內(nèi)容遺忘較多，對于相關(guān)概念、定理的記憶提取模糊.

③可能存在的問題、障礙

本課涉及幾何解題時的正向思維與逆向思維、分類討論、特殊化、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸等多種數(shù)學(xué)思想.同時三角形知識之間的重新建構(gòu)也需要學(xué)生有一定思維習(xí)慣.

④應(yīng)對策略

通過自主探究操作、計算、證明等多種形式，幫助學(xué)生逐步理清等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的概念，以及包含特殊線段在內(nèi)的基本圖形，通過中考真題的變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生理解特殊三角形的本質(zhì)特征與核心知識.通過小結(jié)，幫助學(xué)生不僅能掌握本節(jié)課基本知識、基本技能，還能更進一步地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想方法、基本活動經(jīng)驗.

（2）引入部分教學(xué)設(shè)計

問題1你能利用三角尺、量角器、圓規(guī)判斷△ABC的形狀嗎？

問題2若沒有任何工具，你還能判斷△ABC的形狀嗎？

設(shè)計說明通過問題1讓學(xué)生回憶判定三角形的形狀可以從邊、角兩個方面入手，完成思維熱身.在沒有任何工具的情形下，還可以借助折疊的方式判斷三角形的形狀.

問題3 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，線段CE是∠C的角平分線，AB的垂直平分線PQ分別交AB，AC于點D，G，求AB邊上的中線CD、高線CH、角平分線CE、線段DG的長.

設(shè)計意圖讓學(xué)生熟練使用斜中線定理求直角三角形斜邊中線的長，利用等積法求斜邊上的高.讓學(xué)生遇到45°時能自然地想到構(gòu)造等腰直角三角形，并利用其良好的性質(zhì)解決問題，通過聯(lián)想條件與結(jié)論掌握添輔助線的方法.變式關(guān)鍵條件是垂直平分線，通過構(gòu)造直角三角形，將求DG的長轉(zhuǎn)化為求AG的長，可以設(shè)元后利用勾股定理得到邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）小結(jié)部分教學(xué)設(shè)計

問題4我們今天復(fù)習(xí)了什么知識？特殊三角形與一般三角形的聯(lián)系與區(qū)別是什么？研究特殊三角形可以從哪兩個方向入手？

設(shè)計意圖通過小結(jié)讓學(xué)生獲得研究幾何問題的通性通法，培養(yǎng)幾何直觀、邏輯推理、創(chuàng)新精神等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基于“學(xué)習(xí)起點”的專題復(fù)習(xí)課需要關(guān)注學(xué)生主體，注重教學(xué)目標“低起點、高立意”，需要重視教材研究，明晰知識生長脈絡(luò)與生長點，需要創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計，實現(xiàn)復(fù)而不重、習(xí)之得法.

3“學(xué)習(xí)起點”教學(xué)再思考

3.1基于“學(xué)習(xí)起點”，學(xué)生主動學(xué)習(xí)得到激發(fā)

基于“學(xué)習(xí)起點”的初中數(shù)學(xué)教學(xué)以學(xué)生的已有認知基礎(chǔ)為出發(fā)點，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動的“低起點”，更加關(guān)注學(xué)生的知識水平和已有經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，主動學(xué)習(xí)的意識有較大的提升.

3.2基于“學(xué)習(xí)起點”，學(xué)生高階思維不斷發(fā)展

教學(xué)設(shè)計要定位在數(shù)學(xué)思考.通過“整體教學(xué)”、“問題驅(qū)動”等學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，學(xué)生由被動、惰性的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸饬x的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力、批判性思維等高階思維.數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，逐步形成了問題意識，革新了自己的認知方式、思維方式乃至行動方式.

3.3基于“學(xué)習(xí)起點”，學(xué)生第一理念落實于課堂

教師需要不斷思考：學(xué)生起點在哪里？學(xué)習(xí)的認知障礙會在何時出現(xiàn)？如何在知識的基礎(chǔ)上進行概括，揭示知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)過程中進行滲透.教師需要經(jīng)過充分的分析、篩選、提煉數(shù)學(xué)教材中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，熟知數(shù)學(xué)學(xué)科知識的整體結(jié)構(gòu)，把握知識體系的核心，理解學(xué)科本質(zhì)與內(nèi)涵.