閆 莎

(陜西理工大學 數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 漢中 723000)

種群生態(tài)學是生態(tài)學的一個重要分支，在生態(tài)系統(tǒng)中，捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性是大家廣泛關注的問題[1-5]。文獻[6]對于兩種群食物鏈模型

(1)

的常微分方程組形式，即空間分布均勻的情況做了研究。這里P1、P2分別表示捕食者、食餌種群的密度，h是P1的消化系數(shù)，C1是P1的捕食率，B1是P1的轉化率，D是P1的死亡率，r和k分別是P2的內稟增長率和環(huán)境容納量。

式(1)僅僅反映了該種群模型常微分方程的情形P1與P2的密度僅依賴于時間的變化而變化,但是在現(xiàn)實的生態(tài)圈中,生物種群在其生存區(qū)域內具有遷移的本能,考慮到空間位置對種群密度的影響,對式(1)加入擴散項,主要研究式(1)對應的弱耦合反應擴散系統(tǒng)解的整體性態(tài)。

(2)

(3)

本文借鑒文獻[7]的方法，主要討論式(1)對應的弱耦合反應擴散模型，即式(3)解的整體性態(tài)。

(4)

1 模型解的一致有界性

由文獻[8]易知,?T>0,使得式(3)在[0,T]上存在唯一解。

證明設(u,v)是式(3)在初值u(x,0)=u0≥0及v(x,0)=v0≥0時的解,由文獻[9]中的比較原理易知,當(x,t)∈Ω×[0,T)時,(u,v)≥0。

對式(3)的第二個方程應用比較原理得

v(x,t)≤M1≡max{‖v(0)‖L∞(Ω),1}，

令Z=u+v,則

所以

由文獻[10]可知,存在依賴于‖u0‖∞和‖v0‖∞及式(3)系數(shù)的正常數(shù)M,使得

‖Z(x,t)‖L∞(Ω)≤M，

2 模型非負平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

定理2 (a) 式(3)的平凡平衡點E0無條件不穩(wěn)定；

(c) 式(3)的正平衡點E*無條件不穩(wěn)定。

(a) 令D=diag(d1,d2),L=DΔ+Fu(E0)=DΔ+{aij},其中E0為平凡平衡點，式(3)在E0處的線性化矩陣為

J(E0)的特征方程為φ(λ)=(λ-1)(λ+m)=0。因為φ(λ)=0有正根λ1=1,所以式(3)的平凡平衡點E0是無條件不穩(wěn)定的。

(b) 令D=diag(d1,d2),L=DΔ+Fu(E1)=DΔ+{aij},其中E1=(0,1),式(3)在E1處的線性化矩陣為

(c) 令D=diag(d1,d2),L=DΔ+Fu(E*)=DΔ+{aij},其中E*為正平衡點,式(3)在E*處的線性化矩陣為

J(E*)的特征方程為

φ(λ)=λ2+Aλ+B=0,

其中A=-(a11+a22),B=a11a22-a12a21。

經初等計算可得

要使φ(λ)的兩個根λ1、λ2的實部均為負,由文獻[11]可得,必有Δ1>0,Δ2>0，即a11<0,a22<0,又a11<0等價于

(5)

3 模型半平凡平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

由于式(3)的平凡平衡點E0(0,0)及正平衡點E*均是無條件不穩(wěn)定的,因此,下面只討論式(3)的半平凡平衡點E1=(0,1)的全局漸近穩(wěn)定性。

引進如下結論：

設(u,v)是式(3)唯一的正解,由定理1和文獻[13]中的定理A2知,?t0>0,當t≥t0時有

(6)

(7)

其中α∈(0,1),C是不依賴于t的正常數(shù)。

定理3 當a

證明定義Lyapunov函數(shù)

設(u,v)是式(3)的解,則(u,v)在任意正時刻為正。當t>0時,有

由式(6)、(7)及定理1可得,式(3)的解有界,式(3)中u、v-1的導數(shù)均有界,結合引理1得

(8)

由u,v≤C有

仍由式(6)、(7)知g′(t)在[t0,+∞)(t0>0)有界。由引理1知,當t→+∞時g(t)→0,即

由Poincare不等式得

(9)

由式(8)、(9)得

(10)

(11)

當t=tm,由式(3)的第二個等式得

(12)

結合式(8)、(11)、(12)得

(13)

由式(6)、(7)知,存在子列{tm}、非負函數(shù)wi∈C2(Ω),使得

由式(8)、(13)得w1=0,w2=1，即有

(14)

(15)

由式(14)、(15)以及E1的局部漸近穩(wěn)定性得到,當a