張濤濤，張雙燕，李萌，武力兵

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

隨著現(xiàn)代工業(yè)自動(dòng)化的快速發(fā)展，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制性能優(yōu)越、功率密度高等眾多優(yōu)點(diǎn)的電機(jī)控制系統(tǒng)應(yīng)用越來(lái)越廣泛［1-2］。在城市軌道交通系統(tǒng)中，直線永磁電機(jī)不需要轉(zhuǎn)換裝置，就能把電能轉(zhuǎn)變成直線運(yùn)動(dòng)機(jī)械能［3］，逐步取代傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機(jī)。特別是直線游標(biāo)永磁（Linear permanent magnet vernier，LPMV）電機(jī)，效率高成本低，應(yīng)用前景非常廣闊。但LPMV電機(jī)系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合特征，在長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中不可避免地會(huì)發(fā)生故障，如執(zhí)行器、傳感器和系統(tǒng)內(nèi)部元件等故障［4-6］。并且LVPM電機(jī)在動(dòng)力傳動(dòng)過(guò)程中會(huì)受到參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)等因素的影響。傳統(tǒng)的魯棒控制方法不能有效地處理此類故障系統(tǒng)。

1991年，Kanellakopoulos等［7］針對(duì)非線性系統(tǒng)提出反步法（Back stepping）控制策略。作為一種倒推式設(shè)計(jì)方法，反步法將高階系統(tǒng)分解為多個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)虛擬控制律，借助于Lyapunov函數(shù)連接起來(lái)，最后通過(guò)穩(wěn)定性分析保證各子系統(tǒng)的收斂性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)整個(gè)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定。這種方法可以有效解決帶有參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)非線性系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題。周麗等［8］針對(duì)一類不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，結(jié)合滑?？刂坪头床椒刂撇呗?，使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)漸近趨于很小的鄰域內(nèi)。于金鵬等［9］采用模糊逼近（Fuzzy approximation）技術(shù)，將自適應(yīng)反步法應(yīng)用于永磁同步電機(jī)（Permanent magnet synchronous motor，PMSM）中，設(shè)計(jì)出具有高性能的魯棒控制器。唐紅雨等［10］結(jié)合滑模技術(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器并應(yīng)用到LPMV電機(jī)中?；谧赃m應(yīng)迭代學(xué)習(xí)技術(shù)，陳升等［11］針對(duì)一類下三角非線性系統(tǒng)給出自適應(yīng)容錯(cuò)模糊控制方法。針對(duì)帶有執(zhí)行器故障和參數(shù)不確定性的線性系統(tǒng)，Li等［12］設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)容錯(cuò)控制器，并進(jìn)行穩(wěn)定性分析。牛瑞燕等［13］將自適應(yīng)容錯(cuò)控制技術(shù)應(yīng)用于帶有執(zhí)行器故障的雙關(guān)節(jié)剛性機(jī)械手非線性模型中。蔣陽(yáng)等［14］研究新型抗低頻擾動(dòng)反電勢(shì)觀測(cè)器，對(duì)直線游標(biāo)永磁電機(jī)進(jìn)行無(wú)位置控制。針對(duì)永磁直線同步電機(jī)系統(tǒng)，許德智等［15］研究基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)技術(shù)的超扭曲終端滑?？刂撇呗?。本文針對(duì)帶有執(zhí)行器故障的LPMV電機(jī)非線性系統(tǒng)，采用反步法設(shè)計(jì)自適應(yīng)容錯(cuò)控制器，保證所有閉環(huán)輸出信號(hào)是有界的，同時(shí)也保證系統(tǒng)輸出能夠漸近跟蹤到預(yù)先給定的參考信號(hào)。

1 直線游標(biāo)永磁電機(jī)數(shù)學(xué)模型

采用組合永磁體陣列的初級(jí)LVPM電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。初級(jí)和次級(jí)分別對(duì)應(yīng)電機(jī)的動(dòng)子和定子。電機(jī)永磁體在電機(jī)的轉(zhuǎn)子上，定子為凸結(jié)構(gòu)。定子移動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)子極距時(shí)，動(dòng)子繞組的磁鏈會(huì)產(chǎn)生一次周期性的變化。

圖1 直線游標(biāo)永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of linear vernier permanent magnet motor

利用反步法與自適應(yīng)容錯(cuò)理論設(shè)計(jì)LPMV電機(jī)控制器，分為兩步：第一步設(shè)計(jì)虛擬控制α1，使第一個(gè)閉環(huán)子系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；第二步設(shè)計(jì)自適應(yīng)故障補(bǔ)償控制u，抵消掉外部擾動(dòng)和執(zhí)行器故障對(duì)系統(tǒng)的影響，并實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤的控制目標(biāo)。

參照旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，把初級(jí)及次級(jí)坐標(biāo)系分別視為定子坐標(biāo)系和動(dòng)子坐標(biāo)系。LVPM電機(jī)的電壓方程

式中：q為交軸，d為直軸；id和iq為d，q軸電流；ωe為動(dòng)子電氣角速度；φf(shuō)為永磁體磁鏈；R為每相繞組電阻；ud和uq為d，q軸電壓；Lq為交軸勵(lì)磁電感；Ld為直軸勵(lì)磁電感；且φd=Ldid+φf(shuō)，

忽略電阻，LVPM電機(jī)的推力方程

式中：第一項(xiàng)為永磁磁鏈與q軸電流產(chǎn)生的力；第二項(xiàng)為d軸跟q軸電感不相等引起的推力，如果采用隱極機(jī)形式或者i=0控制策略，則此項(xiàng)不存在；第三項(xiàng)是由d軸和q軸之間的互感產(chǎn)生的推力，通常情況下，互感都比較小，此項(xiàng)可以忽略不計(jì)。

角速度ωe=pπv/t，并且采用id=0控制策略，則推力方程簡(jiǎn)化為

LVPM電機(jī)動(dòng)力方程為

式中：p為極對(duì)數(shù)；τ為極距；v為動(dòng)子線速度；ωe為動(dòng)子機(jī)械角速度；F1為直線電機(jī)的負(fù)載阻力和電機(jī)本身的定位力之和；Bv為粘滯摩擦系數(shù)；M為動(dòng)子總質(zhì)量。

設(shè)v為實(shí)際速度，s為動(dòng)子位移；令，以及u=iq。根據(jù)式（3）與式（4）將LVPM電機(jī)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式

由于系統(tǒng)建模過(guò)程中存在參數(shù)不確定性，且在長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行過(guò)程中不可避免地發(fā)生執(zhí)行器故障，因此采用如下容錯(cuò)控制系統(tǒng)

式中：執(zhí)行器失效因子ρ∈(0，1]；d是系統(tǒng)外部擾動(dòng)；θ=[θ1，θ2，…，θr]T∈Rr為未知的參數(shù)不確定向量；g(x1，x2)=[g1(x1，x2)，g2(x1，x2)，…，gr(x1，x2)]T∈Rr為相應(yīng)的向量函數(shù)。

對(duì)于系統(tǒng)（6），采用自適應(yīng)反步容錯(cuò)方法，使非線性系統(tǒng)的所有閉環(huán)控制信號(hào)是有界的，并且系統(tǒng)輸出x1在執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)依舊能漸近地跟蹤到給定的參考信號(hào)xr。

假設(shè)1 外部擾動(dòng)d是有界的，即|d|≤d*；

假設(shè)2 參考信號(hào)xr及其一階和二階導(dǎo)數(shù)和都是有界的；

假設(shè)3 控制增益b≠0，且其符號(hào)是已知的。

2 自適應(yīng)容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

容錯(cuò)控制系統(tǒng)（6）為二階系統(tǒng)，采取反步法倒推出要求的容錯(cuò)控制器。

對(duì)V2求導(dǎo)得

選擇自適應(yīng)容錯(cuò)控制器以及相應(yīng)的參數(shù)更新律

選擇參數(shù)更新律

定理1對(duì)于帶有執(zhí)行器故障和參數(shù)不確定性的LPMV非線性系統(tǒng)（6），在假設(shè)1～3的條件下，自適應(yīng)容錯(cuò)控制器（9）、（14）和（15）連同參數(shù)更新律（17）～（19）能保證所有閉環(huán)信號(hào)一致有界，并且輸出信號(hào)漸近地跟蹤到期望的參考信號(hào)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證LVPM電機(jī)反步自適應(yīng)容錯(cuò)控制策略的有效性，采用MATLAB程序設(shè)計(jì)仿真計(jì)算。

位移x1與跟蹤信號(hào)xr的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖2所示。位移x1的軌跡從（0，0）點(diǎn)開(kāi)始做周期性正弦運(yùn)動(dòng)，振幅有界區(qū)間為［-2，2］，說(shuō)明位移在運(yùn)行過(guò)程中是穩(wěn)定的。跟蹤信號(hào)xr的位移軌跡與系統(tǒng)輸出位移x1幾乎完全重合，說(shuō)明自適應(yīng)漸近跟蹤控制精確有效。

LVPM電機(jī)系統(tǒng)動(dòng)子線速度x2的軌跡如圖3所示。線速度x2從（0，2）開(kāi)始做周期性余弦運(yùn)動(dòng)，振幅有界區(qū)間為［-2，2］。說(shuō)明動(dòng)子線速度x2在運(yùn)行過(guò)程中是穩(wěn)定的，電機(jī)控制系統(tǒng)是有效的。

圖2 位移x1與跟蹤信號(hào)xr的時(shí)間響應(yīng)Fig.2 Time response of displacement x1 and tracking signal xr

圖3 動(dòng)子線速度x2的軌跡Fig.3 Trajectory of linear velocity x2 of mover

外部擾動(dòng)d^的運(yùn)動(dòng)曲線如圖4所示。在電機(jī)剛開(kāi)始運(yùn)行時(shí)，外部擾動(dòng)d^為最大值1，隨后迅速下降，在電機(jī)運(yùn)行10 s后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在區(qū)間（0.6，0.65）之間細(xì)微起伏，仿真曲線后期有界，說(shuō)明控制系統(tǒng)自適應(yīng)補(bǔ)償有效。

圖4 擾動(dòng)d^的軌跡Fig.4 Trajectory of disturbance d^

故障補(bǔ)償參數(shù)軌跡如圖5所示。在電機(jī)剛開(kāi)始運(yùn)行時(shí)，為最大值1，與擾動(dòng)在此時(shí)的最大值1相對(duì)應(yīng)；隨后迅速下降，與擾動(dòng)的下降對(duì)應(yīng)，說(shuō)明電機(jī)控制系統(tǒng)故障補(bǔ)償?shù)募皶r(shí)性和準(zhǔn)確性。隨后開(kāi)始做振幅逐漸變小的周期性運(yùn)動(dòng)，振幅區(qū)間為（0.9986，1），說(shuō)明擾動(dòng)的變化是周期性的；在故障補(bǔ)償律的作用下，擾動(dòng)趨于穩(wěn)定，故障補(bǔ)償參數(shù)也逐漸變小趨于穩(wěn)定。仿真曲線后期有界，說(shuō)明控制系統(tǒng)自適應(yīng)補(bǔ)償機(jī)制有效。

圖5 故障補(bǔ)償參數(shù)ζ^的軌跡Fig.5 Trajectory of fault compensation parameterζ^

自適應(yīng)參數(shù)θ^的軌跡如圖6所示。θ^恒正，軌跡從（0，0.1）開(kāi)始做周期性正弦運(yùn)動(dòng)，振幅有界區(qū)間為［0.09，0.11］，說(shuō)明自適應(yīng)參數(shù)θ^是穩(wěn)定的。在運(yùn)行過(guò)程中，θ^與位移x1和跟蹤信號(hào)xr同步，說(shuō)明電機(jī)控制系統(tǒng)能精確有效地進(jìn)行在線自適應(yīng)容錯(cuò)控制。

圖6 自適應(yīng)參數(shù)θ^的軌跡Fig.6 Trajectory of adaptive parameterθ^

控制輸出u的軌跡如圖7所示。u從（0，0）開(kāi)始做周期性簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為（-4，2），電機(jī)控制系統(tǒng)的控制輸出穩(wěn)定，說(shuō)明LVPM電機(jī)非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制模型有效。

圖7 控制輸出u的軌跡Fig.7 Trajectory of control output u

4 結(jié)論

本文綜合考慮參數(shù)不確定性、外部擾動(dòng)和執(zhí)行器故障對(duì)直線游標(biāo)永磁電機(jī)非線性系統(tǒng)的影響，運(yùn)用反步法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器和相應(yīng)的故障補(bǔ)償律，并進(jìn)行Lyapunov穩(wěn)定性分析和仿真實(shí)驗(yàn)，取得良好的漸近跟蹤效果，從而驗(yàn)證容錯(cuò)控制方法的有效性和優(yōu)越性。未來(lái)將進(jìn)一步研究帶有狀態(tài)約束的LVPM電機(jī)系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問(wèn)題。